TRANSFORMATIONS GÉNÉRALES DES CARRÉS

Tout carré pair^ c'est-à-dire celui dont le côté contient un nombre pair de cases, se divise en quatre quartiers par deux lignes médianes; cela posé, on a la proposition suivante : Tout carré pair reste magique, si Von échange simultanément , sans les tourner^ les quartiers opposés. Nous désignerons dans la

Échange des quartiers.

suite les quartiers par les n*»" i, 2, 3, 4 comme dans le carré à gauche {fig. 5i ); en échangeant les quartiers i et 3, 2 et 4, on obtient le carré à droite. On constate immédiatement sur ces deux carrés que les rangées et les deux diagonales conservent les mêmes nombres dans un ordre différent. On démontre de même la proposition suivante : Tout carré impair reste magique si Von échange simultanément, sans les tourner, les quartiers opposés ainsi que les fragments opposés des deux rangées médianes (fig. 52).

Ces transformations ne donnent pas de nouveaux carrés pour le carré de trois; mais, pour celui de quatre, elles en donnent

Cinquième récréation.

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Echanges des quartiers et des médianes.

Les carrés magiques de Fermât. îoi

d'autres que ceux que Ton aurait obtenus par rotation ou par symétrie. On démontre de ipéme l'exactitude de la transformation suivante qui s'applique indistinctement aux carrés pairs et aux carrés impairs : Tout carré reste magique si Von échange deux hori!(ontales, puis deux verticales qui sont toutes les quatre à la même distance du centre. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier cette proposition en construisant la figure.

Si Ton applique cette transformation après l'échange des quartiers opposés^ on obtient encore un nouveau carré ; par suite, tout carré donne, par rechange des rangées ou des quartiers, trois autres carrés magiques. Nous donnons [fig. 53) les quatre carrés que Ton déduit d'un seul carré de quatre par les échanges que nous venons de démontrer.