AK = AS = OA ; BL = BR =.= BO
et on marque les 6 plis AK, KL, LB, BR, RS et SA, la figure AKLBRS ainsi obtenue est un hexagone régulier.
Fig. 2o6
La démonstration est trop évidente pour que nous nous y arrêtions.
En pliant la feuille suivant LOS et KOR, la figure est décomposée en 6 triangles équilatéraux égaux.
L'hexagone une fois découpé, si on le plie comme le représente la seconde figure suivant les droites passant par les points qui divi-
l' LIAGE ET DECOUPAGE DU PAPlEU
sent chaque coté en trois parties égales, on le décompose en 7 petits hexagones réguliers et en 12 petits triangles équilatéraux égaux.
Découper dans un carré de papier un octogone régulier. — Soit MNPQ le carré donné.
Déterminons les points milieux A, B, G, D, des quatre côtés et marquons les plis AB, BG, GD et DA, ce qui nous donne le carré ABGD.
Plions maintenant chacun des angles aux bases des triangles rectangles isocèles NAB, PBG, QGD et MDA, de façon à amener AN sur AB. BN sur BA, PB sur BG, GP sur GB, etc.
Les plis ainsi marqués sont les bissectrices des angles NAB, ABN, GBP, PGB, etc., et la figure EBFGGDIIA est un octogone régulier.
Gette figure est, en effet, équilatérale, car l'égalité des côtés est la
Fig. 208 ^\' ^^"t
conséquence de celle des 4 triangles isocèles EAB, FBC, GGD, 11 AD. De plus, les angles sont égaux, car
IIAE = EBF = FCG = GDH =n i droit 4- ^ de droit
et
AEB = BFG = GGD = DU A = 2 droits — - de droit = i droit ^ .
On peut encore obtenir un octogone régulier en pliant chaque
RÉCRÉATIONS MAtllÉMATlQUES
angle du carré, comme le représente la seconde figure, en qualic parties égales.
Découper dans un carré de papier un polygone régulier de neuf côtés. — On arrive, avec un peu d'exercice, à plier trrs approximativement un angle en trois parties égales.
Commençons d'abord par plier un triangle équilatéral A'JVC découpé dans un carré de papier suivant les droites A'F', CE', B'D' qui passent par les milieux des côtés et qui se coupent en 0 au centre du triangle en formant trois angles égaux à 120°.
Découpons alors les trois angles A'O'B', B'O'C, G'O'D' et plions l'un d'eux, A'Q'B' par exemple, le plus exactement possible, en trois parties égales. Soient O'G' et O'H' les plis.
Soit maintenant ABCD le carré de papier donné ; déterminons
Fig. 310
son centre par les deux plis MN, PQ qui passent par les milieux des côtés.
Appliquons alors successivement et trois fois lo triangle isocèle A'O'B' sur le carré ABCD en plaçant le sommet 0' en 0 et le côté O'B' suivant la direction OM.
On marque la direction OR du côté O'A' et les directions OF, OE des deux plis O'G', O'H'.
Le môme triangle applique une seconde fois le sommet Q' en 0
PLIAGE ET DlinOLI'AGE DU PAPIEU
et le côte 0'1>' suivant CM, on marque la direction OS du côte 0'.V et les directions OL, OT des deux plis O'G', OU'.
Enfin, le même triangle A'O'B' applique une dernière fois dans l'angle ROS nous fournit deux nouvelles directions qui partagent l'angle IIOS en trois parties égales.
On porte alors sur les directions OE, ÛF, OU, 011, QJL, OS, QL, OT une même longueur OM et il ne reste plus qu'à plier et à découper le papier suivant les droites ME, EF, FG, GU...
La figure ainsi formée est un polygone régulier de neuf côté^.
Découper dans un carré de papier un pentédécagone régulier. — On commence par inscrire dans le carré le pentagone ABCDE comme il a été expliqué plus haut.
Plions maintenant la figure suivant les lignes qui passent par chaque sommet et le milieu du côté opposé et dont l'intersection commune est le centre O du pentagone. Sur l'un des plis ainsi faits,
DOK par exemple, prenons OF = OD et plions le papier suivant
la droite GFH perpendiculaire à DOK.
Prenons sur ce pli les points G et II tels que OG = OH == OD.
Marquons les plis OG, 011.
Les trois points D, G, II sont les sommets d'un triangle équilatcral de centre 0 et l'on a :
DOG = GOli = DOH .:= 120".
Mais l'angle DOA vaut les ^ de 36o" f^'b'- -i-
ou i/iZi", donc l'angle GOA vaut 144** — 120° =34°. c'est-à-dire le tiers de l'angle au centre du pentagone.
En pliant en deux l'angle GOF^, l'angle AOE du pentagone sera partagé en trois parties égales par les plis OM, OL. On porte alors sur les quatre autres côtés du pentagone les segments A3iJ, ML,
nxT — T7\ — s-JT
LE, on forme les plis passant par le centre 0 et par les divers points ainsi obtenus, on prend enfin sur les rayons OA, OE,..., les longueurs OP, OQ,..., égales entre elles et à OM = OL et on achève sans difficulté la figure.
Découper dans un carré de papier un décagone régulier, un dodécagone régulier. — Les figures (A) et (B) ci-après montrent suffisamment, sans qu'il soit nécessaire d'entrer dans des explications, comment on peut déduire le décagone régulier du pentagone et le dodécagone régulier de l'hexagone.
Fig. 2i3 Fig. ai.'i
Nous donnerons cependant une seconde solution directe pour le décagone.
Prenons le milieu M du côté A13 du carré de papier donné et déterminons sur ce même côté les points X et Y tels que
