GENERALISATION DU THÉORÈME DE DESCARTES

Nous appellerons contour un assemblage de lignes de démarcation telles que deux quelconi^ues d'entre elles sont réunies, soit directement, soit par d'autres lignes du même contour, mais ne se rattachent sur la carte à aucune autre ligne de démarcation; le contour sera simple ou complexe, suivant qu'il se composera d'une ou de plusieurs lignes de démarcation. Chaque contour peut être considéré comme formant une carte partielle isolée sur la carte, et que Ton peut colorier conformément à la condition imposée. Par le procédé de M. Kempe, nous arriverons nécessairement, en garnissant la carte de pièces, à Tune des formes Atsfig. 1 32 et 1 1^, puis à une île; enfin celle-ci disparaîtra. Dans la marche inverse, on a, à la première phase du développement,

S== o, Fi= I, A = 0, et, par suite

à la deuxième phase, d'après la relation [a],

[1] Sh-F — A — 1=0;

à la troisième phase, d'après la relation [^],

et à chacune des phases suivantes, d'après la relation [a],

Dans le cas d'une carte formée seulement d'un contour simple,

La Geaméirie des réf;ioiis. \^'i

la première et ta deuxième phase existent, et la relation [i] a lieu. Mais si ta carte se compose de C contours complexes, on a la relation

c'est-à-dire que, dans toute carie tracée sur une surface simple, la somme des nombres des points de concours et des districts surpasse de l'unité la somme des nombres des lignes frontières et des contours complexes.

THIiOKF.UE DE EEMPt:.

Désignons, à une phase quelconque du développement, par /t,Ji, /i< ■■•■, le nombre des districts qui ont r, 2, 3, ... lignes de démarcation, par Sj, Si, s». ■-, le nombre des points de concours où aboutissent 3, 3, 4, ... lignes de démarcation, nous aurons

S — 5, -(- ij -V- Si -H ...,

et, puisque chaque ligne de démarcation appartient à deux dis trtcis,

D'autre part, puisque chaque ligne de démarcation aboutit â deux points de concours, excepté dans le cas desîles qui n'ont pas de point de concours, et des péninsules qui n'en ont qu'un, on

184 Septième récréation.

aura, en désignant par (Xq le nombre des îles et par (Xj le nombre des péninsules (*),

2 A =1 2 [jLo -f- {i-i 4- 2 ^2 H- 3 53 -f- .. . ; mais la relation [3] prend la forme

on a donc

Les cinq premiers termes de la relation précédente sont seuls positifs; par suite, l'une au moins des quantités yj, yi,yi, Jl, /& ne peut être nulle ; par conséquent, dans toute carte tracée sur une sufface simple, il existe au moins un district ayant moins de six frontières.