DES CARRÉS

Lorsque la somme des angles de l'un des qu^tiers est égale à la constante, il en est de même des trois autres, ainsi que cela résulte immédiatement du théorème 1 1 ; on dit alors que le carré est à quartiers égaux {fig. 60]. On a ainsi cinq petits carrés ombrés dont la somme est égale à la constante. Ces carrés possèdent plusieurs propriétés qui viennent s'ajouter aur précé-

Fîg, 60.

Fig. 61.

Fig. 62.

dentés, et permettent de trouver, de vingt-quatre manières différentes, quatre nombres placés régulièrement dont la somme est toujours égale à la constante.

En effet, si l'onajoute deux quartiers opposés et si l'on retranche la diagonale commune, on voit immédiatement que la somme des boules noires du rectangle à\sgona\ IJîg. 61) égale la constante; réciproquement, si la somme des quatre boules de ce rectangle est égale à la constante, les quartiers sont égaux.

D'autre part, si l'on remplace les quartiers opposés [fig. 61} par les carrés de trois [fig. 62), on démontre encore que, si l'un des carrés est égal à la constante, il en est de même de tous les

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Cinquième récréation.

autres et d'un rectangle diagonal, et réciproquement. Ainsi donc, dans tout carré de quatre, lorsque Tun des quartiers, l'un des carrés de trois ou Tun des rectangles des^^. 6i, 62 est égal à la constante, il en est de même des neuf autres. Voici quatre autres propriétés des carrés à quartiers égaux sur

Fig. 63.

Fig. 65.

Fig. 64.

Fig. 66.

les égalités à somme variable entre vingt-quatre groupes de deux boules noires et de deux boules blanches correspondantes. Elles sont indiquées sur les^^. 63, 64, 65, 66.

Ces propriétés se démontrent immédiatement en ajoutant les nombres situés aux angles de l'un des carrés oîi se trouvent deux boules noires et en retranchant la diagonale ou la ligne repré-

Les carrés magiques de Fermât,

sentée en traits pointillés ; ces figures se transforment les unes dans les autres par échange simultané des quartiers ou des rangées intérieures.

Les deux propositions qui correspondent aux fig, 63 et 64 m'ont été indiquées par M. Delannoy, les deux autres figures sont tirées des manuscrits de Fermât.

On a encore une autre égalité entre deux boules blanches et

Fig. 67.

deux boules noires ifig-^j)', on la démontre en ajoutant les boules du rectangle diagonal représenté en traits pleins et en retranchant celles du rectangle médian figuré en traits pointillés; les quatre boules sont aux sommets d'un carré. Nous verrons plus loin que, dans le cas général, il ne saurait exister d'autres égalités de ce genre.