DEVINETTE ARITHMETIQUE

Les dominos étant tous retournés, et placés en A {fig. ii), on en tire successivement un, deux, trois, etc., jusqu'à douze, et on les place en B; on en prend un treizième que Ton place en C, après avoir regardé, en cachette, le nombre des points qu'il contient. Supposons, par exemple, qu'il en contienne cinq; on retire alors de A, pour les placer en B, d'autres dominos en continuant à compter six^ sept, huit, etc., jusqu'à douze. Puis, on prend encore en A un domino que l'on place en C, après avoir regardé le nombre des points qu'il renferme.

Fig. II.

On continue à prendre des dominos en A, pour les placer en B, en recommençant à compter de ce nombre jusqu'à douze, et ainsi de suite. Au bout d'un certain temps, le jeu se trouve épuisé en A; alors deux cas peuvent se présenter : i° Si l'on tire le dernier dé de A en comptant treize, on le place en B et non en C, et la manœuvre est terminée; 2° si l'on prend le dernier dé de A en comptant moins de treize, huit., par exemple, on replace ce dé en A en disant neuf; puis on reprend d'autres dominos de B en comptant dix, onze, etc., jusqu'à treize, et la manœuvre est encore terminée. Cela fait, les dominos étant toujours retournés, on propose à une personne qui connaît la marche de l'opération, mais n'en a pas suivi les détails, de deviner le nombre total des points des dominos situés en C.

Le jeu de dominos. 49

Règle pratique. — Pour résoudre cette question, il suffit de multiplier par i3 le nombre augmenté d'une unité des dominos placés en C, de retrancher du produit obtenu le nombre des dominos placés en A et le nombre total des dominos employés, car on peut se servir de plusieurs jeux complets ou incomplets.

Démonstration. — Désignons par jp le nombre des dominos situés en G, par ^i, a^^ a^^... , <^/,-i, ap, les points de chacun d'eux dans Tordre où ils ont été obtenus, par x le nombre de points que l'on cherche, par N le nombre total des dés employés, par q le nombre des dominos qui restent en A, et enfin parj' le nombre de dominos comptés après l'enlèvement de ap jusqu'à l'épuisement du jeu. On a tiré successivement de A des nombres de dominos représentés par

12, i3 — ^1, i3 ~^2, '■', i3 — ap-iy jr-l- i, dont la somme est égale à N. On a donc l'égalité

N = 1 3 ^ -F j^ — ai — a2

Ip-X-

Dans la seconde phase de l'opération, on a tiré de B, pour les replacer en A, un nombre de dominos

q=i3-r-ap.

Par suite, en ajoutant membre à membre les deux égalités précédentes :

N + ^= i3 (j? 4- \] — ay — a^^ — ...—ap\

d'où l'on lire

La formule précédente s'applique lorsque le jeu se trouve E. Lucas.— Récréations mathém.^ II. 4

5o Deuxième récréation.

épuisé en comptant treize , et l'on a q == o\ elle s'applique encore si Ton a placé en C une ou plusieurs fois le double blanc. Enfin on observera qu'au lieu de compter jusqu'à i3, on pourra compter jusqu'à 14, i5, ...; il suffit de remplacer dans j a formule précédente le nombre i3 par 14, i5,..., et plus généralement par un nombre quelconque, pourvu que ce nombre soit plus grand que le point le plus fort du jeu de dominos.