ZS 9-VS^8ZZZ 91 SI
11 12 31 32 41 42 Bl 62
*rSZ^ *r££î. *iZ EZ *i £
Fig. a5.
Le jeu de Sissa, beaucoup plus savant, permet de deviner un nombre jusqu'à cent, mais il est beaucoup plus compliqué que le précédent et difficile à construire avec précision.
On peut, avec du papier, exécuter un grand nombre de récréations souvent difficiles à mener à terme, quoique très simples en apparence, si on n'a pas la clé.
(1) On rendrait peut-être le jeu plus agréable en n'évidant les figures I et II que sur leur moitié de droite, par exemple, et la figure III, sur sa moitié du haut. Mais alors il faut indiquer les seize numéro» au haut et au bas, au recto et au verso, chose facile d'ailleurs, en appliquant chaque grille 8ur la carte VI.
ARITHMÉTTQUE ET ALGÈBRE
Par exemple, étant donné une feuille de papier découpée comme ci-dessous, il s'agit de replier les seize bandes extérieures autour des côtés du carré central de manière à présenter les seize associations deux à deux des lettres A, B, G, D avec les lettres a, 6, c, d\ chacune de ces huit lettres se trouvant dans chaque colonne, chaque rangée et chaque diagonale.
On retourne la figure et on rabat les- seize bandes dans l'ordre indiqué par les numéros placés à Textérieur de la figure, et qui
Ac
Ba
Ca
Bl^
Bb
Ad
De
Ca
Od
Cb
Bb
Aa
CaOc
Ad
Bc
10 «3 ^2 qVPQ
2|3aP3«aqv
90 P3=>a«v|lB
po^'a^vsajs
7|qv3a 93 «a
^a«V9aP3l4
IV jpg Rv^û ='3
'!«vsa P3=aji2
De
Ab
Ca
Bd
Ab
De
Bd
Ca
Dd
Cb Bd
Ba
Ac Od
Fig. a 6.
pourraient être inscrits au verso.
On pourrait varier cette récréation de plusieurs façons,
Démontrer V impossibilité que présente la conclusion de cette épitapheénigme du moyen-âge :
« Ci-gît le fils avec la mère ; Ci-gît la fille avec le père ; Ci-gît la sœur avec le frère; Ci-gît la femme et le mari ; Et ne sont que trois corps ici. »
2o4 RÉCRÉATIONS MATHEMATIQUES
On peut supprimer le premier vers, car même avec cette condition en moins, l'impossibilité n'en subsistera pas moins. Ceci posé, on a deux cas à examiner : un seul homme ou une seule femme, et chacun de ces deux cas se subdivise également en deux autres.
1° Le mari A. de l'une B des défuntes est en même temps le père (ou le frère) de l'autre G. Or A n'est pas le frère (ou le père) de sa femme B, ni de sa fille (ou de sa sœur) C. Ces deux cas sont donc impossibles.
2° La femme a de l'un des défunts h est en même temps la fille (ou la sœur) de l'autre c ; or a n'est pas la sœur (ou la fille) de son mari h ni de son père (ou de son frère) c. Même conclusion.
Voici encore une question du même genre :
(( Dièse kind sind unsere kind, Ihre vater unsere bruder sind, Und dièses doch in rechter eh !
— Nun rathe wie di sipschafft steh ? »
qu'on retrouve dans les problèmes de Ghuquet : « Hz sont deux femmes ayant chascune ung beaufilz entre leurs braz. Ausquelles fut demandé. De qui sont ces beaulxfilz que vous portez. Et elles respondirent véritablement. Hz sont filz de nos filz et frères de nos maryz et tout en loyal mariage... Jadiz ces deux fëmesqui en riens ne se apptenoient furent maryees et chascune eust ung filz. Et au chef dung temps leurs maryz furet trespassez et leurs enfPans grans. Puis prindrent a mary Icnffant lune de laultre. Desquelz elles eurent les deux filz dessus dits qui filz estoicnt de leurs filz et frës de leurs mary s. »
Utilisation de jetons pour la solution de certains problèmes, — On peut, avec /i jetons numérotés de i à n, se poser de nombreux problèmes, dont la solution, souvent dilficilc, dépend de la tbéorie élémentaire des noiïibres. Réciproquement, l'emploi de jetons peut,
ARITHMETIQUE ET ALGEBRE 205
en les objectivant, aider à la solution de certaines questions numériques.
Par exemple, ayant placé les n jetons en ligne dans l'ordre naturel, on met le if à gauche du premier, le (n — i)' immédiatement après le premier, le [n — 2)" après le 2% etc. On a ainsi (voir Prompt, Rem. sur le th. de Fermât, Grenoble iQoo), la sextine
Opérant de même sur cette suite, on a une deuxième sextine, et ainsi de suite. Après un certain nombre d'opérations semblables, on retrouvera la suite i, 2, 3,... /i, comme transformée de la dernière sextine 2, 4. 6,... 5, 3, 1. Voici à titre d'exemple les sextines de 7,
Une première question est de savoir quel est le nombre de sextines que demande le nombre n : il est égal à A: -f- 1 si /i = 2* ; et égal à n, si n est un nombre premier ainsi que 2/1 -h i. Mais généralement il est moindre ; d'ailleurs voici ce nombre pour les seize premières valeurs de n,
I, 2, 3, 3, 5, 6, 4, 4, 9» ^> "» ïo, 9, i4, 5, i5
Le tableau des sextines étant construit, on peut se proposer de trouver la place d'un nombre donné dans les diverses sextines, chose assez facile ; d'étudier les cycles que présentent les termes de la /i' colonne (*) ; de définir ceux de un, de deux,... termes. L'intéressant opuscule cité plus haut étudie beaucoup de questions de ce
(') Los cycles correspondant à 7 sont i, 7, 4, 3 ; 3, C et 5.
206 RÉCRÉATIONS MATHEMATIQtJES
genre, et montre le parti considérable qu'on peut ainsi tirer de cette théorie dans certaines applications du théorème de Fermât.
On aurait un autre sujet d'étude en procédant ainsi : tenant le paquet de jetons dans une main, on met le premier sur la table, le deuxième sous le paquet, le troisième sur celui qu'on a déjà retiré, le quatrième sous le paquet, et ainsi de suite. On a ainsi une transformée, dont on déduit de la même manière (*), une seconde, et de là une troisième,... jusqu'à ce qu'on retrouve la série primitive i, 2, 3,... /i. La théorie est plus difficile que la précédente; aussi on se contentera de donner le nombre a de transformées, et celui h des périodes composant les n colonnes, n variant de i à i6.
/i I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 i3 i4 i5 16 ai I 3456546 6i5i2i2 3oi5i2 6iii2ii333 3 10 12 5 3 i 7
(*) La connaissance de la première transformée suffit : sous le terme k de celle-ci, on met le terme qui est sous le terme k de la suite proposée i, 2, 3,... k,,.. n. Et ainsi de même pour les autres.
La Géométrie était sortie si parfaite des mains d'Euclide que longtemps on n'osa toucher à cette belle production du génie grec. Encore aujourd'hui, les livres qui en traitent portent la forte empreinte du grand géomètre qui lui a donné sa forme définitive. Ce n'est pas ici le lieu d'exposer même une faible partie de ce qui a été proposé pour mieux l'adapter aux conceptions mathématiques modernes ; on parlera seulement de certains à-côté dont les traités ne s'occupent guère, comme dans la crainte de lui voir perdre son caractère hiératique. On peut croire cependant qu'avec moins de problèmes dilTiciles et quelques unes de ces applications générales en plus, les traités seraient plus intéressants et amèneraient à la science de nouveaux adeptes.
On se plaint de l'impopularilc des mathématiques : ne serait-ce pas là l'effet de cette habitude de n'écrire que pour les professionnels et les candidats aux examens, tandis qu'aucun livre n'est destiné au simple amateur, qui ne veut pas approfondir la vaste science actuelle, comme cela pouvait se faire de la science peu étendue des Grecs. Tout le monde apprend la Géométrie et combien la savent? Qu'on la rende attrayante, en l'objectivant davantage, pour ceux qui n'en veulent pas faire une étude particulière ; qu'on y joigne des récréations et des notes historiques, et elle se popularisera en devenant un passe-temps agréable, au lieu de rester un devoir rigide qu'on délaisse dès la sortie du lycée.
Les notes qui vont suivre tendent à fournir une contribution à l'exécution du programme dont il vient d'être parlé : on y traite
5o8 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
des applications élémentaires de la Géométrie à d'autres parties de la science : puis ce qu'on pourrait appeler la géométrie abslraciive, où on fait abstraction de certaines propriétés des figures ; enfin de la géométrie des courbes.
Géométrisation de l'arithmétique et de l'algèbre. —
Chez les Anciens ce sujet était déjà assez développé : il suflira de rappeler les nombres en triangles, les progressions arithmétiques, les nombres figurés, les nombres polygones, les nombres irrationnels. Euclide, et après lui, tout le Moyen-Age, ont traité géométriquement toute l'arithmétique théorique. Diophante, puis les Indiens, ont tiré de la géométrie de fort beaux problèmes d'arithmétique.
Mais c'est chez les Modernes qu'on voit les applications les plus générales de ces considérations; on peut citer : Oresme, qui le piemier a nettement indiqué la figuration géométrique des fonctions et indiqué la propriété fondamentale du maximum qui a donné naissance au calcul différentiel; — Albert Girard, qui a montré à interpréter les nombres négatifs ; Descartes, qui a créé la géométrie analytique ; — l'explication des imaginaires (Kûlm, Wessel, Argand, etc.); — la représentation des formes quadratiques par Gauss, et des fonctions analytiques par Riemann ; — et une foule d'applications de l'intuition géométrique à la recherche des vérités arithmétiques et analytiques, recherches poursuivies par les plus grands géomètre^ du dernier siècle.
Il sera seulement question ici de la démonstration très simple, donnée par Eisenstein, de deux importants lemmes arithmétiques de Gauss (*).
Soient a et 6 deux entiers impairs premiers entre eux ; construi-
(1) On pourra étudier les questions faisant l'objet de la présente note dans divers mémoires et opuscules de M. Minkowski, sur la Géométrie der Zahlen, et, — dans un cadre plus élémentaire, — ceux de MM. Tarry et Arnou^ pur V Arithmétique fjraphiqae^
GKOAIKTRTE
sons im parallélogramme (fig. 27) sur ces deux nombres, menons une diagonale, et traçons le quadrillage correspondant aux divi- C. .B,
Fig. 27 sions des côtés. Le nombre des intersections de la /c* ordonnée entre
la base et la diagonale est E -r- . Il ne se trouve aucune intersection
sur la diagonale, on a donc :
et par suite
n Aa
E • , ^ = a — i , nombre pair.
est de la même parité que E ^ — -i — ^
suivant que b est de la forme l\hz^ i. Posant
/(a, fe) = E" + E
-il a 2b '
on voit d'après le tableau précédent que /(a, 6) est de même parité
que/(2a, b). Or si on construit le parallélogramme- a, - 6, on
voit que /(a, b) et/ (6, a) représentent respectivement les nombres des intersections comprises dans les triangles ONMetONP. On conclut de là que
/(«,6)+/(6,a) = (^I^l^-rtO
et que par suite /(aa, b) -+-f{2b, a) est delà même parité que
Cayley a rendu cette démonstration tout à fait directe en y introduisant la distinction des lignes d'ordre pair du quadrillage.
Section angulaire. — Cette élégante théorie, due à Viéte, {Canon Mathematicus, Paris, 1679), consiste dans la recherche des équations de la division d'un arc en parties égales.
Voici trois des principaux théorèmes de Yiète.
Considérons les arcs égaux AB, MN, NP (fig. 28) ; joignons X H
Fig. 28
aux points B, M, N, P et prenons sur MX le point H tel que NH = NX. Les triangles NHX, BOX sont semblables, et de plus HM = PX ; d'où en posant OX = i , BX = ce.
(a) PX = rr.NX — MX
(P) AP = xA-N — AM
Soient donc les arcs égaux AB, BG, CD. DE, EF, FG,... (fîg. 29) on a d'après (a)
GX = ^2 2
DX = x^ — Sx
EX = X* — Aa;2 + 2
FX = xs — 5x3 ^ 5^
GX = x« — 6x* if- 9x2 — 2
et d'après (f)
AD = x2 — I
AE = X» — 2x
