DISPOSITIONS RÉGULIÈRES

Si Ton applique ce procédé à la disposition précédente, on obtient un dessin qui possède deux axes et un centre de symétrie: c'est ce que nous appellerons une disposition régulière. On a, par exemple, la disposition régulière (Jig, 3 1 ).

Fig. 3i.

Lorsque l'on voudra construire un album de dispositions régulières, il suffira de conserver les parquets qui présentent les meilleures combinaisons, en n'écrivant que le premier quart de la disposition.

Quatrième récréation.

Au moyen de cette notation, les planches du mémoire de Truchet se résument dans les dispositions régulières suivantes :

Fig. 32.

Parquets symétriques de 36 cases

Fig. 33.

Parquets symétriques de 64 cases.

Parquets symétriques de 100 cases.

On assemble ensuite les dessins soit par simple juxtaposition, soit par opposition, soit en échiquier. Le lecteur qui s'exercera dans l'assemblage de ces carreaux, en bois ou en carton découpé^

Le jeu de parquet.

sera frappe de la variété indéfinie et de la symétrie des dessins que Ton peut obtenir pour la construction des mosaïques.

PARQUETS ANALLAGMA.TIQUES.

Au lieu d'assembler des carreaux mi-partis de deux couleurs par une ligne diagonale, on peut aussi assembler des carreaux de deux ou de plusieurs couleurs; on obtient ainsi des résultats bien différents de ceux que nous venons de trouver. Mais nous rattacherons la théorie générale des dessins réguliers que l'on peut obtenir par ces assemblages à la géométrie du tissage; nous ne nous occuperons ici que d'un genre très curieux de parquetage auquel M. Sylvester a donné le nom de carrés anallagmaîiques.

Parquet anallagmatique de i6 cases.

L*échiquier anallagmatique est un carré formé de cases noires et blanches, en nombre égal ou inégal, de telle sorte que, pour deux lignes ou deux colonnes quelconques, le nombre des variations de couleurs, d'une colonne à l'autre, soit toujours égal au nombre des permanences. La fig. 35 est un échiquier anallagmatique de seize cases.

E. Lucas. — Récréations mathém., IL 8

Quatrième récréation.

Il existe un pavage anallagmatique de ce genre, en marbre blanc et rose, dans l'une des cours d'un établissement public de Londres.

Si Ton remplace les cases noires par les cases blanches, et inversement, on obtient l'échiquier anallagmatique opposé ou complémentaire.

Fis. 36.

Carré A.

Carré B.

Voici un procédé pour construire les carrés anallagmatiques de 2" cases de côté (M- O^^ a les deux échiquiers complémentaires de deux cases de côlé {Jig, 36 ) :

Fig. 37.

Carré A'

Carré B'.

Avec ces deux échiquiers A et B, on formera de même les échiquiers suivants, complémentaires^ de quatre cases de côté (7?^. Sj),

(' ) Laisant. — Notice historique sur les travaux des sections de Mathématiques, (Association française pour l'avancement des Sciences. Compte rendu de Id 8" session. Montpellier, 1879.)

Le jeu de parquet.

c'est-à-dire {fig. 38

Fig. 38.

Puis si, dans la Jîg, 87, on remplace A et B par A' et B', on obtient des carrés anallagmatiques complémentaires de huit cases de côté; et ainsi de suite. Il en sera toujours ainsi, lorsque l'on remplacera dans cette figure les carrés A et B par deux carrés anallagmatiques complémentaires quelconques. D'ailleurs, il est évident que d'un échiquier on peut en déduire un grand nombre d'autres: 1° par une permutation quelconque des lignes ou des colonnes; 2° par le changement de la couleur de toutes les cases d'une ligne ou d'une colonne quelconque.