DE L ADDITION ET DE LA MULTIPLICATION DES CARRES

Les carrés magiques se prêtent à diverses transformations générales évidentes :

i"" Un carré reste magique si Ton augmente ou si Ton diminue

Les carrés magiques de Fermât, 97

tous les éléments d'une même quantité; en les diminuant de leur moyenne arithmétique, c'esl-à-dîre du quotient de leur somme par leur nombre^ on peut supposer la constante nulle ; oa introduit ainsi des éléments négatifs, mais cet inconvénient est compensé par la simplification des calculs ;

2*» Un carré reste magique lorsque Ton multiplie ou que Ton. divise tous les nombres par une même quantité ;

3<^ En ajoutant les nombres des cases correspondantes de deux carrés magiques, on obtient encore un carré magique ; dans le cas. oti les carrés ne sont pas de même grandeur, mais de même parité, on peut border le plus petit de quatre, huit, douze, . . . rangées en plaçant des zéros ou des nombres égaux dans les cases ajoutées..

Mais ces transformations altèrent, dans le cas général, les éléments du carré; voici une transformation qui conserve les mêmes nombres lorsque ceux-ci sont complémentaires deux à deux, c'està-dire tels que si on les range par ordre de grandeur et si on les-

désigne par

somme des nombres placés à égale distance des extrêmes soit constamment la même. Ainsi, l'on suppose

a H- a' = ^ -h ^' = c -h c' = rf H- rf' = . . . = 5.

En effet, considérons un carré magique quelconque formé avec de tels nombres, et remplaçons l'un par l'autre chaque nombre complémentaire. Les éléments d'une même ligne, d'une même colonne ou d'une même diagonale se trouvent remplacés par leurs compléments, et ainsi

E. Lucas. — Récréations mathém., IV. 7

ç)8 Cinquième récréation.

par

la somme de chaque rangée n'est donc pas altérée.

Nous devons faire observer que cette méthode de transformation, quenous appellerons méthode par complément, nedonne pas toujours de nouveaux carrés; ainsi, en l'appliquant à la Jig. 5o, on retrouve un carré que l'on pourrait obtenir par rotation et par symétrie. On se rendra facilement compte du résultat pour tout carré en joignant par des droites les centres des cases contenant les nombres complémentaires et en regardant si le dessin obtenu est ou n'est pas symétrique par rapport au centre ou aux médianes du carré.

En prenant quatre nombres a, b^ c, d tels que

on dit que ces nombres forment une équidifférencey et lorsque l'on prend au hasard les deux premiers a et b^ on obtient toujours une équidifférence en les augmentant tous deux d'un même nombre quelconque; si l'on augmente maintenant les quatre nombres ^, b, c, d d'une même quantité, on forme une nouvelle équidifférence e^fyg^ h.

Les méthodes de Fermât pour le carré de quatre s'appliquent ainsi à huit nombres a^ b, c, d^ e, f, g-, h formant une double équidifférence, et à huit nombres complémentaires obtenus en retranchant les huit premiers d'un même nombre s.

Les carrés magiques de Fermât.