AH = HB = HG -: 5, AF = ¥D = FG = 4, DO = OC = 3, BC

E désignant le milieu de DB, l'angle G DO est le tiers de GCO. 9" On pourrait imaginer beaucoup d'autres combinaisons permet-

Fig. ii/j Fig. ii5

tant de réaliser la trisection de l'angle. Mais on se bornera pour conclure, à signaler le muUisecteur de St-Loup, dont le principe consiste à utiliser les propriétés de la fig. 34, en faisant, à l'aide de guidages, décrire des droites aux points B, C, D,... on conçoit tout l'embarras que présenterait un tel appareil, et combien les trisecteurs gagnent en simplicité à mesure que leur théorie devient

plus élevée. Cette remarque s'applique d'ailleurs à tous les systèmes de ce genre.

EUipsographes. Scliooten a montré que si une pointe d'un compas reste fixe et que l'autre se meut sur une droite passant par ce point, tout point de la deuxième branche décrit une ellipse. C'est ainsi que Peaucellier a été conduit, en 1878, au premier ellipsegraphe connu (fig. 116).

On en a d'autres avec le guidage Hart et avec les appareils fig. 89, 90, 91, 92, 98. La lettre M indique partout la pointe traçante.

M. Darboux a remarqué que si l'appareil Hart (fig. 117) est un rhomboïde, le point F se meut sur la perpendiculaire à AB passant par A. Donc GF = GA et tout point de GF décrit une ellipse (^).

Limacographes. Les appareils précédents ont été proposés par Kl

Fr-.

Fig. 116 Fig. 117 Fig. 118

Hart et Kempe pour le tracé du limaçon; on rend fixes dans ce cas, les branches CF (fig. 89), BC (fig. 90). BG (fig. 91). EF (fig. 9a). BC (fig. 98) et GF (fig. 117).

ConchoYdographes. On appelle ainsi les appareils qui tracent une courbe dont tous les rayons vecteurs sont ceux d'une courbe donnée,

(') On a encore un elUpsographe éléraonlairc avec la figure u i, en ajoutant les liges O'A, O'I et fixant la tige OE.

Récréations mathématiques, III. 17

258 BÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

augmentés ou diminués de longueurs constantes ; ils se distinguent, suivant ces deux cas, en prolradears ou en rétracteurs.

Tout guidage peut se transformer en conchoïdographe ; c'est ainsi que Peaucellier a complété le sien en prolongeant la tige ÀO en une équerre AOGM : le point G étant fixe, les points G et M décrivent deux courbes conclioïdes l'une de l'autre.

On peut imaginer beaucoup d'autres conclioïdographes : par exemple la fig. 1 18 déduite de la iig. gS en est un assez simple. On a parlé plus haut de celui de la fig. 1 1 1 .

De là, d'autres moyens de décrire le limaçon, qui est une conchoïde du cercle.

Tracé des cissoïdales . Peaucellier a proposé pour le tracé de la cissoïde, un appareil analogue à celui de la fig. 112, les points A et E étant fixes, et l'articulation 0 la pointe traçante. Sylvester a étendu cette méthode aux cissoïdales en général, c'est-à-dire aux inverses de coniques par rapport au sommet ; on sait que ces courbes comprennent la cissoïde, la strophoïde et la triseclrice : on a vu du reste ce dernier cas plus haut.

La fig. ii5 donne le môme résultat plus simplement : les points D et G sont fixes, et G est la pointe traçante.

Conicographes. Les trois paragraphes précédents donnent le tracé des inverses de coniques. On a, comme on l'a vu plus haut, d'autres tracés plus simples en employant des rhomboïdes.

En adjoignant à ces appareils des inverseurs, on aura des conicographes.

Théorème de Kempe. Kempe a prouvé qu'une courbe quelconque peut toujours être tracée à l'aide d'un système articule convenablement combiné.

Description du plan. La première idée est de faire tourner un rectangle autour d'un de ses côtés. On verra tout à l'heure une solution bien meilleure.

Pantographe de l'espace. L'appareil de Colas, pour la réduction des statues, n'est autre chose qu'un pantographe complété par un joint de Gardan.

GEOMETIUE 209

Sphéi'ograpJie. Pour décrire une splière dont le centre est inaccessible ou dont le rayon est très grand, on se servira de ce théorème de M. Darboux : si trois poinls fixes d'une droite se meuvent sur des sphères dont les centres sont en ligne droite, tout autre point de cette droite décrira une sphère, de sorte que par un choix convenable des données, un certain point décrira un plan.

Le plan peut ainsi être décrit par un système de quatre tiges. Manheim a fait voir qu'une droite dans l'espace peut être décrite par un appareil à huit tiges.

Ellipsoïdographe. La surface de rdlipsoïde élant le lieu des poinls d'une droite dont trois points Fixes décrivent des plans, d'après ce qui précède, on peut décrire cette surface avec un appareil de douze tiges.

Ilyperholoïde articulé. Ce système donne, dans toutes ses déformations, des hyperboles homofocales (Grecnhill). Manheim a ramené ce théorème et plusieurs autres à la théorie des déformations du parallélogramme gauche.

Octaèdre articulé. On peut voir dans le Journal de Math, année 1897, une élude de M. Bricard sur diverses propriétés intéressantes de ce système.

Théorème de Kœnigs. On peut toujours, à Caide de systèmes articulés, réaliser un mouvement algébrique quelconque, et en particulier, décrire toute surface ou toute courbe dans l'espace.

Conclusion. Malgré des travaux déjà nombreux, la tbcorie des systèmes articulés n'a pu encore se faire jour. Ce qu'on cil connaît n'est qu'une collection de problèmes uliles et des plus intéressants, mais sans liens entre eux. Toutefois il est permis de penser que lo principe de la transformation des figures y jonc un grand rôle, particulièrement les transformations vectorielles, de la forme

Parmi ses applications, il y aurait aussi à mentionner son extension aux systèmes de triangles articulés (Sylvester), aux cquipollences (Darboux), à la représentation des fonctions elliptiques (id.); l'étude du degré de mobilité des systèmes ; le Iracé approximatif

des courbes (Walt, Tchcbichef, Léauté) ; l'application aux arts mécaniques et aux instruments de physique et de géométrie, les planimètres, les intégrateurs, les dérivateurs, les perspectographeSf etc. ; l'étude des cas particuliers donnant des systèmes déformables quand le système général ne l'est pas (Kempe, Burmester).

On peut étudier cette très intéressante théorie dans les opuscules de Kempe, St-Loup, J. INeuberg, divers articles de M. Darboux, la Cinématique de Kœnigs, etc.

Méthodes élémentaires de calcul du nombre u. — Comme ont sait, c'est Archimède qui le premier a trouvé le moyen d'arriver à une connaissance de ce nombre de plus en plus approchée ; il considère la longueur de la circonférence comme étant comprise entre celles des périmètres de polygones réguliers inscrits et circonscrits. Si le nombre des côtés va toujours en doublant, — ce qui permet de déduire aisément chaque couple de périmètres du couple précédent, — les deux limites se rapprochent de plus en

plus. Archimède a trouvé ainsi la relation 3 — <C t: «<^ 3 — . Les

formules qu'il emploie sont ainsi

rc

c et Y désignant les côtés de deux polygones semblables inscrit et circonscrit ; C et T, ceux des polygones réguliers d'un nombre double de côtés-

Huygens (De circuU magniiudine inventa^ Leyde, i654)adonné une ingénieuse méthode permettant d'abréger considérablement le calcul d' Archimède. Il fait voir d'abord (^) que le produit AE.EG

(») Pour plus de détails, voir Prog. Mat. 1900, p. 278 et seq.

geo:metrie

(tîg. II g) de la demi-corde par la flèche d'un arc est inférieur à huit fois le produit AD.IID de la demi-corde de Varc double par la flèche correspondante ; d'où, en nommant a?, a, b, c,... la surface du cercle et celles des polygones inscrits de n, 2/1, /j/i, 8/1,... côtes, la

relation 6 — a << ^c

lib,ce qui donne/en changeant a en b, c, (/,

En second lieu, si du point T situé sur le prolongement du rayon OC, on mène des tangentes TA, TB, que rencontre en M et N la tan-

génie en C, et que E soit l'intersection de OT et de AH, on aura a.MN.TG > AB.CE: d'où, en appelant A, B, C,... les polygones circonscrits de «, 2/1, /|/i,... cotés, 3 A — 2B ^ 6 — a, et de là

C; On a aussi ces deux relations ducs à Gregory (voir plus loin) cl à

202 RECUSATIONS M\TIli:MA TIQUES

De CCS deux inc\2^alitcs, on déduit les suivantes ... 8.BG — AB^ ,,. ^2.EBh- ÏB ,,,

Iluygens en tire la domonslralion de ces deux tlicorèmes donnés sans preuve sufïisantc par Snellius (Cyclometricus, Leyde, 1621) : une corde EII (fig. 120) coupe eii\) le prolongement du diamètre BGA, et en F la tangente en A; si BD = Bi], l'arc AE est plus grand que AF, et si IID = BC, le même arc est plus petit (pie AF. On conçoit combien les limites données par la méthode d'Archîmèdc sont de la sorte rapprochées.

Descartes dans ses Op. posth. a indique la mélhode des isopérimètres, développée plus tard par Eulcr, Montucla et Sch>Yab.

James Gregory (Vera circuli et hyp. quad. Padoue, iCG-y) s'inspi-

Fig. 120

rant vraisemblablement de l'ouvrage de Iluygens, eut l'idée d'opérer sur les surlaces elles-mêmes. Son travail qui ne le cède pas h. celui de Huygens sous le rapport de l'élégance, est beaucoup plus général. Il repose sur le tbéorème suivant, dont la démonstration est presque immédiate : soit un arc de conique à centre ABG ffig. 121);

Dcllac {i\ouv. An. 18C0), et permettant de voir combien rapidement diminuent les dilTcrences A — 0, B — 6, ... A — B, B — C, ...

(1) C'est l'équivalent de la formule \ sin w — 2 sin 7 w < 3w < 2 sin o) + tgw, qu'on démontre de plusieurs façons.

joignons le centre 0 au milieu D de la corde AC et menons les tan- (jentes ÏC, TA, MBN; i« le quadrilatère OCIîA est moyen proportionnel entre le triangle OGA et le quadrilatère OGÏA (*) ; 2° le pentagone OGMNA est moyen harmonique entre les quadrilatères OCTA et OCHA. De là, en reprenant les notations de tout à l'heure, la série

dont les termes tendent vers l'expression du secteur de manière a n'en diiïérer qu'aussi peu qu'on veut. Gregory montre ensuite qu'on a

± (c-6) > 2 d:: (A - B) > 1 / ellipse \

± '(6 — a) < 4 ± (6 — a) < 2 ^ ^ \ hyperbole /

et tire de là ce théorème que V expression du secteur est comprise entre

— ô et ' — 5 — . L usage de ce théorème est aise a concevoir :

parlant des valeurs initiales a = 2, A =: 4. il arrive après quatorze duplications, à deux limites qu'il ramène à deux autres ayant leurs quatorze premières décimales communes.

Il emploie de même ces deux théorèmes au calcul des logarithmes.

Saurin {Mém. de VAc. des se, 1728) a montré que les formules (1) peuvent être avantageusement remplacées par les suivantes, bien plus commodes pour le calcul

(») Cola n'sultc de la rolalîon OB^ = OD. OT. (-) A cause des relations

on a aussi :

=^ (C — B) < I / cllipie \ =1= (U — A) > 4 \ hyperbole y

ce qui résulte de la similitude des triangles OTA, OBP, BTS et ASR, BAP (fig. 122).

Euler, dans les Novi Coin. Ac. Petr., pour 1768, a étudié la méthode de Descartes. Il en a déduit les formules connues.

et en a déduit la sommation de nombreuses séries trigonométriques, ainsi qu'une construction qu'on verra plus loin.

Montucla, dans ses éditions des Récr. Malh. d'Ozanam, dont la première est de 1776, montre que si OA (fig. i23) est le demi-côte >iT B. ,A

Fig. 122 Fig. 123 Fig. 124

d'un polygone régulier inscrit, et G l'extrémité du diamètre qui lui est perpendiculaire, AG est le diamètre du cercle circonscrit au polygone isopérimètre ayant un nombre de côtés double.

Jusqu'ici, on a, pour le calcul du nombre tt, trois méthodes : celle d'Archimède, d'après laquelle on cherche la longueur d'une circonférence dont le rayon est donné, perfectionnée par Snellius, Huygens et Saurin ; 2" celle de Descartes, qui, renversant le problème, prescrit de calculer le rayon connaissant la circonférence; 3° celle de Gregory, qui cherche l'aire du cercle dont on donne le rayon. Il restait une quatrième méthode, la recherche du rayon du cercle dont la surface est donnée : c'est celle de Legendre, qui l'a

fait connaître dès la première édition de sa Géométrie, parue en 179/i.

Legendre considère le triangle rectangle ABC (fig. 12/4) et le

triangle isocèle c(|uivalent CDE, dont la hauteur est CF ; on aura :

CD2 = GA.CB, CF2 ^ CA. ^^-t-P-?

et on agira comme tout à l'iieurc (').

La méthode des isopérimètres a été présentée didactiquement par Schwah {El. de Géom. Nancy, 18 15) telle ^ C

qu'on l'enseigne aujourd'hui, ce qui dispense d'en dire davantage (^).

Bien que les solutions graphiques du problème de la quadrature du cercle n'aient aucune valeur pratique, elles méritent cependant une mention dans un recueil tel que celui-ci.

La quadratice imaginée par Hippias pour résoudre la trisection de

(1) Soient A,B»C, ... les rayons des cercles inscrits successifs et a, 6, c, ... ceux des cercles inscrits, on aura :

(Jubé, iVoui'. Ann. i8/j8) 6 — a ^ , A — B

La première de ces incgalilus donne la relation \b — o > 3jî > 4B — A., et la dernière, la relation 3x < A + ?.a, que Legendre prend comme une égalité approximative, quand les nombres A et a ont un grand nombre de décimales communes.

(*) Les trois premières et la dernière formules du renvoi précédent ont également lieu ici et sont ducs, la première à Bellion {Noiiv. An. 18/17), l''^ deuxième et la troisième à D. André [id. 187 1 et 1874}. la dernière à Rouchc (/(/. 188?,). On a en outre

A — JR

et 3x <; aA 4" a.

Celte dernière a élo traitée par (îcrgonnc comme une approximation.

l'angle, est le lieu ALX de l'intersection du rayon OK (fig. laS) et de la parallèle RS h 013 se mouvant uniformément de telle manière que, partant de la position initiale OA, AG, ces deux droites arrivent ensemble à la position OB, OB.

Dinostrate paraît avoir remarqué le premier que X étant le point où la courbe coupe le rayon OB, la demi circonférence décrite sur OX comme rayon est égale à OB. Cette curieuse propriété n'est d'aucun usage, car s'il est facile d'obtenir autant qu'on veut de points tels que L (*), le point X ne peut être obtenu avec précision, puisqu'en cet endroit les deux droites mobiles se recouvrent. On conçoit que les Anciens durent être frappés de cette obstination de la science à défendre son secret, et quel aiguillon elle fut pour les savants pendant les deux mille ans qui suivirent.

On doit à Descartes une construction d'un tout autre genre : AK (fig. 126) étant la diagonale du carré FB, si on inscrit dans

l'angle KAB les rectangles GC, IID,IE,... respectivement égaux au quart du carré, du rectangle GG, du rectangle IID,... les longueurs AG, AD, AE,... représenteront les apollièmes des polygones réguliers de huit, seize, trente-deux,... cotés isopérimèlres au carré.

(^) En cfTet cela revient à diviser le quadrant AR en n parties égales AF, FG, GII, ... et le rayon OA de même en n parties égales A.V, PQ, QR, ... tirer les rayons OF, OG, OH, ... que rencontrent en J, K, L, ... les parallèle^ à OB menées par les points P, Q, R, ...

Jean Bernoulli a donné la suivante en 1707 : soit ABC (fig. 127) un triangle isocèle, abaissons la perpendiculaire BG sur AG et la perpendiculaire GD sur AB ; menons GL = GD et projetons G en E sur DL ; menons GM ^= GE et projetons G en F sur EM ; et ainsi de suite indéfiniment. Les points B, D, E, F,... sont sur une même quadratice, qui coupe AG en un point R tel que l'arc de rayon Gl\ et avant BGA comme angle au centre, a un développement égal à AB."

On a aussi d'Euler celle-ci, cas particulier de la précédente : soient PGE un angle de A5% QG, RG, SG,.,. ses bissectrices successives ; si on a de plus les perpendiculaires

QF =-. ^ PE,

RG

'jn',-"

les points P, Q, R,... sont sur une môme quadratice et les longueurs GE, GF, CG,... tendent vers une limite GX égale au rayon du cercle isopérimètre.

Gergonne [Ann. de Malh. t. IV, i8i5) a fait remarquer que étant S

donné le triangle isocèle rectangle SMG (fig. 128), si on prend GG' = GS, que S' soit le milieu de C'S. C'G" = C'S', que S" soit le milieu de S'G", G"G'" = CS", que S'" soit le milieu de S"G"',... les longueurs GG', G'G", G"G'",... tendront vers celle du rayon du cercle dont la circonférence est égale à SM.

Enlin on citera la méthode indiquée pour la première fois par

Outhier pour obtenir la rectification d'un arc de cercle Oa (fig.139) de rayon OA : on prend OB = 2.OA, OG^A.OA, 0D = 8.0A,... et on décrit successivement les arcs égaux 06, Oc, Od,... qui ten-

Fig. 139

dent à se confondre avec la perpendiculaire OX égale à l'arc donné Oa.

Les points a, b, c,... sont sur une même cochléoïde^ courbe inverse de la quadratricc.

Divers moyens d'arriver à la mesure de la sphère. —

Archimède trouve le volume de la sphère à peu près comme on le fait aujourd'hui ; quant à la surface, il y arrive en utilisant ce curieux théorème : soit le polygone Ar (fig. i3o) d'un nombre pair de calés ; on a pour V expression de la somme EK -hZa -h BA + HN + 6M,

Er.Ar

des cordes perpendiculaires au diamètre Ar, la formule -p-v— > ce qui

résulte de la considération des triangles semblables AES, SKO, ZOn, ÏIAP. ...(»).

(1) Snellius s'est servi de ce théorème pour le calcul du sinus de - connaissant ceux de w et de ses multiples ; et Robcrval, comme on le verra plus loin, en a déduit la quadrature de la sinusoïde.

Aujourd'hui on calcule les expressions S sin n tu et S cos n w, d'après Euler, soit en se servant des formules de Th. Simpson, soit en transformant ces expressions en exponentielles imaginaires.

Lecointe (Noiw. Ann. i84a) a fait voir que si on divise une demi-circonférènce en un nombre impair de parties égales aux points A, B, G, ... K, L, ... U, V, X, et si on joint au centre 0 les deux divisions centrales K, L, les parties des cordes A.\, BV. GU, ... KL, comprises dans Vangle KOL, sont ensemble égales au rayon.

GEOMl'TRIE

Pappus a apporte quelque pcircclloniicmcnt à celte méthode d'Archimède, mais il faut venir jusqu'à Kepler pour voir de nouveaux principes appliques à cette théorie. Ce grand homme abordant franchement l'idée de l'infini, suppo3e la sphère composée d'une infinité de pyramides ayant leurs sommets au centre (*), ce qui lui donne la relation simple qui existe entre la surface et le volume de la sphère (Nova stereometria r/o/toram, Linz, i6i5). Il montre aussi l'égalité de deux solides coupés sous des sections égales par des plans parallèles, idée facile à étendre au cas où les sections sont, non plus égales, mais en proportion constante.

Kepler fait une application de cette théorie à la recherche du volume du tore C^) et incidemment à celui de Vonglel cylindrique. B

Voici un aperçu de sa méthode: la hauteur BE (fig. i3i) d'un cylindre est égale à la circonférence de la base; un plan qui le coupe en passant par un diamètre et par le point E détermine l'onglet ; le plan M m {x perpendiculaiie au plan AEC, coupe l'onglet suivant

{») Les Indiens, comme on l'a su depuis, avaient déjà utilisé des idées analogues.

(') Annulus ou annulas ardaus selon que la ligne tournante est une circon. férence ou une ellipse.

un triangle équivalent au cercle ayant m ;jl pour rayon. Le volume de l'onglet est donc égal à celui de la sphère.

De là la mesure d'un onglet quelconque, car le volume de ce solide est proportionnel à sa hauteur.

Kepler avait dans son ouvrage, posé un grand nombre de problèmes que, sauf un seul, — la recherche du volume du tore — il avait laissé sans solution. Cavalieri dès 1629, s'attacha à l'étude de ces problèmes et découvrit sa célèbre méthode des indivisibles, développée dans sa Geometria indivisibilibus (Bologne i635). Il assimile un volume à la somme [omnia plana) de surfaces planes infiniment rapprochées, ou plutôt, comme on dirait aujourd'hui, — à la limite de la somme des cylindres de hauteurs très petites ayant ces surfaces pour bases. Entre autres applications, il démontre ainsi la mesure de la sphère.

Soit AED (fig. iSa) un demi-cercle (ou une demi-ellipse), auquel on circonscrit le reclangle BD. Si on lire les droites OB, OC, pour toute transversale MN parallèle à AD, on a : MB^ =: PR^ -4- QR^. De là, à cause du théorème de Kepler, l'égalité de la section MN du cylindre BD et de la somme de celles de la sphère (ou du demi-ellipsoïde) Zï et du cône QC, et par suite la mesure du segment sphérique (^).

Dans deux autres solutions du môme problème, Cavalieri s'appuie sur la relation Rï^ = IR. RJ. J étant le point diamétralement opposé à I; il fait voir que le volume de la sphère ou SRT^ est ainsi représenté par la somme 2z. IR. RJ, somme qu'il calcule géométriquement et qui revient, comineon sait, à l'intégrale T^fx{i — x) dx. (Voir J. de math. élém. 1897, p. ii4)-

ïorricelli (opéra geometrlca, Florence, i644) a imaginé un autre

(1) G. tlo St- Vincent a déterminé de môme le volume de l'hyperboloïde de révolution à deux nappes. Le tyinpanum (hypcrboloïde de révolulion à une nappe) se traite aussi do mémo.

procédé très curieux mais moins général, dont voici les applications les plus simples.

1° Considérons la demi-sphère AB (fig. i33) et le cône ADG dont la hauteur est égale au rayon de la sphère. Le cylindre inscrit NlN a pour surface extérieure tt. MN. MP. Or, celle du cercle correspondant PQ dans la sphère est 7:. PQ^ == tt. AP. PB = 2:1. MP. PB. Si donc on considère le cône comme formé de tubes tels que PN,

R sA

Fig. i32

rentrant les uns dans les autres, et la sphère comme des disques très minces tels que PQ empilés les uns contre les autres, les volumes de ces tubes et de ces disques seront égaux, puisque les épaisseurs sont les mômes. De là, l'égalité des deux volumes.

2' Dans le triangle rectangle isocèle ACF (fig. i3^i) on a 7t. MP. MQ = 2 (^. QG^). Or, si on fait tourner la ligure autour de CD, et qu'on considère le volume produit par la rotation de BAC comme formé de tubes cylindriques, celui qui correspondra à MQ aura une surface égale h -z. MP. MQ, c'est-à-dire égale à celle du cercle MP. L'épaisseur du tube étant égale à celle de la Iranche MP (^), là

(') Si BD était un rectangle quelconque, les tubes du lolicJe concave et les tranches du cône n'auraient plus les mêmes épaisseurs ; celles-ci seraient dans le rapport de AI) à CD, mais alors les expressions ir.MP.PQ et aTc.QC^ étant dans le rapport do CD à AI), on a :

tube MQ CD AD trancKe MP "" AD CD ~~ *

c'est-à-dire la conclusion de Torricelli, qui semble du reste s'utro rendu com[>te de cette géjx^ralisation de sa méthode.

Le défaut de la méthode des indivisibles — dans laquelle on fait abstraC'

272 RÉCRÉiTIONS M.VTIIÉMATÎQL'ES

somme des tubes, ou le volume du solide concave est donc double de celle des seconds, qui représente le volume du cône. Celui-ci est donc le tiers du cylindre circonscrit.

3" Soit le triangle rectangle isocèle ABC (fig. i35) sur le côté BG duquel, comme diamètre, on trace une circonférence. Si l'on fait tourner la figure autour de BC, comme 2 . MP^ = 2 . BP. PC = NQ.N S

A 0 1^ ASC

Fig. i34 F'g. i35

on conclut que le volume du cône est double de celui de la sphère, 4° Dans la même figure, on a :

MP2--NP2 = (MP4-NP)(MP— NP)r=MN.NL=:EN.NB=NQ.NT.

Donc la couronne MN est égale à la surface extérieure du cylindre ÏQ, et le volume de la demi-sphère est le double de celui du cône EBG.

C'est Wallis {op. cit.) qui le premier est parvenu à l'expression du volume de la sphère par un calcul algébrique, qui n'est autre

que celui de l'intégrale / (i — x^)dx.

Gergonne (Ann. de math. t. XIII) a montré commenton peut déduire de la mesure de l'onglet celle du fuseau sphérique, mais sa

lion des épaisseurs des tranches considérées — était d'exiger implicitement que ces tranches aient même épaisseur ; autrement on arrivait à des absurdités. La méthode infinitésimale exprime explicitement les infiniment petits.

dcmoiistralion n'a pas et ne semble pas pouvoir offrir loule la rigueur désirable pour une démonstration élémentaire.

Mesure dé l'onglet. — On a défini plus liaut ce corps, appelé aussi en architecture trompe^ voiUe d'ùréte ou arc de cloilre, suivant sa disposition.

G. de Saint-Vincent a traité directement la mesure de l'onglet [ungula) déterminé par un plan incliné A l\ô° sur la base, cas auquel se ramènent tous les autres. On peut présenter sa théorie ainsi (*), (Opus geometricam, Anvers 1G47).

Soient deux figures planes ACB, ADB (fig. i3Gj de même hau-

Fig. ï'M

leur AB. Une perpendiculaire KIG à AB coupe les doux surfaces suivant les lignes RI, IG ; on relève IG perpendiculairement au plan de la figure ABC et on achève le rectangle des deux droites GI, IK. Le solide formé par des constructions semblables répétées à tous les points de AB se désigne par l'expression ADB duclum in ACB. Ainsi si ABC est un cercle et ADC un rectangle, le solide est un cylindre ; si les deux figures sont des carrés ou des triangles rectangles, placés de même (ayant tous deux leur sommet en B), le solide est un cube ou une pyramide h base carrée ; dans le cas de deux triangles ADB, ACB (fig. 187) tournés inversement, le solide est un tétraèdre;

(^) Oa voit cette construction dans Cavalicri, mais c'est G. de St-Vincent qui cil a tire ses conséquences, souvent très remarquables (Voir ./. de Malh. 61. i8(j7, p. 162 et se(i.).

Récréations maUiémaliques, III. 18

si les deux figures sont des demi-circonférences, comme ALB, AHB, le solide est l'assemblage de deux onglets à 4^3" (fig. i38).

On a (iig 187), Kl. IG = LI. IH : le volume de l'onglet à 45' est donc égal à la moitié de celui du tétraèdre ('), c'est-a-dire

à o OA^. De là le volume d'un onglet de hauteur c[uclconque. ou

ayant pour base un segment quelconque.

Passant de cet onglet à celui de Kepler, on aurait une nouvelle cubaturc de la sphère donnée dans l'opuscule Diverses quadratures... par Clairaut, le cadet ("), (Paris, i73i); mais ce procédé s'éloignait trop de ceux de la géométrie ancienne pour que G. de saint Vincent s'en servît.

De même, la surface de l'onglet se lire aisément de l'expression de son volume, de la même manière que Kepler le fait pour la sphère, puisque l'onglet peut être considéré comme l'assemblage d'une infinité de pyramides ayant même hauteur et leur sommet commun. Cependant G. de Saint-Vincent préfère appliquer la méthode, très belle mais très prolixe des Anciens au théorème d'Archimèdc rappelé au commencement de la note précédente, ce qui est d'ailleurs la voie directe pour arriver à la connaissance de la surface de l'onglet (').

(i) On a voulu seulement donner ici une idée de la mclliode daclus plain in plaiium et des facilites qu'elle donne pour la description et le mesurage de certains corps, onglets do cylindre parabolique ou liyperboliquc, etc.

(2) Cet ouvrage, d'un géomètre do quatorze ans, contient difTérents problèmes sur les lunules, leur partage, les lunules elliptiques et hyperboliques quarrables, les additions de segments et la construction de difTérentes courbes. On sait que son frère aîné lisait à dix ans VAnal. des inf. petits, de l'Hospilal, et qu'il publia à seize ans son célèbre Traité des courbes à double courbure,

(-*) Ce théorème d'Archimède peut conduire également à la mesure du

GEOMUTRIË 270

Pascal {Traité de la roulette, Paris i658) a remarqué que le volume et la surface extérieurs d'un tronc de prisme quelconque ont pour mesure le produit de la section droite ou de son périmètre par la hauteur correspondant au centre de gravité de la surface ou du périmètre. On a ainsi un autre moyen d'arriver à la mesure de l'onglet: on n'abrégerait d'ailleurs nullement ainsi la recherche, car la connaissance des deux centres de gravité demande des calculs qui sont absolument ceux de G. de Saint^Vincent.

Construction mécanique de certaines courbes. — Les Anciens se sont-ils préoccupés de tracer les courbes qu'ils avaient imaginées autrement que par points isolés? La chose est probable mais le peu d'élégance des constructions qu'ils auront ainsi trouvées les a fait oublier (M. La quadratrice, la spirale et l'hélice peuvent être définies cinématiquement, mais la mécanique pratique était alors trop peu avancée pour qu'on pût penser au tracé eifectif de ces courbes transcendantes. Le premier instrument de ce genre est celui de Nicomède propre au tracé de la concboïde et formé d'une règle mobile passant toujours par un point fixe, tandis que l'un de ses points suit une droite fixe et qu'un de ces autres points trace la courbe.

Proclus décrit un ellipsographe^ qui paraît lui être bien antérieur; c'est en principe une droite qui a deux de ses points assujettis à rester sur deux droites rectangulaires : tout autre de ses points décrit une ellipse (^).

volume de l'onglet : désignant en cfTct par s, t, p, •/;, 6, ... les sommets des génératrices des points E, Z, B, II, 6 {ficj. i3o), le prisme tronque inscrit dans l'on^'let aura pour volume la somme des prismes triangulaires tronqués AES, E.^.^. HZS, uni, elJv, rev somme aisée à évaluer.

(•) Eraloslhène, cité par Eutocius, paraît dire que Ménechme traçait mécaniquement les coniques qui résolvaient le problème de Delos, et Pappus dit expressément qu'il n'est pas facile de décrire ces courbe», ce qui montre rexistcucc de recherches sur ce sujet.

(-) Praliquement, on emploie une simple bande de papier sur laquelle on a marqué les longueurs des demi-axes, et on opère de méiuc.

'J.'jC) RÉCHÉATlONS MATHÉMATIQUES

Peu après, Isidore inventa pour le tracé de la parabole, un instrument qui ressemblait à la lettre X. Il y a lieu de croire que ce parahohrjraphe est le même que Woepke [VAUj. d'Omar Alkayyami, Paris, i85i) a trouvé employé chez les Arabes, pour le tracé des coniques. 11 consiste en un compas dont une branche porte une pointe traçante pouvant s'allonger à l'aide d'un ressort, de manière à toujours s'appuyer sur le papier, tandis que l'autre branche est fichée obliquement dans le plan de celui-ci.

Les Arabes connaissaient également l'emploi de Tds pour le tracé des mêmes courbes ; du moins voit-on des le ix." siècle, indiqué comme connu le tracé de l'ellipse dit ovale des jardiniers.

Léonard de Vinci (fin du xv' siècle) a inventé un loiir à oua/e, qui est l'inverse du procédé de Proclus ; la droite KLM étant fixe, un angle droit se meut dans son plan, de manière que ses côtés passent respectivement part les deux points K et L ; le point M trace une ellipse sur le plan de l'angle mobile.

C'est à Cavalicri que sont dus les premiers points de vue sur la définition des courbes comme intersections de droites mobiles. Il considère la parabole (op. c;7.) comme le lieu des intersections de parallèles équidislantes et de droites concourantes qui déterminent des segments sur une de ces parallèles. Ce procédé est encore souvent employé, pour le tracé de la parabole par points.

Descartes, qui a attiré l'attention sur l'étude des courbes en gédéral,a également montré comment on peut les définir, non seulement par des équations, mais encore par des combinaisons de règles, d'équerres et de fils. Il fait voir, dans sa Géom. que si le coté KL d'un angle CKL se meut dans 'sa propre direction en faisant tourner une droite GL autour du point fixe G, V intersection M de GL et de KG a pour lieu géométrique une hyperbole.

Il construit la courbe p sin *co = i à l'aide d'un compas dont une branche est fixe et dont l'autre porte une équerre faisant mouvoir successivement A; — I équerres mobiles disposées de manière à pouvoir glisser sur les deux côtés de l'angle. Cet inslrumcnl est tout théorique.

Il indique aussi le moyen suivant de tracer son ovale à l'aide d'un règle munie d'un fd maintenu contre elle par une poinle traçante M, ce même fd passant autour du point fixe A, puis de nouveau autour de la pointe M, pour venir s'attacher au point fixe B ; la règle tourne elle-même autour d'un de ses points qui reste fixe.

Cavalieri, dans ses Exercitationes geonielricœ (Bologne, 1G47), a défini l'ellipse et l'hyperbole comme lieux dos intersections de deux faisceaux de droites déterminant sur les côtés d'un angle droit des segments égaux.

Schooten (Ex. Math.) a abordé la réalisation eflective et pratique du tracé des coniques. Généralisant le théorème de Proclus, il remplace l'angle droit par un angle quelconque et la droite mobile par un triangle dont le sommet libre décrit une ellipse. 11 propose aussi un compas dont une pointe reste fixe tandis que l'autre se meut sur une droite passant par 0 : tout point de la droite mobile ou qui lui est invariablement lié, décrit une ellipse,

Il a déjà été fait mention de la découverte de ce géomètre du contre-parallèlogramme et de son usage pour le tracé de l'ellipse et de l'hyperbole.

Jean de Witt, dans la deuxième édition lalinc de la Géom. de Descartes (Amst. 1G59), a donné diverses généralisations des constructions de Cavalieri, entre autres, celle-ci : un angle tourne autour de son sommet et un de ses cotés coupe une droite fixe en II ; par H, on mène, à une droite donnée, une parallèle qui rencontre Vautre côté en un point M dont le lieu est une conique {').

Barrow (Lectiones geometricœ, Londres 1672) a donné la construction du cûppa p = tg coj comme lieu du sommet d'un angle droit

(•) Newton, dans ses Princ. a étendu ce théorème au cas de deux angles tournant autour de leurs sommets : si deux cotés se coupent sur une môme droite, les deux autres se coupent sur une nicme conique.

Mac-Laurin {Geomctria organica, Loridrcs, 1720) fait tourner les angles autour de points situes sur les côtes et obtient ainsi des cubicjucs cl des quarliques.

dont un côté passe par un point fixe 0 et un point de l'autre se meut sur une droite passant par 0 (*).

Tscliirnliaus [Medic'ma mentis, Amst. 1G8G), a montre à construire la tangente d'une courbe décrite par un stylet tendant un fil qui s'enroule sur des courbes fixes et autour de points également fixes. Fatio et Leibniz ont beaucoup étendu cette théorie.

Laliire a fait connaître en 1699, dans les Mém. deVAc. des se, l'appareil qui porte son nom et formé d'une roue A engrenant à riniérieur d'une roue B de rayon double: tout point du plan de la première décrit une ellipse. On sait d'ailleurs que tout point de la circonférence de A décrit un diamètre de la roue B (Cardan, Opus novum, Bâle 1570) : c'est le premier, et longtemps le seul moyen qu'on ait eu de tracer une ligne droite.

C'est à Newton (Ariihmetica universalis, Londres 1707), qu'on doit le mojen de décrire la cissoïde à l'aide d'une équerrc OAB, dont le point B se thicut sur une droite fixe D, et le côté AB passe par un point fixe 0 situé à une distance de D égale à la moitié de AB : c'est le milieu de AB qui décrit la courbe (-).

Guido-Gràndi a proposé, pour le tracé de l'hyperbole l'emploi d'un fil à plomb que tend une pointe traçante, pendant que le plomb se meut sur une droite (Flores geomeirici, Florence, 1728).

On remplace souvent dans les applications industrielles, les courbes par leurs conchoïdes obliques, appelées roselles et qu'on trace h l'aide d'un appareil appelé régletle imaginé par La Condamine en 1784: c'est un perfectionnement du conchoïdographe de Nicomède.

Les épicycloïdcs se tracent à l'aide de la peiina geomelrlcaj de

(1) Galschoven avait de même étudié dès iCC:i, la courbe définie par cette construction (t. IV des Œuvres complètes de Iluygens).

(-) Le lieu du sommet A est une slrophoïde.

Newton a aussi considéré le lieu de rexlrémilc B du côté AB d'un angle droit OAB, dont le sommet parcourt une droite, tandis que le côté OA es\ assujetti à passer par le point fixe 0.

Suardi (Nuovi instriimenii, Brcscla, ijôa), formée de trois roues dentées A, B, G, montées sur le môme bras. Le système tournant autour de la roue A, tout point du plan de G décrira une épitroclioïde : il peut donc servir en particulier pour le trace de l'ellipse, du limaçon et des épicycloïdes.

Il a déjà été question, dans la note sur les systèmes articulés de la description d'un assez grand nombre de courbes ; avec ce qui vient d'être dit, on aura ainsi une idée suffisante de l'application de la mécanique au tracé des courbes. Toutefois il ne sera pas inutile d'ajouter quelques indications sur certains mouvcnts rectilignes exacts ou approchés.

Watt a donné en 1784, son parallélogramme bien connu, comprenant trois barres AB, BC, GD articulées entre elles et aux points fixes A et D. Le milieu de BG décrit une courbe à loiujne inflexion, laquelle, sous certaines conditions, peut être prise pratiquement pour une ligne droite. On sait qu'il s'agissait de guider le piston en ligne droite sans se servir de glissières.

Trois ans après Gartwriglit proposait la solution exacte résultant de l'emploi de deux roues dentées égales tirant la tôle du piston, par l'intermédiaire de deux tringles d'égales longueurs articulées aux deux roues, en des points correspondants.

Le dispositif de Sarrut se compose de deux leviers articulés ABG, DEF pouvant se mouvoir dans deux plans fixes différents autour des points A et F ; une tige GD articulée à ces deux leviers sera à la fois dans ces deux plans et par conséquent ne se déplacera que dans leur intersection.

Galloway a imaginé de faire tourner une roue à deux, trois ou quatre dents dans l'intérieur d'une roue fixe de trois, quatre ou cinq dents profilées de manière à ce que le centre décrive une ligne droite. La difficulté du tracé et les frottements considérables que présenterait ce système, quoique atténués par des galets, le rendraient bien moins pratique que les glissières qu'on voulait remplacer. On a de même proposé, pour obtenir le mouvement en ligne droite, de

280 RÉCRÉATIONS MATTIÉMATIOIES

faire rouler diverses courbes sur d'autres courbes convenablement choisies (*) ; mais ces courbes sont généralement difficiles à tracer, et la plupart transcendantes.

On a surtout tenté de perfectionner le tracé approximatif de Watt. Le balancier d'Evans se compose d'un rhomboïde ABGD, dont une des grandes tiges AD est fixe, et la petite tige BC prolongée d'une longueur GF égale à elle-même. Si les tiges AB et AD sont très grandes par rapport aux autres, le point B décrit un arc de cercle assimilable à une droite perpendiculaire à AD, et par suite, le point F se meut approximativement dans la direction de AD.

liarwey a proposé d'employer un pentagone articulé dont un côté est fixe, et les milieux des deux côtés adjacents, réunis par une bride articulée.

Roberts a indiqué cette solution : un triangle isocèle DGE dont les sommets G, D sont articulés aux extrémités des tiges AD, BG, mobiles autour des points fixes A, B ; la trajectoire du sommet E diffère peu d'une ligne droite.

Tchebichef a étudié et modifié de plusieurs manières le parallélogramme de Watt. Ainsi la distance AD des points fixes étant /i, les deux manivelles AB et GD ont chacune une longueur 5 et sont croisées, comme dans le contre parallélogramme : la bielle BG a une longueur 2 (^). Il remplace aussi la bielle par un triangle dont

(') G'est ce qui a lieu pour une spirale logarithmique roulant sur une droite, pour une courbe de Ribaucour, 4 (?^ — i) (fs- = a^dp-, roulant sur une hyperbole, ou une courbe de Delaunay (j^ + i) d^ = «yrfs roulant sur une circonférence.

(2) Réunissant les milieux E et F, de BC et de GD par deux brides articulées EG, GF, la tige EG se déplacera à peu près parallèlement k AB.

Tchebichef a encore donné un autre appareil à mouvement presque parallèle, dont on se fera une idée en étudiant le système formé de deux parallélogrammes ABGD, A'B'G'D' ayant leurs côtés AB, CD, A'B'C'D' égaux et articulés entre eux, aux milieux communs des côtés AD eJ A'D', I3C et B'C. Les articulations C et D étant fixes, une bride réunissant les articulations A' et B produira le mouvement»

le sommet parcourt une ligne s'approchant beaucoup plus d'une ligne droite que celle de AVatt.

Quadrature géométrique de certaines courbes- — La

parabole est la première courbe qu'on est parvenu à quarrer('). Arcliimède y est arrivé par deux voies différentes; malgré son intérêt, il ne sera pas parle de la première, alin d'abréger. Quant à la seconde, elle consiste à inscrire dans un segment un triangle maximum, ce qui donne deux nouveaux segments dans lesquels on inscrit des triangles maxima ; dans cliacun des quatre nouveaux segments, on inscrit de même des triangles maxima, et ainsi de suite : le calcul est ramené à la sommation de la série

' + /,-*- -re + 0^ +•••

Archimède a quarré la spirale, en calculant la valeur de l'expression qu'on représenterait aujourd'hui par fx^dx, valeur qu'il trouve en cherchant d'abord la somme des carrés des n premiers entiers. 11 a ainsi montré que la quadrature d'une courbe définie par ses coordonnées polaires dépend de la sommation des carrés des rayons vecteurs correspondant à des angles croissant arithmétiquement.

11 avait virtuellement démontré que Ion le figure sphérlque se projette en vraie grandeur sur le cylindre circonscrit Ç^) . Papus a appliqué ce beau théorème h la courbe sphérique produite par un point mobile se mouvant uniformément sur un quadrant qui pendant le même temps, tourne d'un tour entier autour du rayon de l'origine de ce quadrant. C'est le premier exemple de quadrature d'une surface courbe.

(*) Les lunules d'ilippocralc 110 sont pas, à proprement parler, des surfaces quarrabics, mais des surfaces reclilignes modifiées par Taddition et le re- Irancliement de segments égaux.

(-) C'est la projection gcograpijiquc dite cylindrique, qui conserve les aires.

28î^ RÉCRÉATIONS ^IATHÉMATIQUES

Les principes utilisés dans les rcclicrclics précédenlcs paraissent avoir été étudiés et généralisés d'abord par Descartes. Toutefois, c'est Robcrval (Mersenne, CogUaia physicomalhematica, Paris, i644) qui a le premier, fait connaître la parabole générale j" = x'" et sa quadrature, laquelle revient comme on sait à la formule

fl -''

dx = j

et on voit, dans les Ex. Geom. de Gavalieri, la prcmi^re mention de celte formule et sa démonstration (^).

Roberval en i638, et ïorricelli en iC/jo, découvrirent la quadrature de la cycloïde, en comparant les longueurs MQ, NQ, PO (lig. iSq) déterminées par une parallèle à la base AD, dans la demicycloïde AMG, la sinusoïde ANC (2) et le demi-cercle DPG. On sait

(*) Roberval, dans une Icltrc à Format, do i()3(), la présente sous la forme suivante

i . __L -^ i* + ..^ + 3^- + ...-f n* ^ i n '^ k -]- i ^ hHi '^ /c + I

qui se lire de la formule de Mac Laurin (p. 175) en faisant o = 6 -f i et 6=1,2, 3, ^,... Cette démonstration est due à Schlômilch.

On peut la tirer aussi, dans le cas de h entier positif, des identités

i.2.3...fc + 3.3... (/« 4- i) +...+ (n — /c + i)...n

Pascal a démontré la formule de Cavallerl, en lOô/j, en s'appuyant sur la formule, — beaucoup plus compliquée et beaucoup moins élémentaire, — donnant la somme des puissances semblables des termes d'une progression arithmétique.

(-) Torrlcelli ne fait pas intervenir explicitement la sinusoïde (op. cit.), mais sa démonstration revient à celle de Robcrval. Il considère deux transversales parallèles ^IQ, M'Q' symétriques par rapport aux points C et D, et il ajoute les longueurs qu'elles déterminent dans la demi-cycloïde, dans le triangle ACD et dans le demi-cercle.

l^e défaut de cette démonstration de Torricelli est qu'il obtient seulement

que M\ :=. PQ, donc la siuTacc AÀING est égale au demi-cercle CD; cl, comme visiblement l'aire ANGD est égale à celle du triangle ACD, il s'ensuit que la surface AMCD est le triple du demi-cercle.

G. de St-Vinccnt (op. cit.), quoique ne s'étant pas occupé spé-

Fig. i39 Fig. \liO

cîalement de quadrature des courbes, a cependant découvert plusieurs théorèmes qui s'y rattachent : sa quadrature de la surface de l'onglet revient à celle de la sinusoïde, non encore publiée. C'est lui aussi qui a le premier démontré que deux segments de coniques compris entre deux parallèles sont égaux, et que si dans une hyper^ bole, les ordonnées à une asymptote croissent géométriquement, les //'apèzes hyperboliques croissent arithméliquement. Enfm il semble avoir étudié sa parabola viriuaHs{^) dans le but de représenter par sa quadrature la cubature de l'onglet.

ainsi la quadrature de toute la cycloïde, tandis que I\ohcrvaî, en ramenant à la quadrature de la sinusoïde celle de la cycloîdc, peut déterminer la quadrature d'une portion quelconque do celle dernière.

(») Celte courbe remarquable, retrou vco par Cramer, qui Ta appelée la besace, est le lieu du point M (fig.i/|i) situé sur une perpendiculaire l\N à la corde circulaire OP ot tel que PM r= ON G. do St Vincent a fait voir qu'elle est également le lieu des points ayant pour ordonnées la deml-.sommo de celles de deux paraboles (îAlI, EBF tournées inversement. Do là sa quadrature et celle du Iri/otium p = ços tu cos aw.

La sinusoïde fut par suite appelée quelque temps la compagne de la cyclûïde. Elle avait déjà été considérée par Roberval comme produite par une surface cylindrique, à l'aide d'un compas d'une ouverture égale à son diamètre, surface qu'on déroule ensuite sur un plan. La courbe tracée sur le cylindre est en même temps une courbe spbérique(*), comme le remarque Lalouvèrc (/>)e Cycloide, Toulouse, 1660), qui a retrouvé et divulgué le premier la quadrature de cette courbe. Voici le procédé de Roberval et de Lalouvère : soient P (fig. i/io) la projection du point M de la circonférence AM sur le rayon, et K l'intersection du rayon OM et de la circonférence OA; les arcs AM, AK sont égaux, de même que les droites MP, AK, de sorte que si on porte perpendiculairement au plan du papier les longueurs KK' = KA et MM' = MP, les deux courbes lieux des points K' et M' coïncideront après développement des deux surfaces sur un plan. Or le premier de ces deux lieux est une cyclocylindrica et le deuxième, une ellipse limitant un onglet à 4^** *• ils se réduisent donc à une même sinusoïde. Roberval aurait pu déduire la quadrature de la sinusoïde de celle de l'onglet mais il procède directement, en utilisant le théorème d'iVrchimcde déjà plusieurs fois rappelé (2).

La quadrature des conchoïdes en général est également due à Roberval. Il arrive ainsi par exemple à celle du limaçon : soit la demi-circonférence OA (fig. 142); prolongeons les cordes OL, OK, OJ, 01,... d'une longueur constante LN, KM,... le lieu des points N, M,... est un limaçon. Menons Km = LN ; la surface élémentaire MKLN se compose 1^ du triangle mKM, égal au secteur N'AM', élément du secteur AN'B, et 2° du trapèze NLKm, qui a pour me-

(1) Que Lalouvère appelle cyclocylindrica, mais qu'on appelle aujourd'hui vivianienne, du nom du géomètre qui a appelé l'allcntion sur cette courbe.

(2) Tartaglia (op. cit.) a eu la première idée de la \ivianicnne, dans un problème qu'il définit ainsi : « designare in vna sola riuolutione di compasso vna figura ouale ». Les Rccr. Math, de Leureclion ^Pont-à-Mousson, 1624) contiennent aussi ce procédé de description d'un ovale sur un papier enroulé autour d'un cylindre,

GliOMLTRlE

sure LN.HL. Sommant les éléments semblables, entre les points L et A, il vient pour la surface NLAB, l'expression sect. N'AB -+- LN.S.IIL. Or si les droites LN et KM sont très voisines, on a :

S.HL = S (AL — AK) (') = (AL — AK) -i- (AK — AJ) -f (AJ — AI) -h ...=AL(2)

Enfin on citera, de Piobcrval, celte remarquable transformation N

Fig I',2

de courbe. Soit la tangente MT à la courbe AM (Gg. i4o) ; menons MX parallèle à la droite fixe AT et prenons LN = PT : le lieu de N est la transformée en question, et les deux courbes M et N sont liées par cette propriété que le segment MPA est égal î\ la surface LAN, chose aisée à démontrer si on mène une tangente M'T très voisine de la première.

La cissoïdc a été quarrée par lluygens à peu près ainsi. Soit AK une tangente et ON une corde du cercle OA (fig. i/i/j). Prenons OM == AK ; le lieu de M est une cissoïdc. Or OM- = OK^ — ON^ — 2. AN-, d'où pour le secteur OM, l'expression

Fig. lU

tri. mixt. NKA

2 seg. NA.

0) AU ne (lifïcrc de AK que d'au infiniment petit du deuxième ordre, puisque IIK est perpendiculaire à AK.

{') Robcrval étend celle lliéoric à la concUoïdc d'une courbe quelconque.

Descartes, Cavalicri et Roberval avaient compris qnc la quadrature d'une courbe en coordonnées cartésiennes se ramène à la recherche de la sommation des ordonnées, et avaient appliqué celle remarque à la quadrature des paraboles. Wallis (op. cit.) a étendu cette sommation aux courbes dont l'équation est de la forme V = Ax" 4- Bx^' H- ..., M, p,... désignant des exposants entiers ou fractionnaires (*). On lui doit aussi la quadrature de la spirale logarithmique.

Sluzej dans la deuxième édition de son Mesolabum, a quarré la

b fc-l-rt

perle j« = a;'' (i — xY, en la mettant sous la forme y = .t" — x '^ , et a ramené la quadrature de la spirale générale p = w" à celle de la parabole générale, à l'aide d'une transformation qui peut être rendue par ce tliéorème, que Newton a donné plus tard explicitement : rabailons le vecteur OiVI en OP, sur Vaxc polaire à l'aide de Varc circulaire MP, et en P, élevons une perpendiculaire PN égale à ce même arc; le secteur OMA correspondant au lieu de M est la moitié de celui du secteur ON A.

(•) Fermât a, le premier, indiqué le moyen de quarrer les courbes définies par des équations implicites. Par exemple, pour le huit y^ = x^ — .r's il pose j = ux d'où x^ + u- = i, et il vient :

2 / jdx = 2 / uddx = x-v — f x-(hi = x-u / (ï — U-) (lu

Pour le fuliuin x'' -f- 7^ = xy, il écrit v = ux-, d'où u'^x^ = » — i et par suite

3 / ydx = 1 Zux-dx = 1 ud (a;5) = ux'^ — / x-Wu =. ux'" — | " "~ ■ du Pour Vagncsiciinc y^x -f a: = i, on fera x -■= il- et j — ^^, d'où

vS 4- ii2 = I et Cydx =2=j"

:du.

La quadrature de cette courbe se ramène donc k celle du cercle t)^ + u- = I, ce que Gregor}' avait démontré géométriquement, comme on le verra plus loin. Lalouvère paraît l'inventeur de celte courbe, que Fermât a quarrée à sa demande.

Gregory a Irallé spccialemcnl de la Iransfornialion des courbes, dans £:a Geom. pars univ. (Padoue, 1G67), et dans ses Ex. Geom. (Londres, 16G8). Il y a surtout à citer le théorème de Roberval qu'il a retrouvé, et un autre semblable, relatif à une transformée >^'' (fig. i43) déterminée par la perpendiculaire N'T élevée au pied de la tangente et la parallèle MN' à AP. Dans ce cas, la surface MAT est égale à la moitié du segment ANT. Une application très intéressante de cette transformation a lieu pour le cercle : on trouve ainsi l'agnesienne j(i -^ x^) = 2, dont la quadrature dépend ainsi de celle du cercle.

Barre w (op. cit.) a donné un grand nombre de transformations de ce genre avec les théorèmes concernant les relations entre les quadratures, les arcs, les tangentes, les centres de gravité, etc. des courbes et de leurs transformées.

C'est en 1G92 que Viviani proposa dans les y\da ErmUtornm de trouver une surface sphérique quarrable. Le théorème d'xVrcliimède sur les projections cylindriques de telles surfaces donnait une solution immédiate, puisque la surface extérieure de l'onglet (') est quarrable. Aussi Leibniz trouva-t-il aussitôt la solution même de Viviani, qui n'est autre que la surface retranchée de la sphère par un cylindre de rayon moitié moindre et qui lui est tangent intérieurement. La lig. i/jo rend compte de tout cela.

Guide Grandi (op. cit.) a montré à décrire la rosace (rhedonea) produite en projetant, perpendiculairement à la base, sur la surface d'un cône droit, une circonférence tracée sur un rayon de cette base comme diamètre, la surface étant ensuite déroulée sur un plan. En général les formules de transformations sont p' = kp, w' ::=: Aw, d'où, dans le cas du cercle p' = sin w, la rosace d'indice A', p ^=^ k sin Ao).

On doit à Jean Bernoulli {Acla Erud. 1696) cette remarque qu'u/ie aire conique quelconque se projette sur la base suivant une sur-

(1) Leibniz l'appelle sculus, et la surface splniriquc carbasa, que Viviani dénomme vêla qiiadrabilc fiorentina.

face qui esl à Vaire projetante comme le rayon au côté du cône. De là la quadrature de la rosace, dont chaque feuille a une surface égale à la moitié de celle du secteur circonscrit (^).

Guido Grandi a appelé délie (clœlia) la courbe sphérique qui se projette sur le plan de l'équateur suivant une rosace. La courbe de Pappus est une délie d'indice i/4 ; celle de Viviani, une délie d'indice i. Les délies déterminent sur la sphère de nouvelles surfaces quar râbles.

Dans son Treat. of Flux. Mac Laurin traite de plusieurs quadratures géométriques, dont les suivantes, soit la perpendiculaire IvB à OA équidistante des points 0 et A (fig. il\b) ; sur Olv, prenons le

AG

point M tel que MA = AK ; le lieu de M est une irisectrice. L'angle MAC est toujours triple de l'angle MOC, et par suite il en est de même des éléments du secteur AMG et du triangle 0KB.

Le folium n'étant autre que la courbe résultant des réductions des ordonnées de la trisectrice, dans la proportion de /S à i , la quadrature de cette courbe est aisée à déduire de celle de la Irisectrice.

Si AB (fig. il\G) est une tangente à la circonférence 0 faisant un

(') La droite p siii o) = i se transforme en la courbe kp sin Aco = i, dont la quadrature se ramène par suite à celle d'une figure rectiligne. On pourrait tirer de là diverses manières de trisccter un angle à l'aide d'un conc.

La rosace est en même temps un limaçon, une podairc d'épicycloïde et une cpitrochoïdc. C'est également le lieu des intersections de deux, circonférences tournant uniformément autour d'un point fixe qui leur est commun, et le lieu de l'articulation d'un compas dont les deux pointes se meuvent uniformément sur une même circonférence.

Elle se construit par points de différentes manières.

angle de A^" avécle diamètre AO, et que sur une transversale quelconque AL, on prenne, avec Mac Laurin, AM = KL, le lieu de M sera une lemniscate . On a ainsi : 0\P = OL^ -h OK- — 2.OB, ce qui, en considérant les secteurs élémentaires, conduit à écrire pour la surface AMD

sect. BLD -h sect. ARF — 2 scct. ABO.

Depuis on a donné bien des quadratures dans ce genre, mais ce qui précède paraît suflisant pour la connaissance du sujet, dont les éléments seuls ont du reste été envisagés ici. Il sulTira de signaler pour conclure, les formules de quadrature approchée de Th. Simpson, de Poncelet, de Parmenlier et autres.

Rectification géométrique de quelques courbes. — Le

problème de la rectiiication des courbes a dû se poser peu de temps après celui de leur quadrature. Après avoir comparé les surfaces des figures rectilignes, l'idée sera venue de leur comparer celles des figures curvilignes, et ensuite de comparer les arcs à des droites ayant avec les paramètres de la courbe des relations simples. Arcliimède parvint à donner de la circonférence, deux limites qu'on pouvait par sa méthode, resserrer autant qu'on voulait. Peut-être que s'il avait voulu s'affranchir entièrement de la crainte de voir discuter ses découvertes (^), lui que son génie devait préserver de Terreur, il eût mené à terme bien des théories dont il ne nous a laissé que le principe, abandonnant aux modernes toute la gloire de leur invention. De ce nombre est la rectification des courbes. La première mention qui en est faite est celle delà loxodromiei^)^

(1) Il parait bien prouvé maintenant qu'il a trouvé ses théorèmes par des méthodes simples analogues aux mclliodcs modernes, et qu'il les a ensuite exposées sous la forme inattaquable, mais combien prolixe, qu'ont adoptée les Anciens.

(2) On sait que c'est une courbe sphcriquc coupant tous les méridiens sous le môme angle : c'était la courbe théorique de la navigation à voile, comme l'arc de grand cercle, celle de la navigation à vapeur.

UocréatioDs mathOtnatiqucs, Ili. n^

agO UEGIIEATIONS MATHEMATIQUES

que Snellius a virtuellement veciiiïée {TipJiy s batavus, Leydc, 1624)» Yoici au reste son théorème : « Loxodromia est instar basis triangiili plani rectanguli ad sphœrœ superjiciem applicati, cujus crus unum sit distancia paralleloriim inter quos intercipitur . » Il le démontre au moyen de la considération du triangle formé de l'arc reliant deux points vicinissima, de l'accroissement du méridien et de celui du parallèle correspondant.

Gomme on le voit dans l'ouvrage cité de Mersenne, Roberval avait découvert, dès 1 644. la relation existant entre leâ al'cs delà parabole et ceux de la spirale (^), relation qu'il avait déduite de sa doctrine des mouvements composés. Ce théorème a été vérifié par Pascal, en iGSg, par la méthode des Anciens.

AVrenn a trouvé la rectification de la cycloïde, en iG58 ; Pascal a étendu cette découverte aux cycloïdes allongées et accourcies, qui se rectifient par des arcs d'ellipse, et a fait voir qu'à toute cycloïde allongée correspond une cycloïde accourcie ayant ses arcs égaux à ceux de la première : c'est là le premier germe de la théorie des fonctions elliptiques.

Dans une lettre à Mersenne de 16G8, mais publiée seulement en lOOS, Descartes fait mention de la spirale logarithmique (-), dont il donne la rectification, sans paraître s'en douter, de même que Snellius, tellement était enraciné ce préjugé qu'aucune courbe ne pouvait être mesurée par une droite. Ces propriétés de la spirale logarithmique ont été retrouvées par Wallis et publiées dans son De Cycloide, Il était du reste facile de passer de la découverte de Snellius à celles de Descartes et de Wallis : les figures sont les mêmes dans les deux cas.

(*) Cavalicri avait déjà remarque que la spirale n'est qu'une parabole contournée suivant une loi simplcj mais il n'avait en vue que la comparaison des surfaces des deux courbes.

(-) II la définit comme s'inclinant également sur une circonférence, ou, ])lus exactement^ comme coupant tous ses rayons vecteurs sous un angle coiiblant.

GKOMK'rillE

Ce dernier savant, dans son Arilli. inj, avait montré que le problème de la rectilication revient à sommer les hypoténuses des triangles rectangles formés des accroissements de l'abscisse et de l'ordonnée. On était ainsi ramené à une intégration portant sur un radical ; celles des polynômes entiers commençaient à devenir familières, mais c'était là un cas tout nouveau. Neil s'aperçut que dans la semi-cubique^ y- = x'-^, l'hypoténuse du triangle élémentaire s'exprime rationnellement, ce qui lui donna la rectification de cette courbe (*). A peu près en même temps, Van Heuraet arriva au même résultat par la voie géométrique suivante : menons en M à la courbe AM, la normale ML (iig. 147) et portons sur l'ordonnée

MT

du point M, la longueur PN = |ri-p : la quadrature du lieu de N

sera représentée par le même nombre que l'arc correspondant de la courbe AM. Van Heuraet déduit de là cette conséquence que si k est pair, la courbe j^" = a;''+' est absolument rectifiable(^).

(^) On a aujourd'hui une foule d'exemples d'une telle réduction. La recherche de courbes rectifiables fournit une intéressante application de la théorie élémenlaîrc des nombres. Aînsi si F, /et © désignent trois fonctions de u, la courbe x =j\f — 9) ^dû, y =zfFJ'odn se rectifie par la formule s =-^ f( f -\- o) Vdu. On peut ainsi obtenir une foule de courbes rectifiables, en faisant par exemple F = f = u, 0=1; F = au'", f = bu", © = cw, m, n, p entiers ou fractionnaires; F = i, cp = ry, .

Ou bien, avec SchlOmiich, x =f{F + \/'j¥f)du, y =f{f -r v'Wf) ^^"' ce qui donne s =y(F + / + /aF/) du. On peut faire par exemple / = laa, F = bu^ ; / = îîa, F = bu^ ;/= aa, F = 6u* ;/= aau^, © = bu'\

(-) C'est ainsi que Jean BernouUi a ramené, en 1698, la rectification de la parabole à la quadrature de l'hyperbole, et montre à déterminer deux arcs paraboliques dont la didérence soit rcclifiable. Celte recherche a clé étendue aux coniques à centre par Fagnano, qui a trouve en outr» qu'on peut diviser également un arc de lemniscate par une construction gcomo- Irique élémentaire. Landcn a plus tard ramené la rectification de l'arc hyperbolique à celle de deux arcs elliptiques. On connaît aujourd'hui les solutions d'un grand nombre de problèmes do ce genre.

Fermât avait aussi, vers la même époque, fait la même découverte.

Dans son opuscule déjà cité Geom. pars univ. Gregory a donné, sur ce sujet, un théorème remarquable par ses nombreuses conséquences et qui devrait être classique. Soient les deux courbes AM,

Fig. 1/17 Fig. i',8

Ain (fig. i48), la droite OP, Vordonnée à Vorigine OA; si, pour deux arcs quelconques AM, Am, Vordonnée MP est égale au vecteur Om, la surface OAMP est double du secteur Okni et les tangentes en M et m font des angles égaux avec les droites MP, Om. La première courbe est Vinvoluta de la seconde, laquelle est Yevoluta de la première ; la droite OP est la base d'involution et le pôle 0, le centre d^ éuolution{^) .

On tire de là ces importantes conséquences : la cycloïdale {^) et la podaire (') d'une même courbe ont entre elles la relation d'involuia à evoluta, d'où une démonstration de ce théorème de Steiner : les arcs correspondants de la cycloïdale et de la podaire d'une même courbe sont égaux et la surface correspondant à la première est double de celle qui correspond à la deuxième {J. de Creïle^ i846).

Une courbe roule sur son involuta ; selon que le roulement a lieu à Vintérieur ou à Vextérieur, le pôle a pour trajectoire la base d'involution ou une anticaustique ('') de Vinvoluta, les rayons étant perpendicu"

(') Analyiiquemcnt les relations de ces deux courbes sont j-^: p, x^fpdM, Voir J. de Math. sp. 1893, p. i33 et 1896, p. 349.

(2) C'est la trajectoire d'un point donne d'une courbe roulant sur une droite.

(•*) C'est le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point donné sur les tangentes à une courbe.

(V) Podaire horaothétiquc double.

laires à la hase. Le premier de ces théorèmes est dCi à Ilabicli {Mathesis, 1883).

Une courbe roule sur son evoluta; suivant que le roulement a lieu à Vinlêrienr ou à Vextérieur, la base enveloppe le pôle ou répicycloïdale{^) de révolu ta.

L'involuta d'une circonférence p = cos w est une circonférence de rayon double a;^ | j2 __ j ^ Qn en conclut que quand une circonférence î'oule à l'intérieur d'une circonférence de rayon double, la cycloï' dale d'un point quelconque de la première est un diamètre de la seconde (Théorème de Cardan) et que si une circonférence roule sur une circonférence de rayon moitié moindre, un diamètre quelconque enveloppe un point fixe ou une cardioîde, selon que le roulement est intérieur ou extérieur. Plus généralement, si une circonférence roule sur une droite ou sur une autre circonférence y une corde quelconque enveloppe une développante de cycloïde ou d'épicycloïde (Chasles) ; d'où il suit que si deux points K, L, se meuvent uniformément sur une circonférence, l'enveloppe de KL est une développante dU^picycloïde.

L'involuta de la rosace p = sin /iw est l'ellipse y'^ + k^x^ = i . La rectification de la rosace se ramène donc à celle de l'ellipse [-).

L'involuta du limaçon 0 = a cos to + 6 est la cycloïde allongée ou accourcie

y = a cos (1) 4- 6, x ==: a sin tu -h 610,

(1) Trajectoire d'un point du plan d'une courbe roulant symétriquement sur une courbe égale.

(-) Cela se démontre aussi en remarquant que la surface du cylindre projetant, sur la surface d'un cùno de hauteur h, le cercle p = cos to, se développe sur un plan suivant la sinusoïde x =z h cos y. Or les arcs do cette dernière courbe se rectifient par des arcs d'ellipse.

Si, au lieu d'une circonférence, on projette une droite sur la surface du (une, la section est plane, et c'est comme on sait, une hyperbole. Or, d'un autre coté, la surface conique développée donne la courbe p sin /«u = i, inverse de rosace : les arcs de celte courbe se rectifient donc par des arcs d'hyperbole.

On voit comment à l'aide du cône, on pourrait transformer des courbes rectifiables en d'autres courbes également reclifiablcs.

ce qui découle immédiatement de la propriété du limaçon d'être la podaire du cercle. D'après le théorème de Pascal cité plus haut, le limaçon se rectifie par des arcs d'ellipse et à chaque limaçon à boucle correspond un limaçon à inflexion dont les arcs sont égaux aux siens. En particulier les arcs correspondants de la cycloïde et de la cardioïde sont égaux.

La podaire du foyer d'une parabole est une droite, donc Vevoluta de la cycloïdale du foyer de la parabole (laquelle est une chaînette) est une droite. Cette courbe est donc absolument quarrable et rectifiable.

La cycloïdale du foyer d'une conique (laquelle est une élastique) est rectifiablc à l'aide des arcs de cercle, puisque sa podaire est un cercle.

La podaire du pôle de Vorthogénide 0* = sin /.w (^) est l'orlhogé-

J- . // nide p'^^^* = sin t w. Il s'ensuit que les arcs de la deuxième

sont égaux à ceux de la cycloïdale de la première (Mac Laurin).

Si l est différent de — i , la courbe p = sin ko) cos' /.to a pour invohita la courbe

j2 = [(/ -f- i)kxY^~' — {l-h i)'k'x^

U invohita de la spirale p'' = w est la parabole /i^'H-i = (A: -f- i)a*. De là, la généralisation du théorème de Roberval donné plus haut, théorème qu'on peut aussi déduire de ce que la cycloïdale d\ii}e développante de cercle est une parabole et que sa podaire est une spirale. Par exemple si k est un nombre pair, la spirale p = tu'' est absolument rectifiable.

(2) Cette équation représente un grand noniljrc do courbes connues : la circonforertce {k = i), la droite (k = — 1), la lemniscatc {k = 2),

l'hyperbole cquilatère (/; = — a), la cardioïde (/;=-), la parabole

Vinvùliiia de la spirale hyperbolique peu = i esl une logarithmique X H- Lj = o (Nicolas, De f.piralibus hyperhoUcis et lineis logarilhmiois, Toulouse, 1696).

Vinvolula de la spirale logarithmique est une droite, ce qui explique les nombreuses propriétés de cette courbe.

Iluygens, dans son célèbre Horologium oscillatorium (Paris, 1678) a donné la théorie des développées, trop connue pour qu'il en soit parlé ici. On mentionnera seulement aussi la rectification de l'épi- CYcloïde, par Newton [Princ.)

La vivianienne est une courbe spliérico-cylindrique et on sait qu'en développant sur un plan la surface cylindrique qui la contient, cette courbe devient identique à la développée de l'ellipse limitant l'onglet de G. de St- Vincent ou scutus. La vivianienne se rectifie donc par des arcs d'ellipse. Elle jouit d'ailleurs de nombreuses propriétés qui peuvent lui servir de définition (*).

Jean Bernoulli a donné, dans les Acia erud, de 1705, deux théorèmes très remarquables permettant de trouver des courbes ayant des arcs de longueurs égales à ceux de courbes données. Voici le premier : une courbe (perreptans) se meut parallèlement à elle-même, en restant toujours tangente à une courbe fixe (perreptanda). Tout

(') C'est le lieu d'un point mobile sur la sphère et dont les accroissements sont égaux en longitude et en latitude (Jean Bernoulli). CVest la projection stért'o<jraphi(jue de la lemniscale (d'Arrest), Vantiprojeclion de la besace, rnntistéréofjriiphirpie de la strophoïde et Vantignonioniqur du cappa.

(Considérons sur la base d'un cjlindre de diamètre i, deux points diamé- Iralcmcnt opposés S, 0, et conslruisons : i<» un cône à 45° ayant S pour sommet et pour axe la génératrice SS' du c}llndre ; a° une splière de rayon I et do centre O ; 3" deux cylindres paraboliques dont les bases aient i comme paramètre, OS comme axe avec 0 et S comme sommets : les cinq solides se coupent suivant une môme vivianienne.

On peut ajouter ici que, par analogie avec le problème de Viviani, OfTcnbourg a proposé en 17 18, dans les Acla Erad. de dotorminer des cour])C9 sphériques rcclinablcs. Ce problème a été résolu par llermann au moyen (le W'picyrlo'ide spltériipw.

point de la courbe mobile décril une troisième courbe (reptoria) dont les arcs sont égaux à la somme ou à la différence de ceux des premières. Il a appliqué cette théorie à l'ellipse et en a tiré ce procédé graphique pour approcher indéfiniment de la longueur de la demiellipse dont les demi-axes sont a et b : décrire un demi-cercle ayant pour diamètre la droite AOL telle que AO = a et OL = b; si on divise cette demi-circonférence en n parties égales aux points F, G, H, ...K, L; la longueur cherchée est la limite de la circonférence de rayon

0 A -f-QF + QGh- ... + 0K + OL n

à mesure que n tend vers V infini (^).

Voici maintenant le second théorème : Etant donné plusieurs courbes, on en déduira une autre dont les abscisses et les ordonnées soient égales aux sommes algébriques semblables des abscisses et des ordonnées correspondant aux extrémités des arcs des premières et de même amplitude (limités en des points dont les normales font des angles égaux avec celles des origines C')). Les arcs de la courbe ainsi produite sont de même égaux à la somme algébrique des arcs de la courbe proposée.

Les applications de la géométrie infinitésimale ont encore fourni d'autres théorèmes, mais ils sont en général assez compliqués. 11 sera seulement question à présent de quelques méthodes d'approximation proposées pour la rectification des courbes ; et d'abord voici celle d'Euler [Novi Comm. Pelr. 1701). Soient AO et BO les normales aux extrémités d'un arc x\B ne présentant aucune inllexion ; le développement de l'arc est compris entre

(AO + BO)tg^ et v^a (AO^ + BO^) sin ^-^\

(0 Ce théorème a été démontré autrement par Prouhet en i865, clans les Nûin\ A lin.

(-) Oti peut définir ces arcs correspondants comme ayant une tangente commune ù l'origine, et des tangentes parallèles à leurs extrémités.

GKOMETRIE 297

Si AOB est assez petit, l'arc est sensiblement égal à l'aie circulaire

de môme amplitude et dont le rayon est égal à . De là,

en menant diverses normales écartées successivement d'un même angle w, un procédé assez pratique, qu'il réduit d'ailleurs en formule et qu'il applique à diverses courbes.

On peut aussi utiliser de la même manière une remarque faite par Lambert : c'est qu'un arc sans inflexion est très approximative^ ment égal au tiers de la somme de la corde et des tangentes aux extrémités. C'est une extension du théorème d'Huygens.

Cauchy (Rés. anal Turin, i835) a fait voir qu'en projetant sur les n rayons d'une rose des vents, un contour convexe quelconque appelant a la moyenne des projections obtenues, le développement

de la courbe a pour mesure — , avec une erreur inférieure à — , . Il

arrive à cet intéressant résultat en opérant d'abord sur une droite, puis sur un polygone convexe.

Le développement de l'ellipse se trouve exactement par l'emploi de séries d'un calcul très pénible. Aussi le plus souvent, on se contente de formules approchées. En voici trois très simples

(Muir).

, (a — 6)2 H- Tzab

(Camus).

^a^ H- 962 H- \/gâ^-\- 6»

(llofbauer).

On en trouve une moins élégante mais plus pratique en déterminant les cuefficienls A, B, C, de manière que lexprossion

Afl -f- B —^ j -h Cb a -h 0

prenne les valeurs

G,283i853a, 4,8/,'|309flt, /|a,

quand on y fait b = a, b = ~ , b = o. On trouve ainsi la formule

remarquablement exacte

fia — 3,5686 -^ + 4,06756

On a souvent à mesurer un arc circulaire dont on connaît la corde 2c et la flèche/. On peut voir sur ce sujet dans le J. de MatJi, sp. de 1893, p. 184, plusieurs formules très approcUées, dont la suivante, due à Newton

On tire de là ce moyen de mesurer un angle AOB sans goniomètre : prendre un môme nombre de pas, cent par exemple, sur AOel OB, mesurer AB au pas ainsi que la médiane OC ; on aura en minutes

AOP /A I4OA4-OCAB

Pour l'angle de 45% on trouve 2 699^88, au lieu de 2 700' : la formule peut ainsi servir dans tous les cas.

(1) On peut démontrer cette formule en parlant du résultat auquel conduit le calcul suivant. Posons Ig - — z, ce qui donnera

■ Sin œ rrr: I

d'où en multipliant ces deux dernières égalités

sin a; / , ai' ac'- , azC> \

^ = -^ (^ + 773 - 3-5 + rv - '■)

ce qui donne approximativement

sin a* l'i -|- cos X ^ = -0— 3 -|-Tcosa**

O^MÏTIUE

Dans rarticlc cité tout à l'Iieurc, est signale un paradoxe qu'il peut être utile de rappeler ici, car il montre, une fois de plus, à combien de diflicultcs conduisent souvent les considérations les plus élémentaires, dès que l'infini est en jeu : ce n'est que tout à fait accidentellement que ce mystérieux Prolée se laisse réduire au rôle d'auxiliaire, dans la recherche des vérités mathématiques.

Soit le triangle isocMe AOB ; sur les milieux G', C de AO et de BO, on élève des perpendiculaires C'O', C'O', égales chacune an quart de la hauteur OG du triangle; sur les milieux G", G", G", G", de AC', G'C, GG', G'B, on élève de nouvelles perpendiculaires extérieures égales chacune au quart de G'O' ; et ainsi de suite. Les lignes brisées AOB, AO'OO'B, AO"0'0"00"0'0"B,... tendent certainement vers une certaine limite qu'il semble bien diiïicile de prendre pour une courbe continue, à cause de la discontinuité inévitable des opérations qui la définissent : elle est probablement une courbe poiniillée(^). Et cependant cette limite a un développement défini et

(i) Euler a eu la première idée des courbes de ce genre : dans son Intr. in anal. inf. il remarque que les courbes y = ( — i)' et y( — r)"" = i sont formées de points discontigus correspondant aux valeurs paires de x. Vincent (/l/i/i, de G. t. xv) a examiné plusieurs cas seml)lahlcs : la courbe y =z cC a deux branches symétriques : une continue et une poinlillée ; la

Fil

Fig. i/,.j

courbe y = ( — o)*, deux branche» pointillées en quinconce ; la chatnclle, uy z=. e' J[. e~', quatre branches dont une seule continue ; la courl)0 y = f /rt , quatre branches dont deux pointillées, l'une de celles-ci se raccor-

3oo

m^CRÉATIONS MATHÉMATIQUES

même très facile à déterminer; car, en appelant c et /les longueurs AO et CO, le côté c„ de la n" ligne brisée est donné par la relation

d'où, pour le développement de cette môme ligne,

et, à la limite, pour n = oc ,

\/c^ + IP.

dant au point d'arrêt de sa symétrique, ce qui tendrait à prouver que les courbes n'ont pas de tels points (fig. i/ig) ; la courbe y = Ux, quatre branches dont une seule continue (fig. i5o); de même pour la courbe y =: X' (fig. i5i); remarque analogue pour la courbe yLx = x (fig. 102). Dans le même volume, Steiner a montré que la difficulté provient d'un

Fig. i5i Fig. i52

abus de mots et disparaît si on fait x infini, car l'infini n'est ni pair ni impair. On est revenu à diverses reprises sur ces considérations, sans qu'on soit parvenu à les éclaircir complètement.

La question de la discontinuité a du reste été considérablement élargie par la découverte des nombres non algébriques, des fonctions à valeurs saltantes ou oscillantes, des ensembles, etc. On peut voir à ce sujet, par exemple, du Bois-Reymond, Th. (j. des f. (traduction française, Paris, J887), Fouet, Leçons cl. sur la ih. des f. anal. (Paris, i()03), etc.

GÉOMÉTRIE 3ol

On peut aisément s'assurer que la flèche d'un arc circulaire est Ires sensiblement égale au quart de celle d'un arc double : la formule précédente peut donc être employée pour le calcul d'un arc circulaire déterminé par sa corde et sa flèche.

Tchebichef a trouvé cette formule pour la rectification d'un arc de courbe quelconque (A. F. 1883).

Sur la géométrie des courbes et ses applications. — Depuis l'essor prodigieux qu'a pris l'analyse dans le dernier siècle, on ne considère plus guère que les courbes définies par des équations finies ou différentielles. Il semble cependant que la géométrie analytique ne devrait intervenir que comme auxiliaire pour l'étude de certaines courbes, et que, — à part celles qui sont destinées à faire saisir plus aisément les singularités analytiques, — l'intérêt d'une courbe réside surtout dans ses propriétés géométriques, les seules du reste qui servent dans les applications. Il y aurait donc lieu d'exposer, dans un but de vulgarisation, les plus saillantes de ces propriétés, qu'on a découvertes en général par l'analyse, mais qu'on peut pour la plupart vérifier par la géométrie la plus élémentaire. Telle est l'idée qui a donné naissance au court essai qui >a suivre, où on se borne aux choses les plus simples et les plus élémentaires. On trouvera d'ailleurs tous les renseignements relatifs à l'élude et à l'histoire des courbes dans les ouvrages suivants, par lesquels leurs savants auteurs ont déféré au vœu exprimé, en i8()i2 et iS\p, par l'Ac. des se. de Madrid, et en 189^, par M. llaton de la CJoupillicre, de voir dresser un catalogue méthodique des courbes connues avec des monographies succinctes de chacune d'elles :

Brocard, \otes de bibliogr. des c. géom. deux vol. autog. (Bar-le- J)uc, 1897 et 1899).

Gino-Loria, Spezielle algebraische und transcendenie ebene curvcn Leip/ig,(i902).

Gomes Teixeira, Tratado de las curvas especiales notables (Madrid, 1905), et l'édition française de la première partie de cet important travail (Coïmbre, 1908).

âoâ RECREATIONS MATHEMATIQUES

La droite, d'après Platon, est la ligne dont un point quelcoilque cache tous les autres. Cette propriété est utilisée dans le jalonnement des alignements, dans la vérification des parties rectilignes ou planes des constructions, des meubles, des machines. C'est aussi la ligne qui reste identique à elle-même quand on la fait tourner autour de deux de ses points, propriété qui la fait employer comme axe de machines, axe de symétrie dans les dessins, axes de coordonnées dans les représentations graphiques des faits analytiques ou empiriques ; c'est également par elle qu'on vérifie la rectitude d'une règle. La droite partage, avec la circonférence et l'hélice, la propriété de pouvoir se mouvoir sur elle-même, ce qui la fait employer pour l'exécution des forets, des pistons, directrices ou glissières de machines, etc. Enfin, d'après une remarque faite pour la première fois explicitement par Archimède, c'est le plus court chemin d'un pointa un autre (^), ce qui sert aux charpentiers pour tracer des droites au moyen d'une ficelle noircie, et a donné l'idée du mcsurage de la distance de deux points par la comparaison de la partie de droite qui les sépare avec celle de deux points pris une fois pour toutes.

La trajectoire de la lumière dans le vide est une droite, autant qu*ont permis de le constater les instruments et la petitesse relative des bases trigonométriques terrestres employées.

Les combinaisons de droites fixes font l'objet de la géométrie élémentaire, celles de droites mobiles sont du domaine de la géométrie cinématique.

La circonférence est utilisée partout dans l'industrie, les arts mécaniques et l'ornementation. Les premiers hommes ont tiré parti

(') Proclus raconte à ce sujet qu'on taxait l'énoncé de cet axiome d'inutile, les ânes eux-mêmes en ayant conscience. 11 est à peine besoin de signaler rincxactitudc de cette remarque : si la lumière suivait une trajectoire courbe, les animaux et les hommes mêmes se dirigeraient suivant cette courbe pour atteindre leur but.

GÉOMÉTRIE 3o3

de l*é(juldislance des tangciilcs parallèles de celte courbe, pour transporter leurs lourds fardeaux au moyen de rouleaux, un des premiers engins humains. L'égalité des vecteurs de cette ligne et sa propriété de pouvoir se recouvrir elle-même la font employer dans une foule d'appareils inutiles à rappeler ici. Elle est utilisée aussi en architecture, dans le raccordement des voies de communication, dans la cartographie, les tracés géométriques, descriptifs, cinématiques, etc.

La circonférence, cas particulier de l'ellipse, du limaçon, de l'épicycloïde, de la spirale, de l'hélice, de la loxodromie, participe d'une partie des propriétés de ces courbes.

On sait que Kepler a découvert que les orbites des planètes sont dans leur ensemble, des ellipses. Cette courbe est employée pour certaines voûtes et pour obtenir des engrenages à axes équidistanls, mais de mouvements angulaires variables. Sa propriété d'être la projection du cercle la fait utiliser dans les épures, les cartes géographiques, la géodésie, etc. On connaît les réflexions acoustiques produites dans une voûte ellipsoïdale, la question du billard elliptique, etc.

Certaines comètes paraissLMil suivre des trajectoires paraboliques. C'est aussi la courbe des projectiles, quatid on fait abstraction de la résistance de l'air; V enveloppe des diverses paraboles produites par un même engin tirant sous une inclinaison variable en est une autre qui s'appelle la parabole de silrelé (Jacques Bernoulli). Les ponts suspendus alfectent cette forme, de même que tout fil attaché à deux points de niveau et chargé également suivant l'horizontale. C'est le profil du solide d'égale résistance. Les réflecteurs, les portevoix utilisent les propriétés réfléchissantes de la parabole. La surface d'un liquide enfermé dans un vase cylindrique tournant autour de son axe est un paraboloïde ; on a tiré parti de cette propriété pour obtenir avec du mercure des miroirs astronomiques dont la qualité principale est l'économie.

3o4 RÉCRÉATIONS MATHEMATIQUES

Méneclime avait trouvé que la question de la reclicrclic de l'insertion de deux moyennes proportionnelles entre a et 6 se ramène à celle de l'intersection des deux paraboles j^ = ax, x^ = 6y, ou de la parabole x'^ = hy et de l'hyperbole xy = a^. Descartes a fait voir qu'avec la parabole et le cercle, on peut résoudre toute équation cubique, entre autre celle d'où dépend la trisection de l'angle; cette théorie a été étendue à une conique quelconque par Sluzc(*),

L'hyperbole est une vraie table graphique de multiplication et de division, à cause de la constance du produit de ses coordonnées; c'est même une table de logarithmes, les aires hyperboliques étant proportionnelles aux logarithmes des abscisses de l'asymptote. C'est la courbe théorique des cheminées d'appartements, à cause de sa propriété de diverger les rayons focaux (Bcrgery). C'est aussi la courbe que décrit un réverbère M glissant le long d'une corde AMB attachée en A, et glissant sur une poulie fixe B (A. Comte). A l'arrière d'un bateau trapézoïdal qui se balance, la ligne limitant la partie mouillée est une hyperbole dont les asymptotes sont les côtés du trapèze.

C'est à l'aide de l'hyperbole que les Anciens résolvaient le problème de l'insertion d'une droite dans un angle donné et passant par un point donné, ainsi que ceux de la trisection de l'angle el de la duplication du cube. La même courbe sert dans la gnomoniquc, ainsi qu'à la solution du problême (TAl-llazcn : trouver sur une

f') On peut tracer la parabole x- =^ y sur un papier calque et une série d'h}perboles équilatcrcs de forme xy = a sur un carton, ce qui permet de résoudre l'équalion .t*^ + cx'^ -\- hx = a, en plaçant convenablement le calque (voir lleuschlc, Appareil fjrapho-mccanique, (Stutgard, 1877) Bérard avait déjà décrit {Opuscules, Nismes, 1810) un appareil, qu'il appelle balance alxjéhriquc et contenant matérialisées les paraboles a; = =t j, a;- = ± y. xi z= i j,... sur lesquelles roulent des poids proportionnels aux coefTicienls des équations à résoudre (voir J. de Math, sp. iSqS, p. 228). Lalanne avait montré à résoudre les équations cubiques en considérant les tangentes à la semi-cubique, idée reprise et considérablement étendue par M. d'Ocagne,

GÉOMÉTRIE 3o5

sphère le point où un rayon, partant d'un point donné, se réfléchit, pour aboutir ensuite en un second point donné.

Le problème de tracer une allée dont les deux côtés paraissent parallèles a été agité longtemps : l'hyperbole a été proposée dans ce but, ainsi que la courbe yLx = rr et d'autres encore. Malgré certaines objections d'ordre physiologique, il semble bien que la solution doit simplement employer deux droites divergentes.

Combinant la parabole cubique x^ = y avec la droite (Wallis), avec le cercle (Bcrard), avec la parabole (St-Loup), on aura la solution graphique des équations des troisième, quatrième et sixième degrés. En la combinant avec la courbe j^ ==: i — x, qui lui est identique, on a la solution de x^ — x = i (l'Hospital) : cette idée pourrait être utilisée ailleurs.

Les arcs de cercle des voies ferrées sont raccordés aux alignements droits par des paraboles cubiques permettant de passer progressivement de la courbure constante de l'arc circulaire à la courbure nulle de la droite : on sait que l'cfl'et de la force centrifuge, — laquelle est inversement proportionnelle au rayon de courbure, — doit être combattue par l'établissement d'un dévers transversal des rails, qui diminue ainsi peu à peu jusqu'à s'annuler à l'arrivée sur la partie droite.

La semi-cubique j' = .t", est la courbe isochrone^ c'est-à-dire celle d'un poids descendant également dans des temps égaux (Leibniz). C'est aussi, comme on l'a vu, la développée de la parabole, d'où sa rectification par Huygens. Enfin elle est la trajectoire orlliogonnle{^)

(i) On appelle ainsi une courbe coupant sous des angles droits toutes les courbes d'un mume famille. Ainsi pour des cercles concentriques, c'est une droite ; pour une droite tournant autour d'un de ses points, une circonférence ; pour les circonférences tangentes en un même point d'une droite donnée ou passant par deux points donnés, une circonférence ; pour une circonférence ou une parabole se mouvant en gardant le môme axe, une logarithmique ; pour les paraboles de mémo sommet et do môme axe, une

Récréations mathématiques, III. ao

3o6 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

des positions successives d'une parabole se mouvant perpendiculairement à son axe.

La cissoide, imaginée pour résoudre la duplication du cube, a été utilisée par Newton pour la solution de l'équation cubique, ù cause de la facilité de sa description. Il y a aussi employé la conchoïde de la droite et celle du cercle (limaçon).

ïorricelli avait posé la question de la forme que doit présenter un vase qui, percé d'un trou au fond, laisse s'écouler uniformément le liquide qu'il contient. Mariollc a montré que ce vase doit être en forme de paraboloïde du quatrième degré.

Le limaçon p =: cos w -i- a est à la fois une conclioïde et une podaire du cercle, une isoptlqiie {^) de deux cercles, une épicycloïde, une inverse focale de conique à centre et un cas particulier de la cassinienne. L'Hospital a trouvé que c'est la courbe que doit suivre un poids équilibrant un pont-levis. A signaler les deux cas particuliers de la cardioïde (a = i), inverse focale de la parabole et le

seul limaçon rectillable ; et de la sesquisectrice (a = -\, inverse de

la trisectrice.

La cartésienne p -\- kp' = i a été imaginée par Descartes pour rassembler en un foyer unique les rayons réfractés, comme les coniques réunissent les rayons réfléchis. C'est la caustique sccon-

ellipse ; pour les ellipses homofocales, une hvperbole ; pour des hyperboles poncenlriques et ayant un point commun, une cassinienne; pour les lemniscates de môme centre el de mêmes axes, une lemniscate avant ses axes à /|5° sur ceux des premières. La théorie des trajectoires orthogonales est due à Jean Bernoulli.

(i) On appelle ainsi le lieu du sommet d'un angle dont les côtes sont tangents à une courbe donnée. Si l'angle est droit, on dit Vorthoptiqiie. L'isoptique d'une cycloïde est une cycloïde allongée ou acpourcic; Torthoptique d'une conique h centre est un cercle concentrique ; l'isoptiquo d'une prthogénide en est \\m autre. Le principe ç|« cette tbépHe osl di^ h La Hire,

daire(^) du cercle (Quételet) ; et la projection sur le plan de la base de l'inlcrseclion de deux cônes de révolution à axes parallèles (Quételet).

La cassinieniie po' = i , a été proposée par Cassini pour essayer de représenter le niouvement des planètes, plus exactement que par l'ellipse. Celle courbe est un cas particulier de la spirique, section plane du tore. Le cas particulier le plus remarquable de la cassinienne est la Icmniscaie, dont s'est servi Jacques Bernoulli pour la construction de Visochrona paracenlrica de Leibniz, trajectoire d'un point qui s'approche uniformément d'un point donné. La lemniscate est une podairc et une inverse d'hyperbole, un cas particulier de l'orthogénide et de la courbe de A\ att ; c'est également la courbe que suit un point pesant A pour arriver à un point fixe B, dans le même temps que s'il suivait la droite AB (Bonatti).

Deux droites brillantes tournant uniformément autour de deux de leurs points, le lieu de leur intersection est une ligne obscure observée d'abord par Plateau. Cette courbe, remarquée auparavant par Mac Laurin, a été appelée seclrice, par M. Schoute ; elle côinprend, comme cas particuliers, le cercle, l'hyperbole, la strophoïde, la trisectrice, la sesquisectrice, etc.

ISaslroïde x '^ -f- y''^ =^ i est l'enveloppe d'une droite de longueur constanle s'appuyant sur deux axes rectangulaires; c'est ausâi

(•') On appelle caustique d'une courbe l'enveloppe des ravons réfléchis ou réfractés sur celle courbe. La caustique par réflexion d'une circonférence ou d'une cardioïde pour des rayons parallèles est l'épicycloïde produite par le mouvement du point d'une circonférence roulant à l'oxtérieur d'une circonférence de ra>on double; la caustique par réflexion d'une circonférence pour des rayons émanant d'un de ses points est une cardioïde; celle d'une C)cloïde pour des rayons perpendiculaires à l'axe, est une autre cycloïde moitié moindre. Cotte théorie a été créée |iar Tschirnbaus, et mise au point par les Bernoulli.

La ransli({uc secondaire est la trajectoire orthogonale des rayons réfléchis ou réfractés ; pour des rayons parallèles réfractés, c'est une conique à centre ou ynp carlésicnne, splon c^uo Ip cpwrlje donnée est vipp iJrQite ou Un cerclo,

3o8 rkcriUtions M\TIIÉMAT1QLES

une hypocycloïde, le cercle mobile ayant un diamètre égal au quart de celui du cercle fixe (Jean Bernoulli).

On appelle courbe de poursuite la ligne que suit un point mobile A se dirigeant constamment sur un autre point également mobile B, par exemple un vaisseau donnant la chasse à un vaisseau ennemi (Bouguer), ou un chien qui veut rejoindre son maître (Dul)ois- Aymé). Son équation est de la forme

si le point B se meut en ligne droite. Dans les autres cas, on est conduit à des équations diflerentielles en général non intégrables. Ainsi on a proposé le cas d'un cercle (Brocard, Nouv. Corresp. 1877) et celui où le point A se meut sur une sphère dont la courbe B est un petit cercle (^) (Lecornu, Int. Math, quest. 65). Ed. Lucas a montré que trois chiens se poursuivant après avoir été d'abord placés aux sommets d'un triangle équdatéral, ils décrivent des spirales logarithmiques. Enfin on rappellera cette question de 17/i^ Math, un éclaireur s'approche d'un arbre pour mieux observer un parti ennemi, qui suit un chemin en ligne droite; quel trajet doit suivre cet éclaireur pour être toujours caché par V arbre? (Buray, 1896). On trouve, pour définition de la courbe, la relation sy = kx, où s désigne l'arc et k un coefiicient.

Les épi- et hypo-trochoîdes sont les trajectoires du plan d'un cercle roulant à l'extérieur ou à l'intérieur sur un cercle fixe. Les épi- et hypo-cycloïdes sont les cas particuliers où les points décrivants sont sur le cercle mobile. Apollonius, pour rendre compte des irrégularités des orbites célestes, avait imaginé les cpicycles, qui ne sont autres que des épicycloïdes ; ces courbes ont ensuite été réinventées par Albert Durer, Desargues et Rômer. Elles sont d'un

(1) « Un voyageur, à l'exemple des rois Mages, s'astreint à diriger constamment sa course vers une étoile déterminée du ciel... déterminer sa trajectoire sur la sphère terrestre. »

grand usage dans le tracé des engrenages et dans les tours à guilloclier. La développée d'une épicycloïde est une autre épicycloïde, ce qui montre que cette courbe est rectifiable.

La plus simple des courbes transcendantes est la sinusoïde y =z sin X. C'est la projection de l'hélice, ce qui la fait utiliser pour les épures des vis et les graphiques des mouvements circulaires.

La courbe qui a le plus occupé les géomètres est probablement la cycloïde. En outre de sa description si simple, on peut remarquer qu'elle est la trajectoire d'un poids tendant un fd qu'on enroule autour d'une circonférence placée dans un plan vertical, lluygens a trouvé qu'elle se reproduit dans sa développée et qu'elle est tauiochrone, c'est-à-dire qu'un mobile pesant partant d'un point quelconque de cette courbe arrive au bas dans le même temps : d'où son ingénieux pendule isochrone. Jean Bernoulli a trouvé que la cycloïde est en outre la 'brachysioclirone, c'est-à-dire la courbe que doit suivre un mobile entre deux points donnés, dans un minimum de temps ; et qu'elle est la limite des développées successives et alternées d'une courbe quelconque, entre deux parallèles données(*). 11 Ta proposée pour la multisection des arcs et des segments circulaires. Newton, — toujours préoccupé de l'utilisation pratique des théories, — a fait incidemment remarquer combien il serait absurde de rechercher, par exemple, la valeur du côté du kilogoneau moyen de l'équation du millième degré qui le détermine, tandis que l'emploi de la cycloïde le donne très aisément. Wren et Newton ont montre à se servir de cette courbe pour la solution du problème de Kepler, qui consiste à déterminer un secteur focal d'ellipse de surface donnée.

L'hélice se rencontre fréquemment dans la nature : plantes grimpantes, frisure du poil de certains animaux et plusieurs genres de gastéropodes actuels ou fossiles. L'industrie l'emploie également

(') Entre deux droilôs concourantes, la courbe limite est uno épicyeloîdo (An. de Gcnj. l. I\).

3 10 RÉCRKATIOXS MATHEMATIQUES

très souvent : tîre-bouclion, cordages, vis, guidages, macliines à diviser, micromètres, rayures des canons d'armes à feu, etc ; mais c'est surtout la surface hélicoïdale, h plan ou à cône directeur, qui est d'une haute importance pratique, depuis l'escalier tournant, le moulin à vent, la merveilleuse vis d'Arcliimède jusqu'à l'hélice qui meut les vaisseaux et demain permettra de réaliser le nouveau prodige cherché si longtemps de l'aviation.

La spirale cVArchimède p = w sert au tracé de certaines carnes^ pour l'ornementation dans l'architecture (volute ionienne) et dans la ferronnerie. Certains coquillages, la section d'un rouleau de papier, un cordage enroulé la figurent également. Glairaut a donné de cette courbe la construction suivante : faire rouler une droite sur une circonférence; tout point lié à celte droite et qui en est distant d'une longueur égale au rayon du cercle, trace la spirale. Archimède a créé la géométrie infinitésimale à l'occasion de cette courbe, particulièrement en montrant que sa sous-normale est constante.

L'inverse de cette ligne est la spirale hyperbolique om = i, qui est le lieu des extrémités des arcs circulaires égaux ayant même centre et leur rayon d'origine sur une même droite. Elle est la perspective d'une hélice vue d'un point de l'axe.

La spirale la plus intéressante est la spirale logarithmique p = e^, qui se reproduit dans son inverse, son homothétique, sa podaire, ses caustiques, etc, h tel point que Jacques Bernoulli eût désiré qu'on traçât cette courbe sur son tombeau avec cette inscription : « Eadcm mutala resurgo. » Le dessin de certaines fleurs et de certaines ammonites, le motif suivant lequel sont implantés les cheveux, paraissent être ceux de spirales logarithmiques. Cette courbe est isolrépenle{^)^ ce qui la fait employer dans plusieurs mécanismes. J. Bertrand a montré que les podaires successives d'une même courbe tendent vers une spirale logarithmique.

(') On appelle ainsi les courbes qui ont pour épicycloïdale une circonférence, et qui par conséquent peuvent donner un système de deux roues roulant l'une sur l'autre autour do deux points fixes. L'ellipse est également isolrépente par rapport à son foyer. Eulcr est l'auteur de celte théorie.

3ll

La développante de cercle, produite, comme on sait, par un point d'un fil enroule sur une circonférence, et qu'on déroule en le maintenant toujours tangent, — est employée dans nombre d'appareils mécaniques : ponts-levis, crémaillères, excentriques, cames, turbines. Son inverse est la spirale traclrice, qui a ses tangentes égales (Giard); elle est une podaire de la spirale liyperbolique (Mac l.aurin) et de plus on a la relation s = ALo (Cotes).

La cochléoîde pw =: sin w est l'inverse de la quadratrice ; c'est le lieu des extrémités des arcs circulaires ayant le vecteur comme rayon et égaux à la partie qu'il laisse sur une perpendiculaire à l'axe. C'est aussi la perspective d'une liélice vue d'un de ses points, et la barycentriqiie {^) des arcs circulaires de même origine et de même rayon.

La logarithmique y = Lx ou x = e" est le profd d'une tour ou d'une pile de viaduc supportant une pression verticale constante dans toutes ses parties (Poncelet). C'est aussi la trajectoire d'un corps dans un milieu résistant comme la vitesse (liuygens). Sa soustangente est constante (id.)

La chaînette (catenaria) y = e'^ -\- e~'' est la figure d'une chaîne pesante et de section constante. Elle a son centre de gravité plus bas que celui de toute courbe isopérimètre passant par deux points de niveau. C'est aussi la velaria, courbe d'une voile tendue par un vent agissant sur elle normalement (Jean Bernoulli). C'est le profil théorique des voûtes d'épaisseur constante (Y. Villarceau).

La courbe précédente a donné l'idée de plusieurs autres courbes, entre autres la chaînette dégale résistance y = L cos x, forme qu'affecte un fil de section variable dont la tension reste constante dans toutes les sections. C'est la courbe des voûtes sans surcharge (Y. Villarceau).

La chaînette est la développée de la traclrice (tractoria) définie par la relation s = Ly ou par la propriété qu'elle possède d'avoir sa tangente constante. C'est le lieu des extrémités d'une droite

{*) Lieu des centres de g^ravilé.

3l2 RÉCRÉATIONS MATHEMATIQUES

pesante tirée en ligne droite par son autre extrémité. Elle est Forthoptique de la logarithmique. Sa première considération est due à Leibniz.

Vélastique (elaslica) x'^ds = cly est la courbe décrite par l'extrémité d'une verge fixée par l'autre extrémité, et qui est écartée de sa position d'équilibre. Son rayon de courbure est partout inversement proportionnel à l'abscisse (Jacques Bernoulli). Elle est aussi la figure {Untearia) d'un linge pressé par un liquide pesant (Id.)» C'est, de toutes les courbes isopcrimèlrcs, celle à laquelle répond le volume de révolution minimum (Euler). Cette courbe est utilisée, pour le tracé des galbes de colonnes (^); elle s'emploie aussi pour raccorder les courbes sur les épures.

On terminera cette note en renouvelant, — en faveur de ceux qui ne veulent qu'avoir une idée générale des mathématiques, — le vœu de voir diviser l'algèbre et la géométrie, non plus en partie élémentaire et en paitie supérieure, mais en choses simples et en choses compliquées. Au lieu de s'attarder à une foule de questions trop particulières, il semble qu'il y aurait avantage à étudier les principes de l'algèbre et de la géométrie infinitésimales, qui éclairent de si vive manière les éléments eux-mêmes et ouvrent des horizons si nombreux et si inattendus sur la nature et les propriétés des êtres mathématiques. Un aperçu de la théorie des nombres et de la géométrie des courbes, — qui ne nécessitent que peu de connaissances préalables, — intéresserait sûrement davantage que les compléments d'algèbre et de géométrie habituellement enseignés ; on contribuerait ainsi à la diffusion de la science, en substituant une atmosphère de popularité et de confiance au nuage dogmatique, dont on l'entoure dès le début et qui rebute les néophytes.

Quelques amusettes. — Les bons recueils de problèmes de géométrie ne manquent pas, mais ils se préoccupent surtout d'il-

(') La conchoïde a clo également employée dans le même but.

GÉOMÉTRIE 3l3

lustrer les théories. Cependant quelquefois ce n'est pas la grande route qui est le trajet le plus court, mais un sentier de traverse quis n*indiquc aucune carte. A titre d'exemple, voici deux questions très simples.

La construction d'un octogone dont on donne un coté se traite aisément en construisant un carré sur la longueur donnée et en menant ses diagonales (Aboul-Vefa).

Le problème de construire un carré dont les cotés passent par quatre points donnés A, B, C, D, se résout très simplement en tirant AG, menant BE perpendiculaire et égal à AG : la droite ED est un des côtés cherches (Biandsutter).

11 serait du plus haut intérêt de réunir une collection d'artifices de ce genre.

Carrelages. Aux renseignements, donnés t. II, on pourrait ajouter ce qui suit.

M. Broch (A. F. 1874) a appliqué la théorie des nombres à celte

étude et a donné de curieux des- r ~A.

sins obtenus par la considération ^—y \ \ /

des résidus quadratiques. /\ / /\ \ / ^

Les Arabes ont trouvé dans ce / / / / /. / /

genre d'ornementation, une foule ( ^^ \. , .^ \

de combinaisons de lignes sou- \ \ \ \ ^) — j \

vent très heureuses et originales. v \ / ''"'^

Consulter à ce sujet J. Bourgoin, / / /

Leséleni. de VArt Arabe (Paris,

types de carrelages simples : le pellecoïde, formé d'un demi-cercle complété pur deux quarts de cercle tangents, et la fig. i53, qu'il serait intéressant de voir généraliser.

L'emploi du carton, fig. 26, permettrait de trouver de nouvelles combinaisons de carreaux pleins ou mi-partis, ainsi qu'une récréation ayant pour objet de reproduire un carrelage donné.

Considérons, par exemple, les nombres i, o, 4, y, 10, 12, et i3,

3l4 RÉCREATIO>'S jMA'l'UlblATrQtJES

qui sont les restes oblenus en divisaql; par i3 les carrés eptiers I, At 0' ^^> ^5» ••• l^aîîs un échiquier de i3- cases, une case spra blanche si le n" de sa colonne ou bien celui de sa rangée est un de ces sept nombres ; elle sera noire si ces dcu\ n"^ en font partie ou bien si aucun d'eux n'en fait partie : ainsi les cases (3, 9) et (2, 11) seront noires, et (es cases (3, 11) et (2, 9), blanches. On peut reproduire cet échiquier symétriquement ou complémentairement, comme il est indiqué t. H, pp. 38et4o, ou-bien par symétrie polaire, ou encore en permutant les deux moitiés de droite et de gauche, ou celles du haut et du bas : on aura ainsi de nouveaux échiquiers de 26- cases.

Le procédé suivant, du h Gand [Le transposiiear ou improvisateur, Paris, 1871), donne des résultats bien plus nombreux et bien plus variés. Soit un échiquier de /i^ cases, dont celles d'une même diagonale sont noires, et toutes les autres, blanches. On déplacera les colonnes (^), de manière que, a étant le reste de la division de ak-{- i par /i, la aè^e colonne devienne la a^"«, k variant de o à n — i et a désignant un entier quelconque pren^ier avec n et inféi'ieur à

- . Ainsi pour n = 29, on fera a =: 2, 3, /|, 5, ... i/j ; si, par exemple, on fait « = 12, les

deviendront respectivement les

r, 2% 3% li% 5% 6% 7% 8\ 9% lo-, u*, I2^ ,..

(1) On peut les supposer réalisées raatcriellcnicnt en bois ou en carton.

On aura ainsi tous les salins {^) du module 29('-). En les superposant deux h deux, trois à trois, ... ; en les dilatant ou en les contractant, en entier ou partiellement ; en prenant les symétriques ou les complémentaires, etc; on obtiendra un grand nombre de mosaïques, la plupart très élégantes. A la simple diagonale de l'ccliiquier primitif, on peut aussi adjoindre d'autres lignes de cases noires qui lui soient parallèles, ou encore remplacer certaines cases blanclies par des cases de couleur, etc. On voit comme on peut ainsi augmenter indéfiniment le nombre des motifs déduits de cette simple considération. G'est-là un joli exemple do l'utilité des mathématiques pour aider l'imagination du dessinateur dans la recherche d'eiïets nouveaux.

Conslriiction de carrés. La récréation souvent proposée de construire des assemblages de carrés avec des longueurs égales données, peut être étendue aisément : ainsi on peut demander de faire deux carrés avec dix lignes ; trois carrés avec dix, onze, treize, seize, dix-

(i) On appelle salin un dessin d'origine chinoise, composé d'échiquiers contenant des cases noires disposées en parallélogrammes, de manière que, dans chaque échiquier, chaque colonne et chaque rangée n'en contiennent qu'une seule.

Si II est la somme de deux carrés premiers entre eux, on peut obtenir un satin de carrés ; et un seul ; tels sont les cas de

n=zb, lo, i3, 17, 25, aG, 29, 3'i, 87, 'u, 5o, 53, 58, 61, 65, 78, 7'i. 82, 85, « v >a= 2, 3, 5, 4, 7, 5, 13, i3, 6, 9, 7, 23, 17, 11, 8, 27, 3i, 9, 38, 55, 23,... la valeur de a est donnée par la relation a^ ^ j^q ("mod. n). Ce rcinan|nahle théorème est dû également h Gand [Bull, de la soc. indusl. d'Amiens, 1807).

Si n est de la forme r^ — i, la valeur 0 = 0; donne un satin de losanges symctrif[ue par rapport h la diagonale.

(2) En réalité il n'y a que les valeurs a= 2, 3, \, 5, (S, 9, i3 qui donnent des satins distincts : les autres reproduisent les premiers symétriquement ou après rotation.

Cette très intéressante théorie a été exposée en détail et ses principes démontrés par Santos, Ledent, Renouard et Lamoitier dans les années 189T, i8()9 et 1901 de VIndnstrie textile. Voir aussi Ed. Lucas, Xoiiv. Corresp., 1877 et Alli d. R. Ac. d. Se, Turin, i883 ; Frolow, Les carnés magiques, 188O; Laisant, A. E.» 1887; Arnoux, Les espaces arith.^ 1898.

3l6 KÉCRÉATIOKS MA.THÉMATIQUES

huit lignes ; quatre carrés avec dix-neuf lignes ; cinq avec onze lignes ; six avec vingt lignes, etc.

De même, en définissant les carrés par leurs sommets, on peut proposer de faire, de plusieurs manières, deux carrés avec six ou sept pions ; trois carrés avec sept; quatre carrés avec huit ; cinq ou six avec neuf; six ou sept avec dix; huit avec douze ou treize; 5/1 — 4 carrés avec 4^^ -h i ; etc.

Les déménagements. Aux sommets de deux pentagones OABCD et Oabcd ayant Vangle 0 commun, se trouvent neuf maisons réunies par des chemins figurant les côtés. La maison 0 est vide, et les habitants de A, B, G, D veulent échanger leurs logements avec ceux de a, b, c, d, en profitant de la maison vide 0 et de celles qui le seront successivement, et en s' astreignant à n'utiliser chaque fois que la maison vide la plus voisine. Combien y aura-t-ilde déménagements? Réponse : trente. — On pourrait se donner tout autre disposition initiale, le nombre de déplacements varierait en conséquence.

Certains, partant de ce principe que trois déménagements équivalent à un incendie, concluront que longtemps avant la fin de l'opération, il ne restera plus rien à déménager et qu'alors la question sera résolue ipso facto. Mais quel livre même sérieux ne fait-il pas usage de conventions plus ou moins plausibles, depuis celui qui demande à un milligramme prés le poids d'une sphère en argent grosse comme la terre et celui qui fait calculer le prix de la peinture d'un « rouleau employé en agriculture », jusqu'à la géométrie qui s'appuie sur un postulatum indémontrable et l'astronomie qui s'appuie elle-même sur cette même géométrie ?

L'évasion du prisonnier. Dans la cellule 0 (iig. i54) d^une prison, est enfermé un homme que, pour le rendre sympathique, on supposera un prisonnier de guerre. Les cellules de cette prison communiquent par des portes simplement poussées, mais ne pouvant s'ouvrir que dans un sens ; et en outre par des portes A, B, C, D, E, F, G ayant leurs clés

GUOMErRTE

en a, h, c, d, e,f, g ; Indiquer le trajet pour s'évader.

Il manœuvre de manière à recueillir E, D ; s'empare de la clé c qui lui sert à passer par C, puis la clc a qui lui permet de passer par A ; prend la clc b ; repasse par E et D, franchit B ; prend/, repasse E, franchit F ; prend g et finalement sort par la porte G, en recouvrant une liberté qu'on trouvera sans doute bien gagnée, car il lui a fallu franchir quatre-vingt-quatre portes et faire bien attention à sa manœuvre.

que doit suivre le prisonnier les clés d, e ; ouvre les portes

Fig. i5'i

Question du puits. Je ne vois traitée nulle part cette assez intéressante devinette, qui m'a été proposée il y a longtemps.

Un puits appartient aux propriétaires de plusieurs maisons A, B, G, ... lesquels arrivent à se fâcher avec ceux d'autres maisons a, 6, c,... situées entre les premières et le puits, en rayonnant tout autour de celui-ci. Les premiers décident de construire un mur qui leur laisserait l'accès du puits et l'interdirait aux autres : ils demandent comment tra^ cer ce mur.

Ne me mêlant jamais des affaires des autres, je me garderai de leur indiquer la solution — très facile du reste, — crainte dos représailles de MM. de a, de 6, de c, etc.

Jeu. des dix lettres. Il semble que la question t. II, p. 60, pourrait être présentée d'une manière plus intéressante, en la transformant ainsi : disposer les lettres A, B, G, D, E, a, 6, c, d, e, de manière que chaque majuscule puisse arriver sur sa correspondante minuscule, en franchissant une majuscule et une minuscule. La solution est donnée ci-dessous :

daCDAeBcE6

3l8 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

et le mouvement se fait dans l'ordre des lettres, A sur a, B sur 6, etc. On se rappellera la disposition h donner en s'aidant d'une phrase mnémotechnique, telle que la suivante :

i/'avisés Chercheurs Diront :

Attention ! et Bientôt crîront : Eurêka ! travo I

Sur les alignements de points. Aux exemples donnés t. II, p. 21, on pourrait ajouter les suivants.

Joignant par des droites les sommets et les milieux des côtés d'un carré, puis les intersections de ces droites, on arrivera aisément h faire avec treize pions, dix-huit lignes de trois, et avec dix-sept, vingt-huit lignes, etc. — Dans un carré, on inscrit un second carré et dans celui-ci un troisième : on a ainsi avec dix-sept pions, vingtquatre lignes.

On obtient des jeux plus intéressants en prenant des pions de couleurs différentes. Ainsi avec un pentagone étoile, on peut placer cinq pions blancs et cinq noirs sur cinq lignes contenant chacune deux noirs et deux blancs (''). Avec l'ensemble de deux triangles qui se cou[)ent {hexagone étoile), on peut mettre trois blancs, trois noirs, trois rouges et trois verts sur six lignes, qui en contiennent un de chaque sorte (^), La figure formée d'un octogone étoile régulier avec ses diagonales permet de placer huit pions noirs et huit blancs sur douze lignes contenant chacune deux noirs et deux blancs.

On terminera cette énumération qu'il serait facile de continuer, en signalant la fig. i55, qui contient quatorze lignes de deux noirs

(') Les deux pentagones étoiles a^ant pour sommets ceux d'un pentagone régulier et les milieux de ses côtés, forment, en menant en outre les diagonales, quinze lignes pouvant recevoir vingt-cinq pions, soit trois noirs et deux blancs sur chacune.

(2) Menant les diagonales et joignant les six sommets aux six intersections des côtés, on pourra placer trente-sept pions sur vingt-quatre lignes conle-t nant çhscune trois pions wn^ QÏ tleux Uanca,

et de deux blancs. Mettant des blancs aux points tels que A, des noirs aux points B, des rouges aux points G et D, on aura quatorze lignes identiques contenant chacune deux blancs, deux noirs et deux rouges. La même fig. permet de construire avec vingt-liùit pions,

quatorze lignes de cinq pions. Enfin si on ajoute les lignes telles que AE, AF, on arrivera à un assemblage de trente-cinq lignes de quatre pions.

Jeux du tétraèdre et du cube. 1° Ecrire les lettres a, b, c, d affectées des indices i, 2, 3, dans les douze angles des faces d'un tétraèdre, de manière que les trois indices, et que les combinaisons

abc, bcdy cda, dab

se retrouvent dans les quatre faces comme dans les quatre trièdres. La solution, très facile, se l'ait en écrivant respectivement dans les quatre trièdres, les annotations suivantes

Une autre qtiesiion à propos du tétraèdre, — comme il n'est pas possible d'ftssçipbler huit lélràèdrcs réguliers égâu^j de luanière k

330 RÉCRÉA.TTONS MA.TIIÉMATT01JT:S

obtenir le tétraèdre de dimensions doubles, — est de rechercher comment il faudrait partager un ou plusieurs de ces tétraèdres pour arriver au résultat indiqué. Mais on se contentera ici de poser cette question, quitte à y revenir ailleurs.

2*» Ecrire dans les huit angles des faces d'un cube les lettres a, h, c, d, de manière qu'en tournant dans un sens déterminé, les six faces présentent les permutations non tournantes

.Q. { ahcd, abdc, acbd

( acdb, adbc, adch

et que les huit trièdres présentent dans les angles de leurs faces, deux fois les combinaisons (a). A l'aide de la fig. i56 ci-dessous, on résoudra la question.

On remarquera que les lettres de deux faces d'un trièdre quelconque sont celles des angles de la troisième face non opposés à celui du trièdre ; et que deux lettres diamétralement opposées sont identiques, ce qui fait que les permutations inscrites dans deux faces opposées sont les mêmes, mais doivent être lues dans des sens opposés.

Jeu des six carrés. Ecrire les six permutations (3) sur les côtés de six carrés et disposer ceux-ci de manière à avoir douze lignes présentant deux fois ces mêmes permutations. On vérifiera aisément que les conditions du problème ne peuvent se réaliser pour trois carrés en équerre : il est donc inutile d'essayer toute disposition où on lirait les résultats parallèlement aux côtés.

La solution s'obtient en disposant les six permutations comme ci-dessous (fig. i57), les lignes étant prises parallèlement aux diagonales.

Jeu des quatre cubes. Les dés à jouer sont ordinairement marqués d'une telle manière que, dans deux faces opposées, le nombre total

des points soit 7. Il ne peut y avoir que deux sortes de dés présentant cette particularité.

Avec deux dés de chaque sorte y faire un carré tel que le total des points vus en dessus fasse i/^, et qu'il en soit de même quand on retourne cimcune des deux rangées ou chacune des deux colonnes, d'un, de deux ou de trois quarts de tour. La solution est donnée dans la

Fig. 167 Fig. i58

figure i58, où les nombres indiqués sur les cotés indiquent les numéros des faces voisines.

La théorie assez intéressante de ce jeu repose sur la considération des trois groupes

les seuls qui puissent donner la somme i[\, avec des nombres non répétés et inférieurs à 7. Ils donnent aussi la solution de cette question : placer les douze nombres i, i, 2, 2, 3, 3, 4. hf 5, 5, 6, 6 sur trois rangSj de manière que chaque rangée donne un même total, et que dans chaque colonne, le plus grand terme soit égal à la somme des deux autres.

On en tire aussi le tableau suivant, qui a les mêmes propriétés et qui utilise les douze premiers entiers :

Récréations mathématiques, III. at

322 RÉGRÉATIOî^S MATHÉMATIQUES

Jeu des neuf pions. Disposer en carré les neuf premiers entiers^ de telle sorte que le nombre inscrit dans un angle quelconque additionné avec ses deux voisins, donne une somme constante. Ceux qui sont peu familiarisés avec l'analyse indéterminée auront quelque peine à trouver les solutions de cette question, tandis que ce n'est qu'un jeu quand on s'aide de cette théorie, qui n'est d'ailleurs que l'art de réduire, autant que possible, le nombre des tâtonnements dans la solution des problèmes. On peut même compliquer celui-ci, en se donnant le nombre n qui doit occuper le milieu du carré. On l'écrira donc comme ci-dessous.

abc i due

On verra aisément : i" que les sommes a -H /i et c + /ont une même valeur, qu'on appellera A ; 2° que A est > 5 et < i5; 3° que A et n sont de parité différente (^).

Soit /i = 7 : on aura à examiner les cinq cas A = 6, 8, 10, 12, i4. d'où les sept hypothèses suivantes pour les valeurs de a, h, c et

La première peut s'écrire :

(*) Cette dernière assertion se vérifie en remarquant que B désignant la somme constante a -}- 6 + d. 6 -f c 4- e,... on a :

aB 4- A = I H- a -f 3 4- ... + 9 — n.

GÉOMÉTRIE 3a3

les nombres restants étant 3, 6, 8, g, on voit qu'il faut écrire (i=9, e = 8, 6 = 6, g z= S. Les autres hypothèses produisent également d'autres solutions, sauf la troisième.

Opérant de même sur les valeurs n = b, 6, 7, 8, 9, on trouve respectivement une, quatre, quatre et six solutions : et si on remarque que toute solution relative à n = 7, par exemple, en donne une relative k n = B, en y prenant partout les compléments à 10, on arrivera à cette conclusion que le problème comporte qua» rante-deux solutions différentes.

Quatre questions de chemin de fer. — i" Un train composé d'une machine L (fig. 109), de voitures de marchandises M et de voitures de

% Fig. 159

voyageurs V, arrive dans une gare formée d'une voie d'évitement B et d'une voie de garage G. Manœuvrer le train de manière que les wagons m et M prennent la place l'un de l'autre sans que jamais il y ait aucun wagon sur la voie principale A qui ne soit accompagné de la machine. Le train va prendre m, qu'il laisse sur 13, repasse par A et reprend m. L repasse par A et se place à gauche de m, puis le tout pousse V et M sur C ; L et m reviennent sur B ; L faisant le tour par A, va

Fig. iGo

reprendre V qu'elle accroche h m, et refaisant encore le tour seule, revient s'accrocher en avant de m.

1* Les changements de voie peuvent se faire automatiquement ; de sorte qu'un train venant de l'une quelconque des deux voies

Sa/j RÉCRÉA.TIONS MATHEMATIQUES

XY, XZ, (fig.i6o) d'un branchement, va de lui-même sur la voie unique XV, tandis que, partant de la voie simple, il ne peut aller que sur une voie déterminée XY qu'on représentera par un trait placé au point de dédoublement.

Ceci posé, il s'agit de réunir des voies ferrées rayonnant autour d'un point central par des systèmes d'aiguillages automatiques tels quun train venant de lune quelconque de ces lignes puisse prendre l'une quelconque des autres, toujours machine en tête. Pour trois directions, on a la fig. i6o. Ce 'dispositif est employé dans certains pays où le terrain a peu de valeur, pour retourner les locomotives ('), au lieu de faire la dépense d'un pont tournant. On emploie du reste aussi pour cela le terminus en raquette, comme au chemin de fer de Sceaux, ou au Métropolitain de Paris.

Pour quatre directions, on emploierait la même disposition avec, en plus, la voie indiquée en pointillé.

3° Un convoi formé d^une machine A (fig. i6o), de wagons de marchandises B et d'autres ivagons de voyageurs C, arrive par la voie Y et doit repartir par la voie W, après avoir échangé le wagon B contre le ivagon 0 situé sur XY. Indiquer la manœuvre^ les aiguillages se faisant automatiquement. Laisser C, franchir avec AB, l'aiguille X, accrocher 0, franchir avec OAB, les aiguilles Y, Z, X, Y ; reprendre G ; franchir les aiguilles X, Y, Z, X ; détacher B, et franchir enfin YetZ.

4** On a une locomotive A et trois ivagons B, 0, G disposés comme

Fig. i6i dans la fig. i6i. En se servant de la locomotive et d'aiguillages aulo-

(*) Le poids [des locomotives tendant à augmenter de plus en plus, on y revient aujourd'hui. Seulement, pour réduire la surface du terrain nécessaire au développement des voies, on a proposé de croiser les deux tronçons XY, XZ ; ou encore d'employer un quintuple rebroussement en forme de pentagone étoile.

mcitiques, permuter les deux loagons B et G. La machine A va en X, pousse B, puis 0, puis G, et le tout va en Z, puis en Y, où on laisse G. Alors A, B, 0 viennent en X, puis en Z, puis en Y, où Ton accroche G, et le tout revient en X. On y laisse G, et A, B, 0, retournent en Z, puis en Y, où on laisse 0, que A et B viennent reprendre, après avoir refait le tour par X, Z et Y ; A et B refont le même tour ; B est laissé en Y ; et A, après un nouveau tour, vient le chercher et l'amène en X, où sont alors G, 0, B, A. Il ne reste plus qu'à conduire successivement G, 0 et B, après quoi A retourne Il sa place.

Usage et abus cla langage géométrique. On se contentera de citer ces deux extraits de journaux.

« Il a mérité de voir s'étaler sur les murs de B... une afTichc donnant le graphique de ses variations. En ahscisses, les dates très rapprochées de ses changements d'opinion et de parti ; en ordonnées, les indications de ces opinions et de ces partis, ce qui forme une vraie salade russe. » Ges deux images, du graphique et de la salade russe, sont expressives, mais peut-être trouvera-t-on que la transition de l'une à l'autre est insuffisante.

«... le nouveau règlement élaboré en haut lieu vient de faire h la géométrie, dans l'instruction professionnelle des chauffeurs, une place qu'elle ne songeait pas à réclamer... Voici en elTet le premier paragraphe de l'art. 2 du règlement en question. Il s'agit de la place des lanternes :

Ge centre de la source lumineuse sera à la même hauteur que celui de la plaque et à l'intersection de deux plans verticaux, l'un parallèle à l'axe du véhicule et situé à quinze centimètres à gauche de l'inscription, l'autre perpendiculaire et distant de quinze centimètres au moins du plan de l'inscription.

Je ne sais pour quelle cause, en dépit de la source lumineuse, je ne distingue pas très bien... Ge que les chauffeurs auraient de mieux à faire, c'est de supposer le problème résolu et de placer leur lanterne le mieux possible. »

Cette dernière reflexion est de toute raison : cultivons et aimons les mathématiques, mais ne les faisons pas intervenir où elles n'ont que faire, à moins qu'elles n'apportent quelque éclaircissement dans le langage. N'imitons pas ce mathématicien de grande taille, lequel s'apercevant que le lit oîi il doit coucher est trop petit, — au lieu d'essayer de se placer suivant la diagonale, ou tout au moins de mesurer celle-ci, — commence par mesurer sa longueur et sa largeur ; ce qui, moyennant deux élévations au carré et une extraction de racine, lui permet de constater que la diagonale est supérieure à sa propre longueur. Après quoi, il peut se livrer consciencieusement aux douceurs du repos et rêver qu'il offre une Jàlombe (') à Pythagore, — en remerciement du secours que lui a apporté son merveilleux théorème en le tirant si heureusement d'un mauvais pas ; — et qu'il projette un traité sur la haute utilité de la géométrie, ainsi que sur l'infériorité de celui qui n'est pas géomètre, ce qui, d'après Pascal, est un grand défaut.

Deux applications des propriétés da centre da gravité. i° Les milieux des côtés d'un polygone convexe ABCDEF... /orme/i/ un polygone plus petit ; de même, les milieux des côtés de celui-ci en forment un troi'sième encore plus petit; et ainsi de suite. Trouver le point limite vers lequel tendent tous ces polygones. Ce point n'est autre que le centre de gravité du polygone proposé, et on le déterminera ainsi : joindre les milieux A', B' de AB et de BG ; le milieu A" de A'B' au milieu B" de CD ; le point A", au tiers de A"B", au milieu B'" de DE ; le point A'"' au quart de A'"B'", au milieu B"" de EF ; etc. Le dernier point ainsi obtenu est le point cherché. (Monlucla).

2" Gergonne, dans le t. III de ses Ann, montre ainsi que si A, B, G,... est une suite croissante et a, b, c,... une autre suite ayant

(i) On sait qu'une Icgonde — absurde d'ailleurs, — veut que l'illustre philosophe offrit une hécatombe aux dieux à la suite de la découverte qu'il fit, — croit-on, — de la relation existant entre les trois cotés d'un triangle rectangle.

GéoMÊTRlB 327

Un même nombre de termes, la somme S = Aa -h J36 -i- Ce -|- .;. sera maximum si la suite a, b, c, ... est décroissante, et minimum si elle est croissante. En elTet la relation

Aa 4- Bc -i- C6 + ... ^ S,

par exemple, entraîne cette autre

Cette démonstration est insuffisante : on voit bien qu*on diminue ou qu'on augmente la somme suivant les cas en changeant deux lettres ; mais rien ne dit, que si on changeait à la fois plus de deux lettres, on n'arriverait pas à un résultat encore plus petit ou plus grand. Cependant le théorème est exact; pour le démontrer, on posera, pour abréger

A.T -f- Bj' -4- ... -f- Cz = {xy .., z) 8oit (xy ... z) une permutation de k lettres, et soit

(ab ...c)^(xy .,.z):

on aura, avec une lettre plus petite de plus, d,

(ab ...cd)<{xy...zd)<(xy ...dz)

<(:cd.

^(dy-

.. zx).

Celle permutation en donne donc k -j- i autres dans le môme cas, et il en est de même de chacune des k I permutations. Or on a ;

(a6) < (la), [ac) < (ca). (6c) < (eb)

d'où

{abc) < (bac) < {bca) < {cba) < (acb) < (cba).

La proposition est donc vraie pour trois lettres : elle est donc générale.

On peut en donner une figuration géométrique (*), qui en fournit une explication, sinon une démonstration, intuitives. Considérons une figure formée de rectangles accolés et ayant un axe commun ; soient A, B, C, ... les surfaces de ces rectangles, et a, b, c, ... les distances de leurs centres de gravité à un point de Taxe. La distance g du centre de gravité G de Tensemble sera donnée par l'équation

(a) ^(A -+- B 4- ...) == Aa 4- B6 4- ...

On conçoit que G est d'autant plus éloigné que les plus grands rectangles sont les plus éloignés et d'autant plus rapproché qu'ils sont les plus rapprochés ; de là, en tenant compte de (a), la démonstration annoncée.

Quadrature de figures rectilignes. La question de partager un polygone de telle manière que ses parties assemblées différemment en reproduisent un autre équivalent a été traitée entièrement(^) (voir L M. 1896, p. 92). On peut se demander de déterminer des polygones qui ne demandent pour cela que d'être partagés en un nombre donné de

C) On peut en énoncer un cas soûs cette forme : une usine veut faire des dépôts d'importances A., Ji, G,... dans des villes éloignées de distances a, 6, c,... Comment choisir ces succursales de manière à avoir un minimum de transport? (2) Dans l'historique de ce problème, on n'a pas cité cette question de Gergonne : pour boucher un trou pentagonal, on a, par mégarde, découpé un pentagone égal mais à V^.nvers de Vétoffe. Comment s'y prendre pour utiliser ce pentagone à Vendrait?

parties ; tel est le rectangle a X b, qui peut, par une division en deux parties, se transformer en un autre rectangle

on le partage suivant un escalier de k marches s'appuyant sur la diagonale.

On peut se proposer aussi de trouver des polygones qui, divisés par deux droites rectangulaires, produisent un carré. Tels sont les polygones figures 162 et i63. Le second offre six cas remarquables :

d = — cet 6=0; a d = — aet 6=0.

Ces deux derniers cas donnent deux démonstrations connues du

"ta

tl3

Fig. 163 Fig. iG3

théorème de Pythagore, dont la figure i63 n'est d'ailleurs qu'une généralisation.

Certains assemblages de carrés égaux peuvent de même être partagés par des droites perpendiculaires, de manière à pouvoir se transformer en carré. Ainsi les onze assemblages de cinq carrés sont dans ce cas, sauf celui qui a la forme d'un T et celui où les cinq carrés sont sur la même ligne. Exemple, figure i63 bh.

BECRÉATIONS MATHÉMATIQUES

Les trois assemblages de huit carrés compris dans un carré de

3x3, sont dans le même cas, sauf celui où le vide est au milieu.

De même les cinquante-quatre (^) assemblages de huit carrés

Fig. iC)2bis

Fig i64 F

SZl

Fig. iG6

iG5 Fig. iG6 Fig. 167

compris dans un rectangle de 3 x 4. tels que ceux des figures 164.

Fig. 1G8 Fig. 1G9 Fig. 170 Fig. 171

i65 et iC6 : et pour un grand nombre d'autres analogues compris dans un carré de 4 X 4» comme ceux des figures 167, 168 et 169.

(*) On arrive à ce résultat en remarquant que le nombre 8 peut être formé par l'addition de trois nombres au plus égaux ù 4 des sept manières suivantes

Les assemblages exécutés d'aprcs ces données se font aisément en indiquant les carrés par de simples points : on trouve ainsi les nombres i3, 8, 6, 3, 8, 4, 12, et en tout, 54.

De même dans un carré de 4 X 4, le nombre d'assemblages de huit carrés se trouve en cherchant le nombre de manières d'obtenir 8 avec quatre nombres au plus égaux à 4» ce qui donne les sommes

avec les permutations de leurs termes. Certaines figures se reproduisent, soit symétriquement soit après rotation de 90* : elles doivent chacune être comptées pour une»

GEOMETHIE

Les mêmes constructions ont lieu, pour la figure i6A, quand on remonte d'un rang les deux carrés de gauche ; pour la figure 166, si on descend d'un rang les deux carrés du milieu, de manière à figurer la lettre H ; pour la figure 167, si on descend d'un rang le carré de gauche et si on recule d'un rang vers la gauche le carré inférieur; pour la figure 168, si on agit de même sur les deux carrés de droite et les deux carrés inférieurs.

On peut trouver des assemhlages, — par exemple celui de la figure 171, — qui sont dans le même cas, mais peuvent être divisés parallèlement aux côtés. On peut en construire d'autres, tel que celui de la figure 170, qui peuvent se diviser, à faide de deux parallèles, en parties susceptibles de former un carré.

Quelques unes de ces figures ainsi que des suivantes ont déjà été données dans l'I. M. en 1906 et 1907.

Division de certains polygones en parties superposables . On connaît le problème qui consiste à partager en trois parties superposables la figure formée d'un carré 4x4 dont on retire dans un angle, un carré de 2 X 3. Ce problème peut être considérablement étendu, même

^- -j^rn

Fig. i--i

Fîg. 173

Fig. 175

en

^„ s'astreignant à ne s'occuper que des ligures présentant une certaine régularité, ce qui rend la décomposition moins aisée à deviner. Ainsi les figures 173, 178, 174 et 176 peuvent être partagées en deux parties superposal)les ; les figures 176, 177 et 178, en trois; les figures 179 t\ 186 en quatre ; la figure 187 en cinq ; les figures 188 et 189, en six ; la figure 190, en huit ; la figure 191, en dix ; les figures 19a et 198, en douze ; et la figure 194, en dix-huit.

3o2 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQXJES

La figure i88 peut aussi se décomposer en cinq parties. La décom-

Fig. 176

Fig. 18:!

Fig. 180

Fig. i83

Fig. 178

Fig. 181

Fig. 18/,

position de la figure 198 peut se faire différemment, et il y en a plusieurs autres dans ce cas.

On peut considérer la question sous un autre point de vue, et se

GKOMÉTllIE 333

donner un élément, en se proposant d'en déduire des assemblages

Fig

Fig. i85 Fig. i86 Fig. 187

nouveaux à un ou deux axes de symétrie, ou ayant un centre de

figure. Certains éléments se prêtent facilement à une foule de com-

Fig. 188 Fig. 180 Fig. 190

binaisons ; par exemple, celui de la figure 189, qui, employé quatre, puis cinq fois, donnera deux Ggures analogues à la figure 178 : De

Fig. 19»

môme, avec les éléments des figures 197, 192, 190 et i63, on peut faire de curieux polygones h un axe et pouvant se diviser en quatre,

RÉCRéA.TIONS MA-THÉMATIQUES

huit, douze et vingt-quatre parties superposables ; lélément de la figure 19a, répété quatre fois, peut donner un escalier semblable à la figure 187, mais ayant une marche de moins (^).

Plusieurs de ces figures restent régulières quand on en retire certains éléments, et donnent ainsi de nouvelles récréations : ainsi la figure 174 provient de la figure i85 ; la figure 186 donnerait de

Fig. 193

Fig. 194

même un polygone pouvant se partager en deux; la figure 196, fournit un élément triplé; la figure 191 un sextuplé ; les figures 198 et 194 un octuplé, chacune ; etc.

Il a été maintes fois proposé de partager un carré en quatre parties équivalentes et contenant chacune un même nombre d'arbres ou de maisons : il est très facile de multiplier les récréations de ce genre, en considérant des carrés quadrillés de 6^, 8^, 10^, par

(1) Un peu do géométrie fantaisiste. L'élément de la figure 181 mérite une attention particulière comme fournissant une solution aussi péremptoire qu'inattendue de la question si controversée du transformisme. Avec son secours, on démontre qéométriquement en effet que le cheval provient de l'éléphant : pour vérifier cette importante assertion, il suffit d'enlever, par exemple, les deux carrés en haut et à gauche de la figure.

exemple, et traçant sur le quadrillage, du centre à la périphérie un chemin quelconque qu'on répète par trois rotations successives de 90**. La chose est moins facile, si la figure bien qu'ayant deux axes de symétrie, n'est pas un carré : les figures igS, 196 et 197 donnent trois solutions de ce cas ; on ajoute des arbres et des maisons parce qu'autrement, la décomposition en quatre parties superposables serait immédiate.

Le papier calque et le papier quadrillé au demi-centimètre jouent

njb

afa

Fig. 196

Fig. 197

un grand rôle dans toutes ces recherches, qui autrement seraient à peu près impossibles.

A propos de cette question, on peut citer les deux théorèmes suivants :

Le nombre de dispositions différentes qu'on peut réaliser avec n rectangles I X 3 (tels que les dominos) mis sur une seule rangée de 2 de largeur, est le n' terme de la série de Fibonacci i, 3, 3, 5, 8, i3, ar,... (A. Boutin, L M. 1897).

Il y a respectivement i, 4 e< i4 nombres tels que les rectangles ayant ces nombres pour rapports de leurs côtés puissent se partager en deux, trois ou quatre rectangles semblables aux rectangles proposés (Jonesco, L M. 1908.) On trouve en effet, — et cette recherche est un bon exercice algébraïco-géométrique, — les rapports :

v/^toV^'

33G RÉCRÉATIONS xMATHÉ.MATIQUES

Partage du cube. Généralement l'extension à l'espace des théories de la géométrie plane sont très difficiles et le plus souvent impossibles. Il est naturel d'essayer d'étendre ainsi les résultats indiqués dans la note précédente, mais cela semble assez ardu. Voici toutefois un résultat simple assez intéressant. Avec neuf prismes ayant pour base Vêlement de la figure 190 et une hauteur égale au côté d'un des trois carrés, construire un cube. Ces prismes ne peuvent occuper que deux positions : couchés sur leur base, ou bien culbutés sur le côté.

Si on représente comme ci-dessous les neuf carrés formant la section horizontale du cube,

abc d e f g h i

on mettra deux prismes couchés, en bad eifih ; puis trois culbutés, en ebf cf et gh\ ensuite un couché, en cfe ; enfin trois culbutés, en ab, dg et ih. Les trois phases principales de l'opération sont indiquées comme suit :

IIO

lOI

on

les nombres de ces tableaux indiquant les hauteurs des difierentes parties des solides successifs (*).

(*) Le cube peut encore se partager d'autres manières en cléments interchangeables. Ainsi, par exemple, avec seize prismes ayant pour base l'élément de la figure 196, qui peut offrir les trois positions couche, debout et culbuté, — on a cette solution très symétrique : deux couchés, en cbfe et kjnrr.; quatre dedout, en ah, de, ij, ïk ; deux culbutes hgf, pon ; quatre debout ea, mi, hd, pi ; deux couchés 6c<//t, jlcop ;

On pourra aussi essayer la composition du cube avec vingt-cinq prismes ayant pour base l'ensemble de cinq carres égaux en forme de "]~ ; élément qui peut prendre quatre positions différentes.

Ces cléments sont interchangeables : il est facile de les compliquer en leur adjoignant d'autres cubes détachés d'un ou de deux éléments, de manière à leur nécessiter un emplacement fixe dans l'ensemble, ce qui rend la reconstitution du cube peut-être moins aisée, — bien qu'elle s'applique à un nombre moindre d'éléments.

Je me rappelle avoir vu un jeu qui, sous le nom de cube diabolique, comprenait de même divers solides bizarres qu'il fallait assembler en un cube : les remarques ci-dessus permettront d'en construire de semblables.

Quelques remarques élémentaires sur les lignes courbes. 1° Certains moyens de définir les courbcssontplutot du domaine des récréations mathématiques. Deux droites étant divisées en parties égales, on sait, depuis Apollonius, que l'enveloppe des droites qui joignent les points de division est une parabole ; si ces droites sont assez rapprochées, les intersections successives sont très voisines de la courbe, et peuvent pratiquement servir à la dessiner.

De même, on a vu, p. 288, qu'une corde circulaire mobile dont les pxtrémités se meuvent uniformément, enveloppe uneépicycloïde. Il s'ensuit que si on mène toutes les diagonales d'un polygone d'un nombre de côtés suHisamment grand, les intersections successives figureront diverses épicycloïdés (*). Il serait abusif qu'on demandât de traiter ainsi le polygonus penlakismyriohexakischiliole' Iracosiohexacontapentagonalist de Jacques BernouUi, ou polygone do 5G/iG5 côtés, dont le nom pourrait figurer dans les listes de grands mots publiés récemment dans Vlnierni. des Cliercli. ; ni même le cliiligonus de Newton : il suffira d'essayer la construction sur le polygone régulier de 35 ou même de 17 côtés.

(^) C'est ici le lieu de signaler un des ingénieux appareils dus à M. Ghassagnv, professeur de physique au lycée Jcanson de Sailly. En deux points fixes de deux poulies à plusieurs gorges réunies par une courroie sans fin et mues à la main, sont articulées les extrémités A et 0 de deux tiges AO, OB articulées en 0. Suivant les cas, l'articulation 0 trace une droite, une ellipse, une parabole, une besace, cl généralement une courbe do Lissajous.

Récréations niatbcmatiqucs, III. 32

338 RÈGRÈATIOx\S afATttÉMATlQUËS

2" La géométrie analytique permet de reconnaître les formes qu'affectent les courbes déterminées par leur équation, et même les singularités infiniment petites que l'œil ne peut voir mais dont l'analyse révèle l'existence.

Les courbes algébriques se distinguent surtout par leur degré, lequel a la plus grande influence sur leur forme, car il indique le nombre maximum de points où une droite peut les couper. Les courbes du deuxième degré peuvent présenter trois formes, et celles du troisième, soixante seize ; l'étude du nombre des courbes du quatrième n'a pas encore été menée à terme, tellement ce nombre est considérable.

On peut se proposer le but, beaucoup plus modeste, de dénombrer les courbes fermées ayant des singularités déterminées. Par exemple, il n'y a que deux formes de courbes fermées ayant un point double ; il y en a cinq ayant deux points doubles, et vingtquatre ayant trois points doubles. Parmi ces dernières, il y en a trois qui ont trois axes de symétrie, trois qui en ont deux, seize qui

Fig. 198

qui en ont un et deux qui en sont dépourvues. Des études de ce genre seraient plus utiles qu'on ne serait tenté de h croire au premier abord ; il semble même qu'on pourrait y trouver de nouveaux motifs de décoration et un moyen de façonner le goût des jeunes dessinateurs.

3' Voici encore une des questions qu'on pourrait se proposer sur

les lignes courbes en général. Une courbe unicursale (courbe pouvant être tracée d'un seul trait) peut-elle être considérée comme limage d'un fil passant alternativement sur et sous chaque brin rencontré ? La réponse est : oui. Il suffit de faire voir que si la cliose a lieu pour une certaine figure, elle a lieu également quand on la complique d'une manière quelconque, car cela est facile à vérifier directement dans les cas simples.

Remplaçons donc la branche terminale KX (fig.198) par une autre traversant la courbe, en L, M, IN, 0, P, Q, H, et donnons au point L, la parité contraire à celle de K. L'un des nœuds voisins de L sur la courbe est de même parité que K ; on n'y changera rien, mais celle de l'autre sera modifiée ainsi que tous les nœuds sur la courbe jusqu'au nœud voisin de M. Le nœud suivant sur la courbe ne sera pas modifié ni les suivants jusqu'au nœud N ; mais Ijb suivant le sera, ainsi que tous les suivants jusqu'à celui voisin du point 0. Et ainsi de suite.