LA GÉOMÉTRIE PAR LE PLIAGE ET DÉCOUPAGE DU PAPIER

Découper une feuille de papier en forme de rectangle.

— Il est facile de plier une feuille de papier donnée de manière à obtenir un rectangle ABCD et le procédé est certainement connu de la plupart des écoliers.

•On commence par faire un pli MN suivant l'un des bords de la feuille, puis faisant glisser la lame d'un canif enlre les deux épaisseurs et suivant le pli MN, on détache le bord ainsi replié.

On marque alors un point A sur MN, dans le voisinage d'une des extrémités ; on plie de nouveau la feuille de manière à amener le segment MA sur le segment AN. On obtient ainsi un second pli AP qui est perpendiculaire au premier puisque les deux angles adjacents supplémentaires MAP, PAN sont égaux. On détache avec le canif le bord inutile replié AMP.

On marque de la môme façon un second point B sur AN, dans le voisinage de l'extrémité N et en amenant le segment BN sur le

(') Le lecteur consultera avec fruit l'ouvrage « Geometrical exercises in paper folding » par T. Sundara Row — Madras, 1893.

llEGRl-ATIO>S MATHEMATIQUES

segment BA on marque le pli BQ qui est également perpendiculaire

à AB.

On détache encore le bord replié NBQ.

Il ne reste plus pour achever le rectangle qu'à prendre deux longueurs égales AG, BD sur les deux plis AP, BQ et qu'à faire un dernier pli suivant CD.

On comprend facilement, sans qu'il soit nécessaire d'insister que l'on peut très bien faire en sorte que les côtés du rectangle découpé aient des longueurs données ; il suflit de repérer en conséquence

Fig. i<j8 les points B, G et D.

Découper une feuille de papier en forme de carré. —

Du rectangle ABGD on passe au carré, en pliant obliquement le papier de manière à amener le petit côté DG sur le grand côté adjacent DA.

SoitDB'lepli.

On marque sur DA le point E tel que DE = DC, on plie le rectangle suivant ÊF et on détache avec le canif la partie repliée EFBA.

La figure DGEF est un carré.

Découper dans un carré de papier un triangle isocèle, un triangle équilatéral. — Plions le carré ABGD de façon à amener le côté BG en coïncidence avec le côlé AD ; marquons le pli MN en pressant avec le doigt ou avec l'ongle, puis ouvrons la feuille^

Les points M et N sont les milieux des côtés opposés DG, AB.

Marquons alors un point quelconque E sur MN et plions la feuille suivant AE et BE.

PLIAGE ET DÉCOU^AGE DU PAPIER

La figure AEB est un triangle isocèle que l'on peut isoler en coupant le papier suivant les plis AE et BE.

Pour avoir un triangle équilatéral oti cbtnnrtencé, cohnme nous l'avons fait par marquer le pli MN, puis on plie en diagonale le carré de façon h faire tourner pour ainsi dire, le côté AB autour de A et h déterminer sur le pli MN le point È tel que l'on ait AE = AB.

Ce point E une fois marqué on fait deux plis suivant AE et BE et on détache, avec le canif, le triangle AEB qui est équilatéral.

Sur le côté AB d'un carré ABG, pris comme hypoténuse, construire un triangle rectangle ayant une hauteur connue. — Portons sur les deux cotés opposés AD, BC, les deux lon- 0 M C

Fig. 2oa

gueurs AE, BF égales à la hauteur donnée, et plions le papier suivant EF.

Ouvrons la feuille aprè* avoir marqué le pli.

Déterminons, en second lieu, le milieu M du côté AB en appliquant le côté BG du carré sur AD et en faisant coïncider les deux segments de AB. On ne marque le pli que sur AB.

Gela fait rabattons l'angle MBF de lâ fëuillfe, ert le faisant lotirncr autour d'une droite fictive passant par M et de manière h amener le point B à coïncider avec un point de EF. Soit G ce point.

Il ne reste plus alors qu'à fdlre un pli suivant GB et un autre suivant GA.

Le triangle AGB formé par ces deux plis est rectangle en G.

Étant donné un carré ABCD, déterminer sur un des côtés, AB par exemple, un point X tel que le rectangle ayant pour côtés AB et BX soit équivalent au carré construit sur AX- — En rabattant le côté BC sur lui-mônie on obtient son point milieu E. fig. 2o3,

Marquons le pli AE.

Rabattons l'angle B du carré de manière à amener EB en EG sur le pli AE et marquons le pli EF ainsi déterminé.

Plions de nouveau la feuille suivant FG et portons enfin avec une bande de papier, la longueur AG en AX sur AB.

On aura

ÂX' = AB.BX

On voit en effet que la construction exposée correspond exactement à celle qui est donnée graphiquement dans tous les cours de géométrie, fig. 2o4.

Prenons GP = CH = DL = BX et marquons les plis HX, PL.

La figure DGPL représente le rectangle construit sur AB et BX et la figure ALKX le carré construit sur AX.

Le rectangle DGPL est donc équivalent au carré AXKL.

Découper dans un carré de papier un triangle isocèle dont les angles à la base sont doubles de l'angle au sommet. — Soit ABGD le carré donné.

On commence par déterminer sur AB le point X tel que