SOLUTIONS DE MM. JOLIVALD ET TARRY
Au Congrès de V Association française pour V avancement des Sciences^ tenu à Nancy en 1886, M. G. Tarry, contrôleur des contributions diverses, aujourd'hui sous-directeur à Alger, a pré-, sente un Mémoire fort intéressant qui venait confirmer de nouveau les résultats obtenus par le docteur Reiss et l'abbé Jolivald. La simplicité de la méthode employée, qui repose sur la remarque précédente, et la rapidité du procédé permettent d'appliquer ce mode de recherches à un grand nombre d'autres questions de la Géométrie de situation. M. Tarry et M. l'abbé Jolivald ont appliqué la même méthode, chacun de leur côté^ à la recherche du nombre des dispositions rectilignes des dés d'un jeu de dominos allant jusqu'au double huit. En d'autres termes, ils ont trouvé le nombre des circuits formés par les côtés et les diagonales (non fragmentées) d'un ennéagone régulier; ce nombre est le suivant:
La décomposition de ce nombre en facteurs donne
La méthode de M. Tarry constitue donc un très grand progrès dans l'étude des questions de ce genre. Mais, si Ton tient compte de la décomposition en facteurs pour le nombre précédent et pour celui de Reiss, on doit penser que Ton finira bien par trouver des méthodes encore plus expéditives.
La Géométrie des réseaux et le problème des dominos, 129
Avant d'exposer cette méthode, nous placerons ici quelques considérations générales sur plusieurs problèmes de la Géométrie de situation ;• ces problèmes se rapportent directement à TArithmétique, car leur solution dépend de la théorie des combinaisons.
LES RÉSEAUX GEOMETRIQUES.
Un réseau géométrique est le système formé par des points A, B, C, ..., disposés d'une manière quelconque dans le plan ou dans Tespace et reliés entre eux par une ou plusieurs lignes droitesou courbes que Ton appelle chemins. Les points A, B, C, . . . sont appelés carrefours; un carrefour est dit pair ou impair, suivant que le nombre des chemins qui y aboutissent est pair ou impair. Un réseau est continu quand un mobile placé sur Tun des chemins ou l'un des carrefours peut se rendre à un autre point quelconque sans quitter les chemins.
Cela posé, on a le théorème suivant, dû à Euler, dont nous avons déjà donné une démonstration moins simple [Récréations mathématiques, t. I, p. 238). Lorsqu'un réseau renferme des carrefours impairs, ceux-ci sont en nombre pair. En effet, si l'on compte le nombre de tous les chemins qui aboutissent à chacun des carrefours, la somme de tous les nombres obtenus est un nombre pair, puisque chaque '.chemin a été compté deux fois. Cette somme étant un nombre pair, il faut nécessairement que, parmi les nombres entiers qui l'ont fournie, ceux qui sont impairs soient en nombre pair.
E. Lucas. — Récréations mathém., IV. 9
i'3o Sixième récréation.
Nous croyons intéressant de donner quelques exercices relatifs aux réseaux géométriques.
Exercice I. — Calculer le nombre des sauts du cavalier des échecs sur un échiquier rectangulaire formé de p lignes et de q colonnes.
On peut passer de Tune des (q — i) premières colonnes à la colonne suivante par [p — 2) sauts descendants et par le même nombre de sauts ascendants ; on a donc
sauts, et un nombre égal en chevauchant de la droite vers la gauche.
De même, en passant à la ligne précédente ou à la suivante, il y a un nombre de sauts égal au double de
Donc, le nombre des sauts du cavalier sur V échiquier rectangulaire de pq cases, en comptant V aller et le retour, est égal au double de
Plus généralement, si le saut du cavalier se compose de r pas dans un sens et de s pas dans l'autre, en supposant r et 5 plus petits que p et q^ le nombre des sauts du cavalier, en comptant l'aller et le retour, est le double de l'expression
[zp — r — s) [2q — r — s) — (r — 5)-;
cependant, on doit diviser ce nombre par 2, lorsque Tun des nombres r, s, ou (r — s) est nul.
La Géométrie dei réseaux et le problème des dominos. i3i
On calcule le nombre des pas du roi en considérant celui-ci comme l'ensemble de deux cavaliers dont l'un des pas est i et
l'autre o ou i. On trouve ainsi le double de
