I -+- Ah- B-h-2AA'H-2B

régions, dont 2B au plus sont illimitées.

Si Ton ajoute b droites et d circonférences quelconques, le nombre précédent augmente de C' H- 2 Cj.

Les trois théorèmes précédents sont dus à Steiner.

(tdB

La Géométrie des régions, i63

LES POLYEDRES.

Nous commencerons par démontrer le théorème suivant (*) : Dans tout polyèdre convexe^ le nombre des arêtes augmenté de deux est égal au nombre des faces augmenté du nombre des sommets. En d'autres termes, si l'on désigne respectivement par A, F, S les nombres des arêtes, des faces et des sommets du polyèdre, on a l'égalité

Considérons d'abord une surface polyédrale convexe ouverte, terminée à une ligne brisée plane ou gauche. Si l'on conserve les notations précédentes, les éléments de cette surface vérifieront la

relation

F-f-Si=A4- I.

En effet, cette formule est exacte dans le cas d'une seule face; car, pour un polygone, F = i et S = A. Il suffit donc de prouver que la formule étant vérifiée pour un certain nombre F de faces, Test encore pour une face en plus. Pour cela, modifions la ligne brisée qui termine la surface polyédrale, en ajoutant à cette surface un polygone ayant m côtés et m sommets. Cette nouvelle face laisse encore la surface ouverte, et son contour ne pourra coïncider entièrement avec celui de la ligne terminale primitive ; si elle touche cette ligne par p arêtes communes, elle aura avec

(*) Ce remarquable théorème est habituellement attribué à Euler {Novi comm. Petrop,, 1732]; on le trouve dans les Œuvres inédites de Descartes, publiées par M. Foucher de Careil (t. II, p. 214; Paris, 1860}. La démonstration que nous donnons ici est due à Cauchy.

164 Septième récréation.

elle (p-h i) sommets communs. En désignant par A', F', S' le nombre des arêtes^ des faces et des sommets de la nouvelle surface polyédrale, on aura donc

F' = F-+-i, S'=:S-Hm— (/?-Hi) A'i=A + m— /7,

et par suite

Et ainsi de suite, tant qu'on ne fermera pas le polyèdre.

Cela posé, revenons au cas d*un polyèdre convexe ; pour obtenir une surface polyédrale, il suffit d*enlever une face, ce qui ne modifie pas le nombre des sommets et des arêtes ; donc la relation proposée est vérifiée.

Si l'on désigne par/j, le nombre des faces à p arêtes, par Sp le nombre des sommets des angles polyèdres à p arêtes, on a les formules

O ^— u j "T" 04 ~T~ • . . ~T" Sp ~T* • . • ^

2 A ~ 3/, 4- 4/4 4- . . . -hpfp 4- . . . ,

2S = 3^, 4- 4^4 4- . . . -^pSp 4- ... ; on en déduit facilement

Si Ton conçoit la surface d'un polyèdre convexe décomposée en plusieurs portions, chaque portion étant une face seule, le théorème de Descartes a lieu entre le nombre des portions dont il s'agit, et l'on retrouve les théorèmes sur les réseaux géométriques.

La Géométrie des régions. i65

KxERCicB I. — Il n*existe aucun polyèdre convexe qui ne renferme au

moins une face triangulaire ou un angle trièdre. -— On a, en effet, la

formule

Exercice 2. — Il n*existe aucun polyèdre convexe dont toutes les faces aient plus de cinq côtés ou dont tous les angles polyèdres aient plus de cinq arêtes.

Exercice 3. — L*angle droit étant pris pour unité, la somme des angles de toutes les faces d'un polyèdre convexe est égale à quatre fois le nombre des sommets diminué de deux.

Exercice 4. — Trouver le nombre des diagonales d'un polyèdre convexe.

— Si Ton pose

M = 1.3./, -h 2. 4./^ -H 3. 5/, H- ... , et si Ton désigne par D le nombre des diagonales, on a

8Dr=(L-+-2)(L-f-4) — 4M.

Exercice 5. — Le nombre des régions formées par n plans quelconques, tels que trois d'entre eux ne soient pas parallèles à une même droite et que quatre ne passent pas par un même point, est

et les régions fermées sont en nombre C^j.

Exercice 6. — Trouver le nombre des régions limitées par des systèmes de plans parallèles. — Si Ton désigne par/?,,/?,, ...,/?/» les nombres des plans parallèles dans chaque système, par A, B, C leur somme, la somme de leurs produits deux à deux, la somme de leurs produits trois à trois, le nombre des régions est i + A -(- B + C, dont 2 B + 2 sont sans bornes, et les autres forment des solides.

Exercice 7. — Des systèmes de plans parallèles et m plans quelconques partagent l'espace en un nombre de régions qui ne surpasse pas

i-H A + B -f- C + ACJ,^ j H- Bm -H C«„ -h C;, -4- CJ, ;

les régions incomplètement bornées sont en nombre