LA TABLE D ADDITION

Ainsi que nous l'avons vu*, il résulte des considérations de rotation et de symétrie, et des deux premiers échanges par rangées ou par quartiers, que l'on peut toujours supposer l'un des nombres

IIO

Cinquième récréation.

quelconques du carré dans le premier quartier sur Tune des cases I ou 2 : ces remarques s'appliquent à tous les carrés et donnent lieu à leur classification naturelle (^). Pour dresser une Table des carrés de quatre, il suffit donc de ne considérer que ceux qui ont le plus petit nombre sur la case i ou sur la case 2. Mais, ppur les carrés à quartiers égaux, cette Table devient inutile, puisque

Fig. 68.

Oy

b \ C' \ eU

ap

hp \ep ^dp

6q \ c/f \ dq

ar

br * Cf \ dr

as

bs \ os \ df

Ton peut les déduire tous des transformations régulières d'une Tàb le (ï addition .

Formons avec quatre nombres quelconques a, b, c, d^ et quatre autres nombres quelconques ;;, q^ r, 5, une Table d'addition^ comme celle de Pythagore pour la multiplication, mais en adoptant cette notation que ap, par exemple, signifie la somme et non le produit de a et j? (Jîg. 68).

Si Ton échange deux lignes ou deux colonnes quelconques, les seize nombres de la Table changent de place mais non de valeur ;

(') D'après une remarque de M. Delannoy, Frénicle aurait rangé la Table des carrés suivant la grandeur du nombre se trouvant sur la case i, et pour les carrés ayant le même nombre dans cette case, d'après le nombre situé sur la case 6 (contiguô en diagonale).

Les carrés magiques de Fermât. 1 1 1

il ea est de même si l'on remplace les lignes par les colonnes, ou inversement; on obtient de cette façon 2 (1.2.3.4)' ou 1 152 Tables d'addition distinctes, si les seize nombres de la Table sont différents; d'ailleurs, il ne peut y avoir d'autres solutions si les nombres donnés sont arbitraires, puisque l'on peut supposer que p, q^ r, 5 et ^, b, c, d représentent des nombres mesurés par pes unités d'espèces différentes.

Ainsi donc, toute Table d'addition de 16 nombres donne 1 1 52 Tables distinctes dans le cas général ; mais on doit diviser ce nombre par 8 et le ramener à 144 si Ton ne considère pas comme différentes les sept Tables déduites d'une première par rotation ou par symétrie.

Ces Tables jouissent de propriétés remarquables ; on observera d abord que la somme des termes de chacune des diagonales reste constante et égale à

plus généralement, si l'on prend quatre termes de telle sorte qu'il n y en ait pas deux dans une même ligne ou dans une même colonne, la somnie des termes reste constamment la même et égale à la précédente. D'ailleurs, le nombre de ces groupes de quatre termes est évidemment égal au nombre des permutations I. 2. 3. 4 des quatre premiers nombres, comme dans le problème des quatre tours sur l'échiquier de quatre cases de côté.

De plus, si Ton considère quatre nombres placés aux sommets d'un carré ou d'un rectangle quelconque de la Table, on reconnaît immédiatement que la somme des nombres d'une diagonale égale la somme des nombres de l'autre diagonale ; on a ainsi trente-

1X2 Cinquième récréation.

SIX égalités à deux boules et pas plus, dans le cas général. On a donc le théorème suivant :

Toute Table générale d'addition de sei:{e nombres donne II 52 Tables distinctes; elle renferme toujours vingt-quatre sommes de quatre nombres égales à la constante^ et trente-six égalités de sommes variables entre deux groupes de deux nombres.

On a évidemment un théorème semblable pour une Table de multiplication, en remplaçant les sommes par des produits.