LES FILES INDIENNES

Des enfants se promènent Viin derrière Vautre suivant une file rectiligne; on demande comment il faut disposer les files

I7'3 Sixième récréation.

successives de telle sorte que chacun des enfants se trouve une fois, et une seule, voisin de tous les autres.

Désignons par « le nombre des enfants; nous observerons tout d'abord que chacun des enfants devant être voisin de tous les autres, il j 2i\n(n — i) voisinages à réaliser; c'est le nombre des combinaisons de ?2 objets pris deux à deux; mais chacune des tiles donne lieu à;2 — i voisinages ; par conséquent, le nombre des files possibles est égal à \n. Donc, pour que le problème soit résoluble, il faut que le nombre des entants soit pair.

Pour obtenir les files, on ajoute une lettre supplémentaire aux lettres qui désignent les enfants ; on forme toutes les rondes impaires des n -h I lettres; cela fait, on ouvre la ronde à l'endroit delà lettre supplémentaire introduite, et l'on supprime cette lettre. On obtient ainsi toutes les permutations rectilignes demandées par l'énoncé.

Remarque. — Chacun des enfants se trouvera isolé une seule fois, au commencement ou à la fin de la file indienne. On double le nombre des files, en les formant en sens inverse ; mais alors, chacun des enfants se trouve voisin deux fois de tous les autres, une fois en avant, et une tois en arriére.