A). TYPES DE CARRÉS A ORDONNANCE OU DISPOSITION OBLIQUE

Plaçons Je premier nombre du groupe fondamental ci-dessus défini dans une quelconque (nous indiquerons tout à l'heure une petite restriction à cet égard) des cases du carré et non située sur la diagonale montante ^^'^ • Inscrivons successivement les nombres de

la première ligne de ce groupe dans les cases qui suivent parallèlement à cette diagonale (en d'autres termes, ces nombres suivent la marche des pions au jeu de dames). Aussitôt que l'on aura atteint un des bords du carré, on placera provisoirement le nombre suivant, en supposant le carré reproduit au-delà de ce bord. Le nombre l^ delà figure 2 se trouve dans ce cas. Ce nombre devra occuper dans le carré une situation identique à celle qu'il possède dans le carré auxi-

(*) Nous désignerons par diagonale montante que nous représenterons aussi par le signe ^-'^ celle qui part du sommet inférieur du carré : l'autre diagonale sera représentée par ^-^^ .

liaire que nous avons supposé et qui est tracé en pointillé sur la même

figure.

Fig. 2.

Mettons donc ce nombre à la place qu'il doit occuper dans le carré adopté et complétons, comme il a été dit, le placement des nombres de la première ligne du groupe. Le dernier nombre de la première ligne (5 dans le cas de la figure) étant inscrit, nous inscrirons le premier nombre de la ligne suivante, immédiatement au dessous de ce dernier et nous placerons les nombres successifs de cette seconde ligne comme nous l'avons fait pour la première, c'està-dire suivant la marche des pions au jeu de dames. Dans le cas de la figure, le nombre 7 tombe dans le carré provisoire de droite, il a été reporté à la place qu'il doit définitivement occuper. Le dernier nombre de la seconde ligne étant placé (c'est le nombre 10 dans notre hypothèse), le premier nombre de la troisième ligne (soit II) sera inscrit immédiatement au-dessous et l'on continuera à appliquer la règle jusqu'à épuisement de tous les nombres du groupe fondamental adopté. Le carré ainsi constitué sera magique.

Pour bien fixer les idées, nous donnerons comme second exemple, un carré de module 7. On a figuré les carrés latéraux provisoires

afin de faire complètement saisir la méthode^ En pratique, il est inutile de les tracer.

t^LL

ia

On remarquera, l'observation est importante (et c'est ce que Bachet n'a pas vu, quoiqu'il eut le germe de la méthode), que la ligne médiane du groupe fondamental occupe la diagonale montante du carré. C'est la ligne magique du groupe. Pour tous les carrés ainsi formés, le point de départ doit être choisi de façon que les nombres de la ligne médiane occupent cette diagonale. Autrement le carré ne serait pas magique.

Le premier nombre du groupe doit être inscrit dans une case telle, que, de par le mécanisme adopté pour le placement des. nombres, la ligne médiane du groupe fouda mental vienne naturellement occuper ladite diagonale. Il suffît pour cela que ce premier nombre soit placé dans une parallèle à cette diagonale dont le rang h compter de cette dernière, soit précisément celui de la ligne magique dans le groupe fondamental.

L'ordre des lignes et des colonnes du groupe fondamental naturel peut être modifié d^ une façon quelconque. Quelles que soient les per-

mutations que Ton lasse subir aux lignes et aux colonnes du groupe naturel, tontes les dispositions ainsi obtenues constituent des groupes fondamentaux sur lesquels on peut opérer, comme on l'a fait pour le groupe naturel. Les carrés déduits de tous ces groupes seront magiques à la condition de toujours placer dans la diagonale montante la ligne magique du groupe considéré.

L'ordre des lignes du groupe fondamental étant ainsi indifférent, on placera sa première ligne dans une suite quelconque de cases appartenant à une parallèle à la dite diagonale. Le dernier nombre de cette ligne se trouvera immédiatement au-dessus d'une case diagonale ou non. Dans le premier cas, on placera au-dessous du dernier nombre inscrit, le premier nombre de la ligne magique du groupe et l'on continuera comme il a été dit : les nombres de cette ligne étant tous placés, on inscrira dans le carré toutes les lignes qui restent conformément à la règle indiquée. Dans le second cas, on opérera suivant la règle donnée jusqu'à ce que le dernier nombre d'une ligne se trouve immédiatement au-dessus d'une case diagonale; et alors on placera sous ce dernier, le premier nombre de la ligne magique.

Ces explications, un peu longues peut-être, étaient nécessaires pour bien faire comprendre le mécanisme de la méthode. On voit d'ailleurs que l'on peut s'affranchir de toute sujétion en plaçant au premier rang du groupe, les chiffres de sa ligne magique et en inscrivant immédiatement ces chiffres dans la diagonale qu'ils doivent occuper.

Soit comme exemple, le groupe suivant tiré du groupe naturel.

Fig /l

et dans lequel la ligne médiane occupe le second rang. Plaçons tout

d'abord les nombres de cette ligne dans la diagonale montante en partant d'une case quelconque de cette diagonale et nous obtiendrons le carré ci-contre (Jig. 5).

'Bj

Fig.5.

On voit que Ton formera ainsi un très grand nombre de carres magiques tous différents et dans lesquels on peut faire occuper à un chiffre quelconque, n'appartenant pas à la ligne magique, une quelconque des n- — n= n{n — i) cases n'appartenant pas à la diagonale montante.

La particularité relative à cette ligne magique étant toujours respectée on peut, au lieu de placer le premier nombre d'une ligne immédiatement au-dessous du dernier nombre de la ligne précédente, le placer 2, 3etc., jusqu'à(n — 3)(*) cases au-dessous et faire l'inscription des nombres d'une morne ligne comme il a été dit précédemment. Les carrés obtenus seront tous magiques. On a ainsi (n — 2) types dislincis de carrés à ordonnance oblique.

Ce carré limite de degré (n — 2) présente une particularité essentielle. Elle consiste en ce que la colonne magique du groupe (c'est la colonne médiane du groupe naturel) occupe la seconde diagonale du carré.

(') Les carres de Cachet appartiennent à ce dernier type.

Le choix de la case de départ, pour le construire, se trouve ainsi limité. Cette case doit être telle que la case centrale du carré soit occupée par le chiffre central ou médian du groupe naturel.

Dans la pratique, il suffit de disposer le groupe de façon à donner le premier rang à la ligne et à la colonne magiques, tout en plaçant en tête du groupe le nombre central. Ceci fait, on construira le carré en inscrivant le premiernombre du groupe ainsi constitué dans sa case centrale.

Il n'est peut-être pas superflu de faire . remarquer que placer un nombre (n — 2) cases au-dessous d'un autre revient à le placer [n — (n — 2)] == 2 cases au-dessus de ce dernier.

Ce qui précède fait comprendre la singularité des carrés de module 3. Ce sont des carrés limites, c'est-à-dire de degré (n — 2): leurs deux diagonales doivent être occupées par la ligne et la colonne médianes du groupe naturel. Il faut, pour les former, placer ces dernières dans les deux diagonales. On les complétera facilement. La constante des carrés de 3 est i5. Ce module ne fournit donc qu'un type unique de carré.

Fîcr. 6

Il n'est pas nécessaire d'écrire le groupe fondamental toutes les fois que l'on se propose de construire un carré. Un peu d'habitude permet de s'en dispenser ; mais pour éviter toute erreur, il est bon de placer dès le début dans la diagonale montante les nombres de la ligne magique du groupe dans l'ordre que l'on veut adopter.

Ci-après, à titre d'exercices quelques exemples de carrés à disposition oblique. Ils correspondent à des groupes fondamentaux diflerents qu'il est d'ailleurs aisé de retrouver. Nous nous bornerons au module 7.

Fig. 7. — Degré 2

De^ré 3

Ts

Fig. 9. — Degré 4.

Fig. 10. — Degré (n — a) = 5.

Fig.

Pour placer les chiffres successifs d'une ligne dans le carré, nous avons adopte l'ordonnance oblique vers la droite. On conçoit que l'on peut les disposer obliquement vers la gauche. On obtiendrait ainsi des carrés qui seraient l'image dans un miroir des précédents. On ne peut donc pas les considérer comme distincts. On peut aussi bien disposer ces chilTres en descendant vers la gauche ou la droite ; dans ce cas, le premier nombre d'une ligne devra être placé audessus du dernier nombre de la ligne précédente. Ces carrés ne sont également pas nouveaux ; on les obtiendrait aussi en faisant tourner les précédents de i8o" dans leur plan.

Dans tous les carrés obliques, à l'exception de ceux de degré (n — 2),

on peut, sans modifier leur ordre relatif, transporter un nombre

, ,. , . . ( supérieure ) ,

quelconque de lignes de la partie i • p, • , ( du carre a sa partie

( inférieure ) , , ,. . ,

\ r ' ^ , à la condition de transporter ensuite un même

( supérieure ) ^

nombre de colonnes de la 5 , ( à la s j -x (de ce carré.

( gauche ) ( droite )

Les carrés ainsi obtenus sont tous magiques, ils appartiennent au type du carré dont ils auront été déduits.

Les carrés à ordonnance oblique peuvent, par ses déplacements de quartiers et autres modifications que l'on trouvera décrits en détail dans l'ouvrage de M. Riollot déjà cité, donner naissance à une foule d'autres combinaisons également magiques, mais dans lesquelles l'ordonnance régulière que nous avons définie se trouve totalement masquée et que l'on ne peut par suite constituer directement. C'est pourquoi on pourrait les appeler dérivés par opposition aux premiers que Ton peut qualifier de primitifs.

Entre autres modifications que l'on peut faire subir aux carrés à ordonnance oblique, nous nous contenterons de signaler la suivante. Si l'on divise l'un de ces carrés, d'un degré m différent de {p. — 2), en deux parties par sa diagonale descendante et si, conservant sa position au grand triangle dont l'hypolliénusc est constituée par cette diagonale, on fait glisser sur ses colonnes le petit triangle

de façon à l'amener au-dessous du précédent, on obtient un parallélogramme dont toutes les bandes et les diagonales sont magiques. En le redressant, on en fait un carré qui appartient à la catégorie de ceux qui seront décrits ci-aprcs.

Soit à titre d'exemple le carré de module 7 et de degré 3.

ië

TI

Fig.

Fig. i3. — Parallélogramme redressé.