LES TRIADES DES NEUF MUSES

Les neuf muses étant groupées trois par trois, on demande comment il faut disposer leurs réunions de telle sorte que chacune d'acnés se trouve successivement dans une triade avec toutes les autres, mais ne puisse s'y trouver qiûune seule fois.

Nous observerons tout d'abord que dans chaque réunion complète, une muse a deux compagnes ; mais puisque deux muscs ne peuvent être ensemble plus d'une fois dans une même triade, le nombre des réunions doit être égal à quatre. Il reste à faire voir que le problème est possible. Pour cela, nous désignerons l'une quelconque des muses, Polymnie, par exemple^ par la lettre p ; Melpomène et Uranie, par a^ et a^ ; Euterpe et Erato par ^1 et ^2 ; Calliopeet Clio par c^et c^ ; enfin Terpsichore etTlialie, par Ji et d^. On peut d'ailleurs changer l'ordre précédent, en prenant une permutation quelconque des neuf lettres. Cela posé, considérons les quatre triades

p a^a^^, pb^b^, p CiC., p didç,;

elles appartiennent à quatre réunions différentes, puisque, dans chacune d'elles, la lettre p ne peut entrer qu'une seule fois. Formons maintenant les combinaisons trois à trois des quatre lettres fl, b, c, d; ces combinaisons sont bcd^ cda, dab^ abc.

Plaçons deux fois chacune d'elles au-dessous des quatre triades précédentes, mais de telle sorte que dans chaque colonne verti-' cale on ne trouve plus les lettres de la première ligne ; nous obtenons ainsi le tableau

paya.

pbyb.

pCyC,

pdyd.

bc d

dab

bc d

da b

abc

Il nous reste à placer les indices i et 2 dans les deux dernières lignes, de telle sorte que les conditions de Ténoncé soient remplies ; on écrit immédiatement les indices de la première disposition, et des premières colonnes des trois autres ainsi qu'il suit :

P bi b.

byCyd,

Cx d a

di a b

ai b c

Puisque bi se trouve avec c^ dans la première réunion, bi se trouvera avec c^ dans une autre ; de même pour c et d, et pour btt d\ on aura donc nécessairement le tableau suivant :

p byb.

biCyd,

Cyd.a

d,ab.

aybc

Cidya

d.2 a by

Flacons les indices i et 2 aux lettres a de la seconde réunion, d'une manière quelconque, nous obtenons le même ordre dans la disposition, et la quatrième réunion s'en déduit facilement.

Les jeux de demoiselles.

En résumé, on réunira les neuf muses suivant les quatre groupes différents :

pd,d.

dydib.

boC.,d,

û-yb^Ci

Nous indiquons plus loin une méthode très simple due à M. Walecki; on doit considérer la précédente comme une introduction à la méthode de M. Frost que nous développons dans le paragraphe suivant.