LE MEMOIRE DE REISS

Pour déterminer le nombre des dispositions rectilignes, Reiss considère, dans son Mémoire, les combinaisons circulaires. Pour les obtenir, on peut partir d'une disposition rectiligne quelconque, que l'on replie sur elle-même de manière à ce que les dés placés aux deux extrémités viennent se toucher par leurs parties extérieures. Dans ces combinaisons circulaires, tous les points se présenteront deux fois de suite, à trois reprises différentes. Elles ne possèdent plus de dés extrêmes, et l'on peut regarder chaque dé comme initial. Mais,' de plus, comme dans les dispositions rectilignes, on doit tenir compte du sens, soit de droite à gauche, soit de gauche à droite, dans lequel les dominos se succèdent.

Lorsque l'on a obtenu une combinaison circulaire quelconque ne contenant aucun double, on peut y intercaler chacun d'eux à trois places différentes; si donc G désigne le nombre des combinaisonscirculairesdistinctesnecontenant aucun double, l'adjonction d'un premier double, du double-blanc par exemple, donnera trois fois plus de combinaisons distinctes, ou 3 G; de même l'adjonction d'un nouveau double, le double-as, triplera le nombre précédent, et ainsi de suite. Par conséquent, le nombre des combinaisons circulaires avec doubles s'obtient en triplant sept fois de suite le nombre des combinaisons circulaires desquelles les doubles sont exclus ; ce nombre est donc 3'G ou 2 1 87 G.

Considérons maintenant l'une quelconque de ces combinaisons circulaires de 28 dominos; en choisissant successivement chacun des 28 dés qu'elle contient comme initial, il en résultera 28 com-

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binaisons rectilignes distinctes; d'où l'on conclut que le nombre total de ces derniers équivaut à 28. 3'. G. La question est ainsi ramenée, par Reiss, à trouver le nombre de dispositions circulaires qui ne contiennent aucun double.

Les développements de l'auteur comportent 58 pages in-4°, parmi lesquelles on trouve de nombreux tableaux numériques; nous n'avons pu vérifier ces calculs, trop compliqués pour être intéressants; la question reste entière, car l'important, ce serait de trouver une formule indépendante ou une équation de récurrence qui donnerait le nombre des dispositions pour un jeu de dominos se terminant à un double pair quelconque. Quoi qu'il en soit, nous indiquerons les résultats de l'analyse du docteur Reiss. . " - ' '

Le nombre G des combinaisons circulaires serait

celui des combinaisons rectilignes

et l'on devrait diviser par deux ces deux nombres, si l'on ne tenait pas compte du sens (').

(') Les nombres donnés par le docteur Reiss sont exacts. MM. Tarry et Jolivald ont obtenu les mêmes re'sultats par deux méthodes complètement diflérentes.

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