DEVELOPPEMENT DE LA CARTE

Maintenant, renversons le procédé, et enlevons les pièces dans l'ordre inverse de leur placement, c'est-à-dire ôtons d'abord celle qui a été placée la dernière, puis celle qui a été placée l'avantdernière, et ainsi de suite; à mesure que nous enlevons une pièce, nous découvrons un district, et la carte se trouvera développée par degrés successifs. Désignons, à une phase quelconque du développement, par F le nombre des districts, par A le nombre des lignes de démarcation, par S le nombredes points de concours de la carte, et par les mêmes lettres accentuées les nombres qu'on obtient en ôtant la pièce suivante :

j° Si la pièce enlevée ne possède ni ligne de démarcation ni

Fig. i3i

Fig. i32.

point de concours, c'est-à-dire si Ton a découvert une île, on a évidemment

S'=S, F'i=F-+-i, A' = A-hi.

2° Si la pièce enlevée n'a pas de point de concours, mais une ligne unique, c'est-à-dire si l'on a découvert une péninsule i/ig. 126) ou un district avec deux lignes de démarcation, comme dans la fig, i3i, on a, dans le premier cas,

S' = S-hI, F'=:F-4-I, A' = A-+-2,

La Géométrie des réfçions. i8i

et, dans le second, en supposant distinctes les lignes de démarcation de part et d'autre du district \Jig. 1 3 1 )

y Si la pièce enlevée possède un point de concours où aboutissent X lignes de démarcation et si le district découvert après l'enlèvement de la pièce a {a lignes de démarcation, on a

S'=^S-+-jx— I, F'=Fh-i, A' — K-\-[x,

Dans chacun de ces trois cas, on déduit facilement

4° Si la pièce enlevée n'a pas de point de concours, mais une ligne unique faisant partie de la ligne de démarcation d'un district-île sur la carte garnie de pièces, de telle sorte qu'après l'enlèvement de la pièce on découvre une des formes des Jîg, 1 18 et 1 32, nous avons, dans le premier cas,

S' = S-f-i, P=F-hi, A' — A-f-i; et, dans le second,

S'=:S-f-2, F'riiF-f-I, A'--A-h2.-

Par suite, dans l'un ou l'autre de ces deux cas,

i82 Septième récréation.