LES PIECES AUXILIAIRES

Nous observerons maintenant qu'un point de concours où aboutissent plus de trois lignes de démarcation peut être remplacé par un certain nombre de points de concours où se rencontrent trois lignes au plus; en effet, fixons sur ce point de concours une petite pièce circulaire entourée d'une petite circonférence dont on supprime les parties qui forment les lignes de démarcation entre cette pièce et Tun quelconque des districts adjacents.

(M Un point de concours où aboutissent deux lignes de démarcation compte pour I dans y, et pour 2 dans (i,.

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Le nombre des districts de la carte n'est pas modifié par celte pièce, que nous appellerons yièce auxiliaire, puisque celle-ci doit être considérée comme une extension deTun des districts.

Cela posé, on commence tout d'abord par modifier la carte, en plaçant des pièces auxiliaires sur tous les points de concours oîi se réunissent plus de trois lignes de démarcation; puis on garnit de pièces la carte modifiée, en couvrant toujours un district ayant moins de six frontières, et fixant une pièce auxiliaire sur chaque point de concours où aboutissent quatre ou cinq lignes de démarcation. Dans ce procédé, il n'y aura pas de nouveaux points de concours ayant plus de cinq lignes de démarcation, et deux pièces auxiliaires ne seront jamais placées l'une sur l'autre, après que le premier district aura été recouvert.

PRATIQUE DU COLORIAGlî.

Nous arriverons donc à une carte n'ayant plus qu'un seul district, sans aucune ligne de démarcation, que nous recouvrirons de Tune quelconque des quatre couleurs. Puis, en développant la carie dans l'ordre inverse, en tenant compte des pièces auxiliaires, on peint chaque district à mesure qu'il est découvert. Supposons qu'à une phase quelconque du développement, la carte ait été coloriée avec quatre couleurs seulement. Enôtantla pièce suivante, on doit considérer deux cas : i<* si l'on enlève une pièce ordinaire,, on découvrira un district sans aucune ligne de démarcation, ou ayant une ligne, et pas de point de concours, ou présentant un point de concours auquel aboutissent au plus trois lignes de dé-

i86 Septième récréation.

marcation; donc, ce district sera entouré au plus de trois autres, et l'une au moins des quatre couleurs servira à le colorier; 2® si Ton enlève une pièce auxiliaire, on découvrira un point de concours auquel aboutissent quatre ou cinq lignes de démarcation, et pas plus de cinq districts. Les couleurs de ces districts seront prolongées sur leurs portions découvertes, jusqu'au point de concours, et Ton pourra réduire le nombre des couleurs à trois seulement par le procédé que nous avons indiqué plus haut. En ôtant la pièce suivante, celle sur laquelle est le point de concours que l'on avait garni de la pièce auxiliaire, on découvrira un district ayant quatre ou cinq lignes de démarcation, et entouré au plus de cinq districts à deux ou trois couleurs; il reste donc une couleur à notre disposition pour le district découvert. Ainsi, à une phase quelconque du développement, la carte est toujours coloriée en quatre couleurs au plus. C. Q. F. D.

Avant de colorier la carte, on a le soin de désigner les couleurs, au crayon, par les chiffres 1,2, 3, 4; car on doit à certains moments changer le coloriage.

On peut encore démontrer que Von peut colorier une carte en s' imposant la condition de n'avoir que trois couleurs au plus, à chaque point de concours. En effet, fixons en chacun de ces points une petite pièce circulaire ; nous avons ainsi une nouvelle carte dans laquelle ces petites pièces jouent le rôle de districts ; colorions alors toute la carte, puis enlevons les petites pièces, en complétant le coloriage des parties enlevées. Puisque trois couleurs, au plus, entouraient chaque pièce, il n'y en aura pas plus de trois çn chaque point de concours.

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