LA QUADRATURE DU CERCLE

On sait que, pour obtenir la longueur d'une circonférence, il faut multiplier le diamètre par un nombre fixe que l'on désigne habituellement par tt et que, pour obtenir l'aire du cercle, il faut multiplier par irle carré du rayon. Archiméde a donné le premier

Les jeux de casse-tête. 1 3 3

la valeur approchée -n: r= ^; mais on connaît depuis longtemps la valeur de tt avec une très grande approximation. On a remplacé la méthode des périmètres d'Archimède et la méthode des isopérimètres de Descartes par des méthodes qui reposent sur l'emploi des séries. C'est ainsi que Leibniz a donné la formule

4~ 3 5 et que Machin a donné celle-ci

avec cette dernière formule, un géomètre anglais. M. W. Shanks, a calculée avec cinq cent trente décimales.

On peut retenir facilement les trente premières décimales du nombre tc au moyen du quatrain suivant :

Que f aime à faire apprendre un nombre utile aux sages l

Immortel Archi?nède, antique ingénieur,

Qui de ton jugement peut sonder la valeur?

Pour moi ton problème eut de pareils avantages. Si l'on écrit successivement le nombre des lettres de chaque mot, on trouve ainsi les trente premières décimales

mais nous n'engageons personne à continuer ce travail poétique pour les 5 3o décimales du calcul de M. Shanks. Pour les usages ordinaires, quatre ou cinq décimales suffisent; nous donnerons comme exemple l'application suivante : Connaissant le rayon d'un rouleau de papier peint et le nombre des feuilles depuis

56 Cinquième récréation.

le centre jusqu à la circonférence, déterminer la longueur du rouleau.

Si l'on désigne par / la longueur du rouleau, par r le rayon et par n le nombre des feuilles, on peut considérer approximativement le profil du rouleau comme un cercle de rayon r, qui a pour surface Tir-; d'autre part, si l'on développait le rouleau, le

profil deviendrait un rectangle de longueur / et d'épaisseur -> on

a donc

l-.rziTir-, d'où Izi^izrn.

Le problème de la quadrature du cercle consiste à trouver, par des constructions géométriques, le côté d'un carré équivalent au cercle ayant l'unité pour rayon. Nous avons dit, dans notre premier volume (p. 167), que c'est un préjugé pour beaucoup de personnes de croire à l'impossibilité démontrée de la quadrature du cercle; mais il n'en est plus ainsi actuellement (vo/r la Note III).

Lambert a démontré, en 1761, que le rapport de la circonférence au diamètre est incommensurable; il était aussi démontré que le carré de ce rapport est encore incommensurable (^). D'autre part, dans un admirable mémoire Sur la fonction exponentielle^ M. Hermite avait démontré en 1874 que le nombre <?, base du système des logarithmes népériens, est un nombre transcendant, c'est-à-dire que le nombre e ne peut être la racine d'une équation de degré quelconque à coefficients entiers ou formés d'irrationnelles algébriques; mais l'illustre géomètre écrivait, dans une lettre à M. Borchardt : « Je ne me hasarderai point à la recherche d'une démonstration de la transcendance du nombre tt. Que

(') Legendre. — Éléments de Géométrie. Note IV.

Les jeux de casse- Lete. iSj

d'autres tentent l'entreprise; nul ne sera plus heureux que moi de leur succès; mais croyez-m'en, mon cher ami, il ne laissera pas de leur. en coûter quelques efforts ».

En 1882, M. Lindemann annonçait à l'Académie des Sciences qu'il était parvenu à démontrer la transcendance du nombre tt, et qu'il avait déduit cette proposition des formules de M. Hermite; sa méthode n'en est qu'une généralisation, mais fort habile, qui repose sur la liaison mystérieuse des nombres e et % formulée par Euler

eV^ï" = — I .

La dernière édition de Texcellent Traité de Géométrie de MM, Rouchéet de Comberousse contient le résumé et la simplification des formules de M. H ermite et des recherches de M. Lindemann; M. Rouché ajoute que ce dernier travail si remarquable appelle d'autant plus l'attention qu'il ne semble pas devoir être le dernier mot sur ce sujet, au moins sous le rapport de la simplicité. N'est-ce pas le cas de répéter avec Bacon : « Nous n'arriverons à quelque chose de définitif qu'après avoir longtemps vécu de provisoire. Mais ce provisoire ne nous fascinera pas, nous saurons qu'il n'est pas notre dernier but, et, dans le champ de la science, les plus hardis travailleurs n'oublieront pas qu'il faut d'abord faire une première vendange ».