LE JEU DES GRENOUILLES
On place sur les cases dune bande formée d'un nombre impair de carrés un nombre égal de pions blancs et noirs, séparés par une case vide; tous les pions blancs se trouvant à • gauche, et les pions noirs à droite. Il s'agit de faire passer le^ pions blancs à la place des pions noirs, en profitant de la case vide.
On adopte les règles suivantes : Les pions peuvent avancer d'une case, en allant toujours de gauche à droite, pour les pions blancs ; et en sens inverse, pour les pions noirs. Un pion peut franchir un pion d'une autre couleur, dans le sens de son mouvement exigé, pour venir se placer sur la case vide immédiatemeni voisine.
Si l'on suppose d*abord deux pions blancs O, O, et deux pions noirs •, •, séparés par une case vide que nous désignerons toujours par un point, on opérera d'après le tableau suivant; la
colonne numérique à gauche indique la suite des coups, la colonne numérique à droite distingue, par les chiffres i et 2, le
142 Cinquième l'écréation.
pas OU avance d'une seule case, du saut ou avance de deux cases.
Le problème se trouve ainsi re'solu en 9 positions; et l'on observe que la colonne de droite est symétrique, c'est-à-dire qu'elle donne les mêmes chiffres en la lisant de bas en haut ou de haut en bas ; de plus, le rectangle qui indique les diverses positions est symétrique par rapport au centre.
Si l'on suppose trois pions blancs et trois pions ncirs, on échange les deux systèmes, d'après les règles indiquées, conformément au tableau suivant sur lequel on peut encore faire les remarques qui précèdent.
Le nombre des positions est égal à 16, le nombre des pas à 6 et le nombre des sauts à 9. Pour le cas de quatre pions blancs et de
Les jeux de casse-tête.
quatre pions noirs, nous donnerons seulement la moitié du tableau des positions, l'autre moitié s'en déduit par symétrie.
Le nombre des positions est 25; le nombre des pas est égal à 8 et le nombre des sauts à 16. En général, le problème est toujours possible, et si l'on suppose p pions blancs et p pions noirs,
le nombre total des positions est [p -H i)- ;
le nombre des pas est 2p ;
le nombre des sauts est p-.
En ajoutant le nombre des pas au double du nombre des sauts on trouve 2^(^ + 1); c'est ce que l'on doit obtenir si l'on remarque que, pour occuper la case assignée, chaque pion doit avancer de ^ -r- 1 cases, et par suite les 2.p pions doivent exécuter 2^(2? 4- i) déplacements d'une case.
SS^SJ
Cinquième récréation.
