di -h 2 dj H- ... -\-p(ip -h

On peut démontrer directement cette formule en observant que de chaque point de concours de p droites partent 2p segments, et que pour toute direction de p droites parallèles, il y a 2 p segments indéfinis; d'ailleurs^ ces segments sont tous comptés deux fois. Si Ton calcule F^ on trouve la relation

(5) S-hF = A-hi,

que Ton peut vérifier a posteriori. Enfin, si^p est le nombre des régions kp lignes de contour, on a les deux formules

(7) 2 A =r./, 4- 2/2 4- . . . -^pfp 4-

Exercice i. — Considérons q points tels que trois d'entre eux ne soient E. Lucas. —Récréations mathém., IV. 1 1

102 Septième récréation.

pas en ligne droite, et que quatre d'entre eux soient sur deux droites parallèles. Les droites qui les joignent se rencontrent en 3 C^ nouveaux points; le nombre des segments finis et infinis sur chaque droite est égal à C| , + 3 ; le nombre total des segments est

A = C^ Qtg j -h 3 G^,

d'où l'on tire, par la formule (5),

c'est-à-dire

Autrement, — Le nombre des lignes de jonction étant » = C|, le nombre des régions est

F - I -f-» -4- CJ -^ [ I - (^- I ) -f- CJ , ].

parce que les droites se coupent au nombre de ^ — x en q points; on retrouve, après simplification, Texpression précédente.

ExERcicB a. — Un système de n cercles partage le plan en n (n — i ) + 2 régions au plus, dont une seule est illimitée.

Exercice 3. — Si l'on trace dans un plan n systèmes de cercles concentriques contenant respectivement c,, c,, c„ ..., Cn circonférences, le plan sera partagé en x 4- 2 Ic^c, régions, au plus, dont une seule est illimitée.

Exercice 4. — Si Ton trace dans un plan n systèmes de cercles concentriques et m systèmes de parallèles en nombre a,, tf„ . . ., am, et si Ton fait

A = ïtf„ A' = £c„

B = 2a.^„ B' = ïc,f.,

le plan sera partagé au plus eu