PLIAGE ET DÉCOUPAGE DU PAPIER

d'où

RN' = MN' — SÏb' -+- NB' = MN' — Sb' -^ (Ab — BM)2 = MN' — MB' -+- Âb' + BM' — 2AB.BM = Âb\

Ainsi

RN = PM = RP =r AB.

ïi résulte de là que les triangles isocèles RMN, MNP et liOt^ sont égaux comme ayant les trois côtés égaux et que, par suite, les trois angles RMN, MNP et ROP sont égaux.

On remarque aussi que les droites RN, PM sont les bissectrices des angles Pl\M, RPN puisque

PRN = RNM = MRN ;

et que les droites MR, NP sont bissectrices des angles BMP, ANR. D'ailleurs, les triangles isocèles PRM, RPN étant égaux,

PRN = RPM.

Dès lors dans chacun de ces triangles, les angles à la base valent chacun le double de l'angle au sommet, c'est-à-dire que

RMP = MRP = 2RPM= I de droit.

Par conséquent, les trois angles égaux RMN, MNP et ROP valent chacun

y -\- ^ = ^ de droit.

Enfin, les deux triangles ORM, OP^ étant égaux, on a : ORM = OPN = G droits — 3 fois ? de droits == 5 de droit. Donc la figure ORMNP est équiangle.

On démontre facilement que la figure EFGHK est également un second pentagone régulier dont les côtés prolongés forment le pentagone étoile.

Découper un hexagone régulier dans un carré de papier. — Soit le carré MNPQ.

On le plie successivement suivant AB et CD.

En amenant le bord QM sur le pli CD et le bord PN sur le même pli CD, on marque les deux nouveaux plis EF, GH qui passent respectivement par les milieux de AO et de BO et sont perpendiculaires à ce pli AOB,

Enfm, on détermine sur EF et GH les points K, S, L, R tels que