IV. ce g, afh, bdk

Il est facile de voir que deux lettres quelconques ne se trouvent qu'une seule fois dans l'une des triades précédentes^ puisque les lignes qui joignent deux quelconques des neuf lettres ont des inclinaisons différentes. En conséquence, le tableau (A) nous désignera, pour abréger, les quatre réunions des neuf muses.

PROBLÈME DE M. WALECKI.

Le tableau (A) ne renrerme pas toutes les combinaisons des neuf lettres prises trois à trois; en effet, on sait, par une formule bien connue, que le nombre des combinaisons de neuf lettres trois à trois est 84. Il y a donc lieu de se demander si, avec les 72 autres combinaisons, il est possible de former des tableaux analogues au tableau (A); en d'autres termes, nous allons résoudre le problème suivant :

Disposer les quatre-vingt-quatre combinaisons de neuf lettres prises trois à trois en sept tableaux de dou:^e triades^ de telle sorte que l'on rencontre dans tous les tableaux chacune des neuj lettres une fois et une seule fois avec les huit autres.

Pour plus de commodité, nous écrirons le tableau des douze triades des neuf lettres sous la forme

(^ f S E. Lucas. — Récréations mathém., II, i3

1 94 Sixième récréation .

On obtient un nouveau tableau de quatre réunions satisfaisant aux conditions de l'énoncé, en laissant fixes P et Q, et en permutant circulairement les sept lettres a, b, c, d, e^f, g^ c'est-àdire en remplaçant chacune d'elles par la suivante, et la dernière parla première; on a ainsi le nouveau tableau :

V b c IL ^ e Q

De plus, on obtiendra cinq autres tableaux par de nouvelles permutations circulaires.

En effet, dans le tableau ( i ), nous pouvons considérer quatre sortes de triades :

1° Celles qui contiennent à la fois P et Q;

2° Celles qui contiennent P sans contenir Q;

3° Celles qui contiennent Qsans contenir P;

4^ Celles qui ne contiennent ni P ni.Q.

La combinaison contenant P et Qdans le premier tableau est PQy; par permutations circulaires successives, on aura, pour le premier tableau et les suivants, les triades

PQ/, PQ^, PQa, PQ^ PQc, PQ^, PQ^, et l'on voit que ces triades sont bien distinctes, puisqu'elles diffèrent par la dernière lettre.

Les combinaisons du premier tableau qui contiennent P sans

contenir Q sont

Vab, Pce, P^^;

par permutations circulaires successives, la première d'entre elles donne les triades

IIL P^Z^, P^c, Vcd, Pde, Pef, P/g, Pga.

Les jeux de demoiselles. igS

Toutes ces combinaisons sont distinctes, puisque la deuxième leltre de chacune d'elles est différente, et que la troisième est celle qui suit immédiatement la deuxième dans l'ordre circulaire abcdefga. Nous dirons que ces combinaisons appartiennent au type P (o).

De même, par permutations circulaires successives, la deuxième combinaison Vce donne les triades