AF = X* — 3«2 H- I
AG = X» — l^x^ -+- Sx
Prenons sur la circonférence AX, les arcs égaux AB, DE, EF, FG, XZ (fig. 3o), et joignons ZE, GA. On a NZ = GZ == XF, EZ = XD. et les triangles ABO, EAN sont semblables. De là, en posant BO = 1 , BA = x, le tableau suivant
GX == 2 — x2
DA = 3x — x»
EX = 2 — Ax* 4- X*
FA = 5x — 5x3 ^ a.5
GX = 2 — 93^^-1- 6x* — X*
Viète explique la loi de formation de ces coefficients à la manière des nombres figurés.
Briggs [Ariihmelica îogarilhmica, Londreai 1624), a calculé les
côtés de l'heptagone et de l'ennéagone réguliers. Voici pour le premier : dans la fig. 3i, facile à expliquer, on a
ab l bc \ bd l de = ho, ab -4- ho
-\- hd -h bd
d'où, en posant a6 = i, 6c = x, la relation i -\- x^ =i 2X -h x^. Dans sa Trigonometria bviiannica (Goude, i633), il déduit les formules de la trisection, de la quintisection et .de la ^epUsection, de la considération des triangles semblables fournis par les fig. Sa et 33. fi
Fig. 3o
Fig. 3i
On doit à Newton [lettre à Oldenbourg, 1676, et Arith. univ.) une démonstration très simple des formules de Victe. Soit un angle A,
Fig. 3a Fig. 33
sulTisamment aigu (fig. 34). Prenons successivement AB = BG
= GD = DE =... Les triangles semblables ABK, ACL, ADM, AEN,... donnent les relations
BL = a;2 — 2
CM ^ x' — Sx
DN = x* — Ixx^ -h 2
EO = x^ — 5x^ + 5x
Le géomètre arabe Aboul-Djoud avait employé un cas particulier
ct^
Fig. 34
de celte figure pour démontrer la relation existant entre les côtés de l'hexagone et de Tennéagone réguliers.
Collignon (A. F. Congrès de Blois, i88A), a montré comment on peut utiliser le principe de cette figure pour mesurer un angle, par approximations successives ; on inscrit dans l'angle donné les segments égaux AB, BG, CD,... autant cpie cela se peut, soit n fois. Soit IJ le dernier segment inscrit : on agira de même sur l'angle XIJ, dans lequel peuvent s'inscrire n' segments égaux IJ, JK,... ; et ainsi de suite : l'angle donné a pour valeur
2\/i nn' ^ nn'n" '" )
Jacques BcrnouUi a donné, dans les Mém. de rAc. des se. pour 1702, une ingénieuse démonstration des formules de Viète; mais elle est beaucoup moins simple que les précédentes, et pour ce molif elle ne sera pas reproduite ici.
Dans son Traité anal, des seet. con. (Paris, 1707), le marquis de l'Hospital a recherché de cette manière les équations déterminant l'inscription des polygones réguliers. Soient les arcs égaux AK, AB, BG, CD,... (fig. 35); on a :
ex = za; - X, EX ::== z.C\ -^"BX = z^x — zx -^ x
et en général
NX — xz^ — xz'^-^ — {n— i)x2"-2 +...
Pour NX = 0, on a l'équation cherchée
Par exemple, les équations,
— dont chacune s'obtient en multipliant le premier membre de la
Fig. 35
Fig. 36
précédente par z et retranchant de l'antéprécédente, — servent à inscrire les polygones réguliers de 3, 5, 7, 9 et 11 côtés.
L'Hospital a donné aussi ce théorème ; soient les arcs égaux AB, EF (fig. 36). Appelons i^ x, y, z, v les longueurs AX, AB, BX,
AE, EX. A cause des triangles semblables, ABG, AEX, XFG, on a :
v.GX = yv — xz, FX = vy — xz, AF = yz -^ vx
Donc, si on forme les deux suites A, B, G, D,... et a, 6, c, (/,... telles qu'on ait :
B = Aj — ax, b= Ax -{- ay
C = By — bx, c = Bx -^ by
0 = 0/ — ex, d = Cx '^- cy
les expressions B, C,.,. représenteront les cordes CX, DX,... et 6, c,... les cordes CA, DA,... et de là, on tirera facilement les expressions générales déjà trouvées.
Le but de Viète était de faciliter la construction des tables trigonométriques. Un coup d'œil sur l'histoire de cet important sujet en fera sentir toute l'utilité, en dehors de son intérêt propre.
La première table trigonométrique parvenue jusqu'à nous se trouve dans VA Image s le, de Ptolémée, qui emploie, pour la calculer, une méthode due probablement à Ilipparque. Elle est basée sur le théorème célèbre qui porte son nom : le reclangle (produit) des diagonales d'un qaadrdatère inscrit est égal à la somme des rectangles des côtés opposés, théorème qui, suivant la remarque de Garnot, contient toute la trigonométrie rectiligne.
Ptolémée en tire le moyen de trouver la corde de la somme ou de la différence de deux arcs déterminés par leurs cordes, ainsi que celle de la moitié d'un arc donné.
De la connaissance des cordes de 3o° et de 36°, on tire celles des arcs de 3", i"3o', 45 ! Pour tirer de là la corde de 3o', il démontre que de deux cordes, la plus grande est à Vautre en moindre rapport <iue les arcs correspondants. On a ainsi :
^ corde i«3o' < corde i° < o corde 45'
2l6 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
Ptolémée prend pour la valeur de la corde de i°, la partie commune aux valeurs de ses deux limites, et construit d'après cela sa table des cordes de 3o' en 3o'.
C'est Aryabhatta qui parait l'inventeur de l'emploi des différences secondes dans le calcul des tables : il a calculé ainsi une table de sinus de 3°45' en 3<'45'.
Ouloug-Beg a donné de nouvelles méthodes de calcul du sinus de 1°.
Connaissant les sinus de 3° et de 45', on en tirera ceux de 3°45' et de 2°i5' puis ceux de a = 56' 1 5" et de 6 = i°7'3o". Or la différence des sinus de i° et de « est plus petite que le tiers de celle des sinus de a et de 45' ; on peut donc écrire
sin I** <^ ô sin a — .> sin 45'
On a de même :
sin 1° >> sin a H- .j (sin 6 — sin a).
On a obtenu ainsi deux limites très rapprochées de sin V.
Dans une seconde méthode, il part de la relation 3 sin i" = sin 3"
sin 3° H- 4 sin^ 1° et pose d'abord sin i° = — o— . Introduisant cette valeur dans l'équation primitive, il obtient une seconde approximation, et ainsi de suite.
Rheticus a travaillé toute sa vie à ses grandes tables à quinze décimales terminées et publiées en i5()6 par Pitiscus, sous le nom d'Opus palal'umm. L'argument varie de lo" en lo". On jugera, par ce qui suit, de l'immensité des calculs entrepris par lui.
Des sinus de 3(3% de 3o" et de 45°, il tire ceux de 84% 42% 21°,
69% 34°3o', 32"3o', G7°3o', 33M5'. De là, celui de ^ (34-30'
-h 33°A5') ou de 34°7'3o", puis ceux de 3% i"oo', 45'. 11 construit une première table de 45' en 45', qui servira de vérification.
Par des bissections de l'angle de 45', il arrive à la connaissance des sinus d'une série d'angles, lesquels convenablement combinés, lui donnent le sinus de 29''59"'33""37"'"58"""7'"""3o""'"', d'où, par proportion, le sinus de 3o".
Comme vérification, des sinus de 34°7'3o" et de 3o", il tire celui de 34"8', d'où successivement ceux de i7''4', B-'Sa', 4°i6', 2''8', l'^V. 32', 16', 8', 2', i', 3o".
Par des moyens analogues il calcule sin 5° : il peut alors construire sa table. Il la vérifie du reste à mesure à l'aide des différences premières, secondes et troisièmes.
Viète avait procédé ainsi pour la construction de son Canon : parla quintisection de l'angle de 1 8% il avait le sinus de 3°36' ; par deux trisections et une bisection de l'angle de 60", celui de 3''2()' ; de là les sinus de iG', 8', 4', 2' et i'.
Par des moyens de même nature, Bùrgi avait calculé les sinus de i5% 3% 1% 3o', 10', 5', i'3o", 3o". 10", 5", i". Briggs a donné la théorie de ces méthodes et enseigné à résoudre les équations auxquelles elles conduisent, par le procédé des approximations successives.
Sur les applications de la géométrie à la mécanique (*). — Ces doux sciences se sont de tout temps prêté un mutuel appui. Archytas a écrit, paraît-il, sur les relations (qu'elles ont entre elles; Arislote a envisagé plusieurs problèmes dans ce genre. Mais il faut
(•) Il y aurait un ami)le et instructif recueil à faire des curiosités do la mécanique, ses appareils, ses démonstrations, ses problèmes, ses hypothèses, SCS théories, ses nuHhodes et ses applications. Mais ce travail, pour être convenablement Irailé, dépasserait les bornes d'une simple note.
2l8 RÉCRÉATIONS MATHEMATIQUES
arriver à Archimède pour voir les premières questions mécaniques traitées scientifiquement : on lui doit la si importante notion du centre de gravité des figures planes et des solides, qu'il a appliquée au triangle, au parallélogramme, au trapèze, au segment parabolique et au paraboloïde de révolution. C'est par son moyen qu'il est arrivé à sa belle découverte de la quadrature de la parabole, la première et longtemps la seule courbe qu'on ait connue absolument quarrable. Un autre monument de son génie est l'application qu'il a faite de son principe d'hydrostatique à la recherche de l'équilibre du paraboloïde flottant.
Apollonius a donné, du centre de gravité de plusieurs points, une propriété générale très remarquable : ce point est tel que la somme des carrés de ses distances aux points en question est un minimum.
C'est à Pappus que sont dus les deux théorèmes dits de Guldin et relatifs aux aires et aux volumes produits par une ligne ou une surface tournant autour d'un axe fixe.
Il y a ensuite à citer dans le domaine élémentaire : Stevin, qui imagine le parallélogramme des forces seulement entrevu par Aristote, et le polygone funiculaire ; — Lucas Valerius, à qui est due la notion de moment ; — Descartes (^), qui inaugure la théorie du centre instantané de rotation, en cherchant le tracé de la tangente à la cycloiJe ; — Roberval et Toricelli, qui, à propos de la même question, créent celle des mouvements composés; — Mersenne, qui pose le fameux problème du centre d'oscillation (^), résolu par
(^) Par une réaction exagérée contre la doctrine péripatéticienne de la qualité, Descartes n'admet plus que la quantité : la mécanique n'est plus qu'une application de la géométrie, qui ne peut cependant représenter le mouvement que par les difl'éronts aspects d'une môme figure. Sa géométrie elle-même n'est plus que la science des distances entre les points d'une figure, dont la forme est indifférente. Mais ce n'est pas le lieu de parler ici des conceptions do l'illuslre philosophe sur ce sujet.
(^) C'est le point où il faudrait condenser les masses de deux pendules pour que la masse unique oscille de la même manière que le pendule composé de ces masses liées invariablement.
Huygens ; — Huygens, qui figure les moments d'une surface par un onglet et crée la théorie du moment d'inertie (*) ; — enfin Varignon, qui, dans sa Noav. méc. (Paris, 1687), traite spécialement de la composition des forces.
Les idées de ce dernier ont donné naissance, à la suite des travaux de Monge, de Poncelet, de Maxwell, de Gulmann et de Cremona, à une science nouvelle, la statique graphique, qui se prête avec la plus grande facilité à la solution des problèmes pouvant se ramener à la statique plane. On en dira quelques mots.
Plusieurs forces étant en équilibre autour d'un point, on peut construire un polygone dont les côtés sont parallèles à la direction de ces forces et proportionnels à leur intensité. Dans le cas de trois forces dont une est connue, comme direction et intensité, et les deux autres comme direction seulement, la construction du triangle des forces déterminera également les intensités inconnues.
Par exemple, soit un fil ABC DE (fig. 87) attaché par ses extré-
mités et supportant des poids I, II et III en des points déterminés. On porte sur la même verticale les longueurs ab, hc, cd représentant, à une certaine échelle, les poids donnés ; on mène des paral-
(') C'est l'expression fy-dx; son nom est dû à Euler. La considération du moment d'inertie est d'un grand usage dans la dynamique.
2 20 IIÉCRÉATI0>S MATHEMATIQUES
lèles ao, ho, h iVB et à BG : pour qu'il y ait équilibre, oc et od doivent être parallèles à CD et DE.
La ligne brisée ABCDE est un polygone funiculaire ; on emploie beaucoup ce genre de construction dans les recherches de résistance de matériaux. On indiquera seulement comment il peut servir à trouver le centre de gravité d'une surface MN : on la décompose, par des parallèles, en surfaces assez petites pour qu'on puisse en
Fig. 39
déterminer les surfaces et les centres de gravité ; on appliquera celles-là aux verticales passant par ceux-ci et on les portera à une échelle quelconque, en ab, bc, cd ; on joindra les points a, b, c, d h un point quelconque 0, et du point également quelconque A, on mènera les parallèles AB, BC, CD, DE aux droites ao, bo, co, do : les droites extrêmes AB et DE se couperont sur la verticale du centre de gravité cherché G.
Une application également très intéressante est celle de la statique des systèmes articulés. Soit une force F appliquée au nœud des deux barres i et 2 (fig. 38 et 89). On voit que, suivant la position de la force F, les deux barres sont ou toutes deux comprimées, ou Tune comprimée et l'autre tendue : les premières s'indiquent par de gros traits, les secondes par des traits lins. Connaissant l'effort subi par chaque barre, on pourra déterminer sa section de manière que la compression ou la traction, par unité de surface, no dépasse pas le taux prescrit.
La fig. Ao indique sufTisammenl le calcul des eiïoiis dans une poutre armée, dont les extrémités reposent sur deux appuis horizontaux. Les forces R, R' sont les réactions verticales des appuis. Si le sommet de la poutre était en bas, le sens des efforts serait partout changé.
La fig. 4 1 représente une poutre semblable chargée au haut et
Fig. 40
Fig. ht
au bas. Suivant la forme de la poutre et les intensités des poids, les pièces comprimées peuvent être au-dessus ou au-dessous.
Autre étude (fig. ^a). Les barres comprimées seraient à la partie supérieure, si le poids P y était lui-même.
Généralement les constructions sont symétriques, ainsi que les charges, ce qui facilite le calcul. Ainsi pour la feime (fig. /i3) (*), on supposera que le nœud supérieur est articulé et qu'il supporte la moitié de la charge totale, l'autre moitié étant supportée par les appuis des extrémités. On part d'un nœud de deux barres et on décompose successivement, aux nœuds suivants, les forces à mesure qu'on les connaît.
(') On a un cas particulier de ce type fréquemment employé, celui où la barre 4 est supprimée, 3 et 3' étant réunies eu une barre unique verlicale.
Le plus souvent, il y a plusieurs nœuds où on concentre tout le
Fig. k-î Fig. hZ
poids de la charpente et de la charge éventuelle de neige jusqu'à
Fig. 4/i
:Fig. 45
mi-distance des nœuds voisins. On a ainsi, le type suisse (fig. 4A). les mansardés (fig. 45 et 46), les Polonceaux à deux bielles (*)
(*) Supprimant la barre 6 et réunissant en une seule barre verticale les deux barres 5 et 5', on a une fermé très souvent employée.
Fig. 48 Fig. 49
(fig. 47) et à six bielles (fig. 48), le type belge (fig. 49). le comble
O.OJi
B^CRlÉATrONS MA.T11ÉMATTQUES
Fig. 5o
îiéÉEH^"'
Xio
Fig. 5i
Dri3-^^»^/N/i\i
. J, Jji lu, liv 1 1 1
Fig. 5a
Fig. 63
(fîg. 5o), les poutres Howe (*) (fig. 5i), Warren (fig. Sa), Neuville (fig. 53), parabolique (fig. 54) et le bow-string (fig. 55).
"H il] illHiVi i i i
Fig. 54
