JUSQU AU DOUBLE-QUATRE

Nous allons indiquer une autre méthode du dénombrement des combinaisons rectilignes, sans passer par les dispositions circulaires, mais en supposant que le jeu se termine au doublequatre. Comme dans la méthode de Reiss, nous supprimons les cinq doubles 00, il, 22, 33, 44; il suffira ensuite de multiplier le nombre des dispositions rectilignes distinctes par 3.2* ou 48.

De plus, nous considérons comme distinctes deux combinaisons rectilignes qui ne différent que par l'ordre de succession des dés, en les disposant soit de gaucheà droite, soit dedroite à gauche. Si l'on écrit, dans le sens ordinaire, de gauche à droite, les points des dominos d'une disposition rectiligne, chaque point se trouvera répété deux fois consécutivement, à l'exception du premier et du dernier; pour simplifier, nous n'écrirons qu'une fois deux points consécutifs, et nous supprimerons le dernier point égal au premier. Par suite, la notation d'une disposition rectiligne sera formée d'une suite de dix chiffres contenant deux fois chacun des chiffres 0, 1, 2, 3, 4; de plus, le voisinage de deux chiffres quelconques tels que 1 et 3 devra se présenter une fois et une seule, en considérant comme voisins le premier et le dernier chiffre.

Ainsi, par exemple, la notation

représente une disposition rectiligne formée successivement par blanc-as, as-deux, deux-blanc, ..., trois-quatre, quatre-blanc. Il est évident que d'une disposition rectiligne, on peut en déduire un certain nombre d'autres en permutant d'une manière quel-

Deuxième récréation.

conque les points 0, 1, 2, 3, 4, 5; mais les dispositions obtenues ainsi ne seront pas toujours distinctes.

Il y a donc lieu de rechercher les solutions élémentaires, c'cstà-dire toutes les solutions qui permettent d'obtenir toutes les autres par permutation des éléments 0, 1, 2, 3, 4. Par un numérotage de convention, nous pouvons toujours désigner par 0 le premier point, par 1 le suivant, de telle sorte que le premier domino sera 01. Le point suivant sera désigné par 2, et les trois premiers chiffres de la solution élémentaire sont nécessairement 012.

Le quatrième point peut être égal au premier, ou représenter un point nouveau que nous désignerons par 3 ; en continuant cette discussion on trouve assez facilement les vingt-deux notations suivantes, rangées dans l'ordre numérique :

Si l'on renverse l'ordre des chiffres de Tune quelconque de ces notations, en donnant aux points le numérotage de convention que nous avons indiqué, on retombe nécessairement sur l'une de ces notations; mais on doit distinguer deux cas. Dans le premier cas, la notation retournée et numérotée reproduit la même

Le jen de dominos. 7 1

notation; nous dirons alors que cette solution est symétrique. Dans le second cas, on en reproduit une autre; nous dirons alors qu'elle est dissymétrique.

Les notations symétriques sont au nombre de six, savoir :