I. ABCDEFLGHIJKA

Cela posé, pour obtenir une seconde disposition, nous ferons tourner l'aiguille d'une division et nous obtiendrons la ronde

IL AGEBGDLIFKHJA.

Pour obtenir les trois autres rondes, nous ferons encore avancer trois fois l'aiguille d'une seule division.

Il est facile de voir que les rondes sont toutes distinctes. Quant aux lettres qui ne sont jamais voisines, ce sont les deux lettres A et L piace'es sur les deux diamètres, et, en plus, les couples de lettres diamétralement opposées. Dans le cas général, si le nombre des enfants est 2n, le nombre des rondes distinctes est n — I.

Des enfatits en nombre pair se tiennent par la main et dansent une ronde ; comment faut-il les disposer dans leurs rondes successipes de telle sorte que chacun d'eux soit deux fois voisin de l'un d'^ entre eux. et une seule fois voisin de tous les autres?

Supposons les enfants au nombre de dix, et désignons-les par les lettres B, G, D, E, F, G, H , I , J, K. Divisons la circonférence en dix parties égales, et formons lo. fig. 84 (^); si l'on opère comme dans les problèmes précédents, par le mouvement de l'aiguille, on obtiendra cinq rondes successives, qui ne diffèrent des cinq rondes du premier problème de cette récréation que par la suppression de la lettre A. Deux lettres diamétralement opposées sont deux fois voisines, puisqu'il y a deux diamètres dans l'aiguille; mais deux lettres non diamétralement opposées ne le £ont qu'une seule fois, puisque les orientations de l'aiguille sont

(') Pour le problème actuel, il ne faut pas tenir compte des lettres A et L dans la iig. 84.

Sixième récréation.

toutes différentes. Dans ie cas général, si le nombre des enfants est pair, le nombre des rondes distinctes en est la moitié.

mg^^

LES RONDES ALTERNEES.

Des jeunes garçons et des jeunes filles dansent une ronde en se donnant la main ; on demande comment on doit effectuer les

Fi g. 86.

rondes successives de telle sorte que chacun des garçons soit voisin^une seule foîs^ de chacune des jeunes filles, et que chaque jeune fille soit voisine une seule fois de tous les garçons?

Les jeux de demoiselles. 169

Désignons les garçons, en nombre n , par les lettres de Falphaber, et les jeunes filles, en nombre égal, par les lettres grecques correspondantes. On observera tout d'abord que chacun des n garçons devant être voisin de chacune des jeunes filles, il y a 71- voisinages à réaliser; mais chacune des rondes donne lieu 'd 2 71 voisinages; donc le nombre total des rondes doit être égal au quotient de rv^ par 2/7, c'est-à-dire à \n. Par conséquent, pour que le problème soit possible, il faut que les garçons soient en nombre pair.

Cela posé, divisons la circonférence en w parties égales^ et joignons les points de division de deux en deux ; les lignes de jonction forment deux polygones réguliers de jw côtés. Plaçons les garçons aux points de division sur la circonférence en A, B, C, D,... [fig. 86), et plaçons les jeunes filles en a, p, y, 0,... Nous considérerons, pour la première ronde, en suivant les contours de Tétoile, le cycle

AaBSCyDûEeFcp.

Pour obtenir une deuxième ronde alternée, nous ferons tourner l'étoile, comme une aiguille, de deux divisions ; si les lettres grecques qui représentent les jeunes filles sont emportées dans le mouvement de l'aiguille, pendant que les garçons restent immobiles, Mademoiselle a, qui se trouvait d'abord entre Messieurs A et B, se trouvera ensuite entre Messieurs C et D, et si l'on fait tourner successivement l'aiguille de deux divisions, chaque rotation élémentaire lui donne deux nouveaux voisins; après ^n rotations, elle se retrouve dans la position primitive, après avoir été voisine, une seule fois, de tous les garçons.

Lorsque le nombre des garçons est impair, on opère de même, mais en faisant tourner l'aiguille d'une seule division; alors

lyo Sixième récréation.

chacune des jeunes filles se trouve deux fois voisine de tous les garçons, une fois à droite et une fois à gauche.