LES QUINZE DEMOISELLES

Le problème des quinze jeunes filles a été proposé pour la première fois, en i85i, par M. Kirkman, à qui l'on doit encore des théorèmes fort intéressants sur la figure de VHexagramme mystique de Pascal. Ce problème sut attirer immédiatement l'attention de MM. Cayley et Sylvester, et de plusieurs autres mathématiciens qui ont publié leurs recherches dans les journaux et les revues scientifiques de l'Angleterre et de l'Amérique. Nous pensons que c'est pour la première fois que ce problème, et d'autres du même genre que ceux qui précèdent, sont actuellement publiés en France. Bien qu'ils se rattachent directement aux premiers éléments de la théorie des combinaisons, ils présentent d'assez grandes difficultés dont on se rendra compte en cherchant directement la solution du problème suivant :

Quin:{e jeunes filles se promènent journellement trois par trois ; on demande comment il faut arranger leurs promenades

184 Sixième récréation.

de telle sorte que chacune des jeunes filles se trouve successive^ ment une seule fois en compagnie de toutes les autres.

Nous exposerons la solution qui a été donnée de ce problème par le révérend A. -H. Frost, dans le Quarterly Journal ofpure and applied Mathematîcs (n° 41, Cambridge, 1870).

Nous observons d'abord que chacune des jeunes filles doit se trouver chaque jour avec deux de ses compagnes; par conséquent il ne peut y avoir plus de sept promenades. De plus, nous allons démontrer qu'il est possible de disposer les jeunes filles conformément aux conditions de l'énoncé pendant les sept jours de la semaine. Désignons par p l'une quelconque des jeunes filles; nous pourrons désigner par a^ et a^ les jeunes filles qui se promènent avec Mademoiselle j? le dimanche; par b^ et b^ celles qui se promènent avec p le lundi; par c^ et c^__ celles qui se promènent avec p le mardis et ainsi de suite; enfin par ^1 et ^2 celles qui se promènent avec|7 le samedi.

Nous avons donc à placer sous les sept triades ou combinaisons trois à trois

I pa^a.^ 1 p^i^2 1 PC1C2 I pd,d. \ pe^e^ | pf,f \ pg.g-^ \

sept assortiments de quatre triades formées avec les quatorze lettres a,, a^^ b^, b^, . . ., gi, g^, en exceptant p, et de telle sorte que deux de ces lettres ne se trouvent pas ensemble dans plus d'une seule triade. Pour l'instant, représentons ai et a^ par a^ bi et bi par è, et ainsi de suite; les sept lettres a, b, c, <i, e, /, g peuvent être diversement combinées en sept triades, de telle sorte que deux de ces lettres ne se trouvent pas ensemble plus d'une fois. Ainsi, on peut grouper a avec bc^ de oufg; puis b avec df

Les jeux de demoiselles.

et eg'j enfin c avec dg et ef\ on forme ainsi les sept triades fondamentales

abc, ade, afg, bdf, beg, cdg, cef.

Parmi ces sept triades, il y en a quatre qui ne contiennent pas la la lettre a^ que nous placerons dans la colonne du dimanche; de même, il en existe quatre qui ne contiennent pas la lettre b ; nous les placerons dans la colonne du lundi; et ainsi de suite. Nous formerons le canevas suivant :