UN PARADOXE GEOMETRIQUE

Nous avons laissé au lecteur le soin de vérifier l'exactitude des divers résultats obtenus dans ces diverses transformations géométriques. Cependant nous c'evons faire observer que ces démonstrations sont indispensables, si l'on veut acquérir la certitude

Fig. 82.

Fig. 83.

des théorèmes correspondants. Voici un curieux exemple de transformation qui fait comprendre la nécessité d'une démonstration. Considérons un carré formé de 64 cases {Jïg. 82); divisons-le en deux rectangles ayant pour hauteur la hauteur du

Les jeux de casse-tête.

carré et pour bases 3 et 5 unités; divisons le petit rectangle en deux parties par une diagonale, et le grand rectangle en deux trapèzes égaux. Si l'on découpe le carré en ces quatre fragments, on peut les juxtaposer de manière à obtenir la fig. 83 ; mais celle-ci contient 65 carrés, pendant que l'autre en contient 64; on aurait donc 64= 65. L'explication de ce paradoxe est facile; nous avons supposé que les côtés des fragments placés le long de la diagonale du rectangle coïncidaient avec celle-ci; mais il n'en est pas ainsi, car ils laissent entre eux un espace vide équivalent à un carré. L'illusion produite résulte de la petite différence qui existe entre l'inclinaison de la diagonale du rectangle de côtés 3 et 1 3 sur le grand côté, et celle de la diagonale du rectangle de côtés 3 et 8 sur le grand côté. En effet, ces deux inclinaisons sont respectivement ^^ et |, dont la différence est

Les nombres 5,8, i3 appartiennent à la série

o, I, I, 2, 3, 5, 8, 1 3, 21, 34, 55, 89,... que l'on obtient en ajoutant successivement deux termes consécutifs; elle a été indiquée pour la première fois par Léonard Fibonacci,dePise, mathématicien du xiii" siècle. Dans cette série, le carré d'un terme quelconque diminué du produit des termes qui le comprennent est alternativement -t- i et — i; ainsi 82-5.i3 = -i,

on pourra donc remplacer le carré de 8 unités de côté, par des

1 54 Cinquième récréation.

carrés de 21 et 55 unités de côté, et l'on obtiendra des figures paradoxales d'approximation plus grande.

On a aussi

i3- — 8.21 =4- I, 34-— 21 .55 = -M, . . . . , et l'on pourra employer des carrés de i3, 84, . . . , cases de côté; mais, afin de reproduire l'illusion précédente, il faut d'abord construire le rectangle et le découper, de telle sorte que l'intervalle vide se produise dans le carré.

Si l'on observe que cette série provient du calcul des réduites de la fraction continue la plus simple

on peut considérer ces découpages comme une représentation géométrique de la grande approximation donnée par les fractions continues. Il serait donc facile de construire beaucoup de figures

de ce genre.