LES SURFACES SIMPLES

Cette méthode de coloriage peut s'appliquera la représentation d'une surface, de forme quelconque, divisée en districts; cependant nous bornerons notre étude au plan et à la sphère, et plus généralement au cas des surfaces simples. Si l'on trace sur le plan ou sur la sphère un circuit fermé de forme quelconque^ celui-ci divise la surface en deux régions telles qu'on ne peut aller d'un point de Tune à un point de l'autre, en cheminant sur la surface, sans traveriser la ligne fermée. Il n'en est pas toujours ainsi, et, par exemple, pour la surface d'un anneau, del'anneau de Saturne, etc. En Géométrie, la surface de l'anneau se nomme tore; de même que la surface de la sphère est engendrée par la révolution d'une circonférence autour de son diamètre, on engendre la surface de l'anneau en faisant tourner une circonférence (ou une ellipse) autour d*une droite extérieure située dans son plan.

170 Septième récréation.

SUR l'anneau de SATURNE.

Le tore n'est pas une surface simple; en effet, si Ton trace sur la surface soit la circonférence génératrice dans Tune de ses positions, soit le parallèle engendré par un point de cette circonférence, Tune de ces deux lignes fermées ne divise pas la surface. Il est, en effet, facile de reconnaître que l'on peut aller d'un point quelconque de celle-ci à un autre point quelconque, sans rencontrer Tune ou Tautre de ces deux lignes. Bien plus, ces deux lignes prises simultanément ne forment pas de régions. Cependant deux positions de la circonférence génératrice, ou deux parallèles, divisent Tanneau en deux régions, tandis que deux circuits fermés, sur le plan ou sur la sphère, les divisent en trois ou quatre régions, au moins (^).

Considérons maintenant une surface ou une portion de surface simple, divisée en districts d'une manière arbitraire ; recouvrons au hasard, d'une première couleur, autant de districts non adjacents que nous pourrons; puis, passons à une autre couleur pour recouvrir d'autres districts non adjacents, et ainsi de suite. En procédant ainsi, il faudrait un assez grand nombre de couleurs pour colorier la carte; maïs, avec un peu d'attention, on peur réduire le nombre de celles-ci. D'ailleurs, il est évident que le système de coloriage sera d'autant plus économique que l'on emploiera le moins grand nombre de couleurs, tant à cause de la diversité des couleurs que de la répétition du tirage pour l'impression d'une même carte.

(^} On peut diviser Ii surface de l'anneau de Saturne en six régions toutes adjacentes, de telle sorte qu*il faudrait au moins six couleurs pour les distin:;uer les unes des autres.

La Géométrie des régions. 1 7 i