LA ROTATION ET LA SYMETRIE

Si Ton fait tourner le carré magique [fig, 44) d'un quart de tour autour de son centre^ il reste magique : car les lignes de-

Fig. 45.

La rotation des carrés magiques.

viennent les colonnes, les colonnes deviennent les lignes et les deux diagonales s'échangent l'une dans l'autre. On se rend mieux compte encore de cette propriété en faisant tourner les

Cinquième récréation.

figures. En continuant le mouvement, il en est de même; par suite, la rotation d'un carré magique en donne trois autres. Nous avons représenté {Jig. 45 ) les quatre carrés qui se déduisent les uns des autres par rotation.

Séparons les lignes horizontales de l'un quelconque des quatre

Fig. 46.

fi

La symétrie des carrés magiques.

carrés que nous venons d'obtenir et, au lieu de les supposer dans l'ordre de haut en bas, plaçons-les dans l'ordre de bas en haut, nous obtenons encore (Jig. 46) quatre carrés magiques.

Ainsi tout carré magique donne huit solutions distinctes, parce que tous les nombres du carré sont inégaux entre eux deux à deux. Maison a amplifié la définition des carrés, et, dans cette définition plus générale, on ne suppose pas qu'il soit nécessaire de prendre des nombres consécutifs à partir de un, ni des nombres tous distincts. Nous représentons (Jig. 47) des carrés magiques

Les carrés magiques de Fermât,

contenant plusieurs nombres égaux ; les principes de rotation et de symétrie ne donnent plus que quatre solutions distinctes au lieu de huit.

Enfin, si tous les nombres du carré sont égaux, il n'y a plus

Fig. 47-

fi

Carrés magiques à nombres égaux.

qu'une seule solution ; il est d'ailleurs facile de voir que tout carré de trois donne i , 4 ou 8 solutions, et jamais plus.