LA VARIETE DES PERIMETRES
Au lieu de ranger les dominos en quadrilles, suivant le périmètre que nous avons considéré (fîg-. 12, 16, 17 et 18), on peut se proposer de résoudre le même problème pour d'autres périmètres. Ainsi le périmètre de l3i fig. 19 ne donne qu'un seul
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cadre, possédant un axe vertical de symétrie; ce cadre ne donne d'ailleurs qu'une seule solution que nous avons représentée dans la même figure.
Les/^. 20 et 21 représentent deux nouveaux cadres de même périmètre. xVI. Delannoy a étudié toutes les solutions simples
Deuxième récréation.
de ces figures. De plus, il a démontré qu'il n'existe que deux autres cadres du même périmètre; mais ceux-ci ne donnent pas de solutions.
Fisr. 20.
Le sixième cadre qui possède un axe vertical de symétrie donne, avec la solution représentée [fig. 20), les dix autres :
Le jeu de dominos.
Quant au septième cadre [fig. 21 ), il donne huit solutions.
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Les notations de ces solutions sont, en plus de celle qui correspond à cette figure, identiques avec la première et les six dernières du tableau précédent.
DISPOSITIONS REGTILIGNES.
On peut se proposer de déterminer le nombre des dispositions rectiiignes suivant lesquelles on peut ranger tous les dés d'un jeu complet de dominos, en suivant la règle ordinaire. Ce problème a été énoncé dans les Nouvelles Annales de Mathématiques ( t. V 1 1 1 , p. 74), et résolu par Reiss (*). La règle du jeu exige que deux dés consécutifs se touchent par des points équivalents. De là, on conclut que rélément initial est le même que l'élément final; en
(') Evaluation du nombi^e de combinaisons desquelles les 28 dés d'un jeu du domino sont susceptibles d'après la règle de ce jeu, par feu D«" M. Reiss, à Francfort. {Annali di Malematica pura ed applicata, t. V, p. 63-i2o. — Milan, 1871.)
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d'autres termes, si le tableau commence par un cinq, il se terminera nécessairement par un cinq, à la condition de ne pas fermer le jeu sans avoir employé tous les dominos. En effet, toute combinaison rectiligne des vingt-huit dés étant conforme à la règle, ne cessera pas de l'être, si l'on écarte les doubles. Cette réduction faite, chaque point fera partie de six dominos, puisqu'il est combiné successivement avec chacun des six autres; par conséquent, le point initial doit se rencontrer encore en cinq autres endroits de la combinaison. Mais, dans l'intérieur de celle-ci, chaque point se présente deux fois de suite; d'abord comme seconde partie d'un dé, puis comme première du dé suivant; l'élément initial ne pourra donc s'y rencontrer que quatre fois, et devra finalement se trouver à un endroit où il ne sera pas suivi de lui-même, c'est-à-dire à l'autre extrémité de la combinaison.
