LES TABLES DE FRENICLE

Les Ouvrages de Frénicle ont été publiés dans un volume imprimé au Louvre en 1693, par les soins du mathématicien de la Hire, et réimprimés dans le tome V des Mémoires de V Académie des Sciences (Paris, 1729). On y trouve la Table générale des Quarre^ de Quatre; cette Table, de 45 pages in-4°, contient les 880 solutions du problème pour tous les carrés faits avec les seize premiers nombres entiers ; en tenant compte de la rotation et de la symétrie, on. obtient donc 7040 carrés différents.

Mais, si Ton se reporte à la théorie des échanges que nous venons d'exposer, on s'aperçoit immédiatement que les Tables de Frénicle peuvent être réduites au quart de leur étendue, et qu'il

I02 Cinquième récréation.

sulfir, pour classer tous les carrés, de supposer que l'un quelconque des seize nombres du carré, le plus petit, par exemple, peut toujours être ramené dans l'une des cases i ou 2 fjig, 48). En effet, d'après le principe de rotation, on peut toujours supposer un nombre quelconque dans le premier quartier, c'est-à-dire sur l'une des cases i , 2, 5, 6 ; en outre, par symétrie, si le nombre choisi est placé sur la case 5, on peut le ramener sur la case 2, et par échange des quartiers, lorsqu'il est placé sur la case 6, on peut le ramener sur la case i ; d'ailleurs, nous montrerons, dans ce qui suit, l'inutilité de cette Table. Cependant on trouve dans le Mémoire de Frénicle quelques propositions générales sur les carrés de quatre; nous en ajouterons quelques autres tirées de nos manuscrits et complétées par M. Delannoy.

SJ»J.

EGALITES A QUATRE BOULES.

Théorème I . — Dans tout carré de quatre, la somme des angles du carré extérieur y celle des angles du petit carré intérieur^ les sommes des angles de chacun des deux rectangles médians sont égales à la constante.

Cette proposition se démontre immédiatement sur chacun des carrés [fig. 54)5 en ajoutant les nombres placés sur les quatre traits pleins et retranchant ceux qui sont placés sur les traits pointillés. On observera d'ailleurs que le second carré se déduit du premier par échange des quartiers opposés, et le quatrième du troisième par rotation.

Ainsi, tout carré de quatre contient quatorze fois la constante

Les carrés magiques de Fermât.

io3

sur des lignes régulières : quatre lignes, quatre colonnes, deux

Fig. 54.

diagonales, deux rectangles médians, le petit carré intérieur et le grand carré extérieur.

Théorème II. — Dans tout carré de quatre, la somme des

quatre boules noires de l'un des carrés [fig, 55 ) égale la somme

des boules blanches du carré opposé par rapport au centre, et

la somme de Vun de ces carrés augmentée du carré adjacent

formé de croix ou de points vaut deux fois la constante.

La seconde partie de cette proposition se démontre en faisant la somme des nombres placés sur les traits pleins ou sur les traits pointillés, et la première partie en retranchant ces deux sommes Tune de l'autre. Nous désignerons sous le nom de carrés de trois

Cinquième récréation.

-chacun des quatre carrés formés de boules noires ou blanches, de croix ou de points dans la partie droite (Jig. 55 ). On observera,

Fig. 55.

• if' • ^

<i'ailleurs, quece carré se déduit du précédent par échange si m ul- <ané des quatre rangées intérieures.

EGALITES A DEUX BOULES.

Théorème III. — Dans tout carré de quatre, la somme des

Fig. 56.

extrémités d'une rangée extérieure égale la somme des nombres

Les carrés magiques de Fermât.

io5

intérieurs de la rangée extérieure opposée; la somme des extrémités d'une rangée intérieure égale la somme des nombres intérieurs de la rangée voisine^ et la somme des extrémités d!une diagonale égale la somme des nombres intérieurs de Vautre diagonale [fig* 56).

Pour démontrer cette proposition, on ajoute les nombres contenus sur les trois traits pleins et Ton retranche les nombres situés sur les trois traits pointillés. On observera de plus que le troisième carré se déduit du précédent par l'échange des quartiers opposés.

Celte égalité entre deux boules noires et deux boules blanches

Fig. 57.

Fig.

Fig. 59.

^Të

donne lieu, par rotation et par symétrie, à dix équations homogènes qui remplacent avantageusement les dix équations de la définition des carrés magiques de quatre. En effet, l'ensemble des quatre boules forme un grand trapèze [fig, Sy), un petit trapèze [fig. 58) ou un losange [fig. 59). Par conséquent, si l'on ajoute les boules blanches de l'un des grands trapèzes [fig. 5j) aux boules noires de l'autre, on constate l'égalité des lignes extérieures; en ajoutant les boules de même couleur de chacun d'eux, on en déduit l'égalité des lignes extérieures au grand

io6 Cinquième récréation.

carré extérieur, et à l'un des rectangles moyens; puis, par rotation, on en déduit que les lignes extérieures, les colonnes extérieures, le grand carré et les deux rectangles médians ont la même somme. En considérant les deux petits trapèzes {/ig. 58), on conclut Tégalité des lignes intérieures, des colonnes intérieures, du petit carré intérieur et des deux rectangles moyens. En considérant les deux losanges {Jig. 59), on conclut Tégalité des diagonales, du carré intérieur, du carré extérieur; donc, en rassemblant les résultats de ces trois figures, le carré est magique.

Corollaire I. — Pour former un carré avec seize nombres pris au hasard, il faut qu'en prenant les sommes de toutes les combinaisons des nombres deux à deux, on trouve dix sommes de deux nombres égales à dix sommes de deux autres nombres.

Corollaire II. — Si, parmi les seize nombres donnés, il en existe un seul plus petit que tous les autres, un seul plus grand que tous les autres, ces deux nombres ne peuvent occuper en même temps, l'un la place d'une boule noire, l'autre la place d'une boule blanche pour les dix positions qui correspondent à chacun des huit trapèzes ou des deux losanges à^s Jig. 56, 57, 58 et 59; car, sans cela, le théorème III ne serait pas vérifié.

Corollaire III. — Si, parmi les nombres donnés, il en existe deux plus petits ou deux plus grands que tous les autres, ces deux nombres ne peuvent occuper en même temps les places de deux boules noires ou de deux boules blanches pour les dix positions que nous venons de considérer.

Les carrés magique» de Fermai.