LES NOMBRES PYRAMIDAUX A BASE TRIANGULAIRE

Avec les nombres simples de la première ligne de la Table de

Fig. 37.

Le sixième triangulaire.

multiplication, on peut représenter un nombre triangulaire; ainsi Isifig. 3j représente le sixième triangulaire; on peut démontrer encore que le double d'un triangulaire {Jig. 38) est égal

L* Arithmétique en bâtons. 5o

à son rang multiplié par le nombre suivant. Mais l'emploi de nos briquettes nous permet d'obtenir des démonstrations nouvelles qu'il serait plus difficile de figurer avec des boules. Nous commencerons par établir la formule qui permet de calculer la somme des triangulaires à partir de l'unité; c'est aussi le nombre des boulets d'une pile triangulaire. En effet, une telle pile est formée, à la base, de boulets tangents entre eux et dont les cen-

Fig. 38.

Le double triangulaire.

très sont aux sommets de triangles équilatéraux tous égaux; par suite, le nombre des boulets de cette base est représenté par le triangulaire dont le rang est égal au nombre des boulets sur chaque*côté.

Le second étage est formé de boulets placés dans les interstices des boulets de la base inférieure et forme le triangulaire précédent, et ainsi de suite, de telle sorte que l'étage supérieur est formé par un seul boulet représentant le premier triangulaire.

On appelle nombre pyramidal triangulaire le nombre égal à la somme des unités contenues dans tous les triangulaires à partir du premier, qui vaut un, et le rang du pyramidal est égal au rang du dernier des triangulaires dont on a fait la somme. Par suite, il est facile de construire la Table des pyramidaux successifs.

TABLE DES PYRAMIDAUX TRr ANGULAIRES.

Unités I I 1 I 111 I I I ...

Entiers ta 3 4 5 6 7 8 9 10,.,

Triangulaires..... i 3 6 10 i5 ai a8 36 46 55 ... Pyramidaux i 4 10 lo 35 56 84 120 i65 aao ...

La ligne qui correspond aux pyramidaux se calcule par additions successives en ajoutant chaque pyramidal au triangulaire placé au-dessus et à droite dans la colonne suivante; ainsi, par exemple, 165^120-1-45. On peut donc, parce moyen, continuer cette Table aussi loin qu'on le voudra.

Mais comment déterminer directement, sans calculer tous les précédents, un pyramidal triangulaire dont le rang est donné ? Pour cela, nous commencerons par doubler tous les triangulaires, en les remplaçant par des rectangulaires [fig. 38); plaçons-les par étages successifs, ainsi que nous l'avons fait [fig- Sg), nous

Fig. îg.

Le cinquième pyramidal.

obtenons le double pyramidal qui se trouve ainsi adossé à deux des faces OZAY et OZBX d'un parallélépipède [fig. 41). Construisons à côté et dans une même orientation un second double

L'Arithmétique en hdions. 6i

pyramidal' égal au précédent; faisons-le tourner d'un quart de tour autour d'une verticale, dans le sens XCY, puis faisons-le basculer d'un quart de tour autour d'une droite parallèle à CX, nous l'amènerons sur le premier. 1.3. Jig. 40 représente l'accolement de ces doubles pyramidaux; on voit tout de suite que le

Fig. 40.

Le sextuple pyramidal,

vide ZAYC du parallélépipède rectangle peut être rempli par un troisième double pyramidal identique.

On forme donc ainsi une sorte de tas de pavésj dont il est facile de déterminer le nombre des pavés; la hauteur AY est égale au rang du pyramidal; la largeur CX est égale à ce rang augmenté de l'unité, et la longueur ZB est égale à ce rang plus deux ; on a donc cette propriété ;

Le sextuple d'un pyramidal triangulaire est le produit de trois nombres entiers consécutifs et croissants dont le premier est le rang dupyramidal.

Veut-on, par exemple, obtenir le nombre des boulets d'une pile triangulaire dont la base contient 100 boulets sur le côté : il suffit de prendre le \ de 100 X lor X 102, ce qui fait 171700 boulets.

Troisième récréation.

La méthode géométrique pour trouver le volume de la pyramide résulte (fig. 41 ) de l'équivalence des trois pyramides ayant

Fig. 41.

Le parallélépipède.

pour sommet commun le point Z et pour bases respectives les trois rectangles ayant pour sommet commun le point C, à savoir CXOY, CXBD, CDAY.