LES TROIS PENSIONNATS

Par un procédé analogue au précédent, M. Frost a montré que l'on pouvait étendre l'énoncé du problème des quinze demoiselles aux cas où le nombre des jeunes filles est égal à l'un des nombres

Les jeux de demoiselles.

et, en général, à toutes les puissances de 2, d'exposant pair, diminuées de Tunité. On trouvera la solution dans le mémoire cité; mais nous indiquerons préférablement ici un procédé qui permet d'étendre la solution du problème supposé résolu pour un certain nombre de jeune filles, à un nombre trois fois plus grand. Ainsi nous avons résolu le problème pour 9 et pour i5 demoiselles; le procédé suivant, dû à M. Walecki, permet de résoudre le problème pour un nombre de jeunes filles égal à

27,81,243,..., ou à

Nous prendrons comme exemple le nombre de 45 demoiselles, et nous supposerons les jeunes filles réparties dans trois pensionnats ayant le même nombre d'élèves. Désignons-les par

i" Pensionnat. — di by Ci d^ e^fi g\ hy iiji k^ /j m^ n^ Oj ; 2^ Pensionnat. — a, b^ Ci d^^ e^ ifgi /^a ^2^2 ^^'2 h "^2 '^H o^'y 3^ Pensionnat. — a^ b^ c-^ d^ e^f^ g^ hz i^jz k^ h m^ n-i 03.

Nous observerons que chacune des jeunes filles ayant 44 compagnes, on doit réaliser vingt-deux promenades. On en obtient immédiatement sQpt particulières en organisant les promenades par pensionnat, ainsi qu'on l'a expliqué précédemment; il reste à obtenir quinze promenades générales composées de triades, dans lesquelles les jeunes filles appartiennent à des pensionnats différents.

Pour la première promenade générale, nous réunirons les jeunes filles trois par trois, suivant les colonnes verticales, en formant ainsi les triades

a^a.az, b^b-^b^-, CiCoCg, ..., O1O2O3.

jgo Sixième récréation.

Pour obtenir la deuxième promenade générale, nous mettons à la suite du deuxième pensionnat l'élève du premier rang, et à la subite du troisième les deux élèves du commencement; nous avons

i" Pensionnat. — ai b^ c^ d^ e^f^ gi h^ iij\ k^ U "^i n^ o^ ;

2^ Pensionnat. — b^ c^ ^2 ^2^2 ^2 h^ i^j^ k^U "^2 "2 0, <^2 ;

3^ Pensionnat. — c^ d^ e^f-^ g^ h-^ izj\ k^ î^ m^ n^ 03 a^ b^.

Nous réunissons encore les jeunes filles par colonnes verticales, en formant les triades

a^b^Cz^ biC^ds, Cid^Cs, ..., 01^2^3.

On obtiendra la troisième promenade générale et les suivantes en répétant successivement la même tactique; après ces quinze promenades générales, on retrouve la première.

Il est facile de constater que ces diverses promenades satisfont aux deux conditions de l'énoncé, à savoir que chaque jeune fille doit se trouver une fois, et une seule fois, avec toutes ses compagnes. Cela résulte d'ailleurs d'un théorème d'Arithmétique démontré dans notre premier volume, à la fin de la quatrième récréation.

En général, si l'on sait résoudre le problème des jeunes filles groupées trois par trois, pour n jeunes filles, on saura le résoudre pour 372 jeunes filles. En effet, on voit d'abord que n doit être multiple de trois; le nombre des promenades étant |(« — i), le nombre n est donc impair. Pour 3 « jeunes filles on réalise d'abord ~{n — 1) promenades particulières; puis, par le procédé qui précède, n promenades générales; par suite, au total, n -h |(w — i) ou J(3« — i) qui est le nombre exigé par l'énoncé.

Les jeux de demoiselles. 1 9 1

LES p PENSIONNATS.

D'une manière encore plus générale, on résoudra le problème suivant dans lequel p désigne un nombre premier et q un nombre entier quelconque.

Des jeunes filles en nombre p^ se promènent journellement p parp; on demande comment il faut arranger leurs promenades de telle sorte que chacune des jeunes filles se trouve successivement une seule fois en compagnie de toutes les autres.

En effet, supposons que l'on ait pu former le tableau des promenades p par p de « jeunes filles; d'abord n est un multiple de p\ de plus, chaque demoiselle se trouve chaque jour avec {p — i) autres; par suite, le nombre total des promenades des n

n — T jeunes filles doit être • Nous allons démontrer que le problème est possible pour np jeunes filles réunies p par^. En effet,

le nombre des promenades doit être-^^^ ; on obtiendra ce

nombre :

i°Par promenades particulières des demoiselles supposées également réparties dans p pensionnats;

2^* Par n promenades générales obtenues par un procédé analogue à celui que nous venons d'indiquer plus haut, et l'on a bien

n — I np — I

En supposant d'abord n=zp^ on arrive ainsi de proche en

igs Sixième récréation.

proche au cas de ^'3' demoiselles. Nous ferons voir ultérieurement que ces problèmes se ramènent à la théorie des carrés diaboliques et, par suite, aux principes fondamentaux de la géométrie des tissus à fils rectilignes.