DEVINER UN NOMBRE PENSÉ

Pexpression a — 6 -t- 3 (c — d) est le complément à 9 du nombre y

y 4- r == 9 d'où j = 9 — r.

(En raisonnant ainsi on suppose a — 6 + 3 (c — d) 5> 0, si celte expression était négative, on voit de suite que y = r; on peut d'ailleurs assigner à a et c des valeurs convenables pour éviter que ce cas se présente).

En résumé, notre méthode nous permet de déterminer x ç\.y et, par suite, de former le nombre pensé 9 ir -h y.

Cincniième méthode (^)* — Demandez à quelqu'un de penser un nombre plus petit que 60 ; puis :

i® Faites-le diviser par 3, et prenez note du reste de l'opération, soit a ce reste ;

2® Faites diviser le même nombre pensé par 4 et prenez note du reste de l'opération, désignons-le par h ;

3® Faites encore diviser le nombre pensé par 5 et notez le reste de l'opération, soit c.

Le nombre pensé est le reste obtenu en divisant par 60 l'expression koa -{- 45.6 + 36. c.

Celte méthode peut être généralisée de façon à s'appliquer à un nombre pensé quelconque. Soit a', 6', c'..., une série de nombres premiers entre eux deux à deux et dont le produit est p. (La règle donnée par Bachet s'applique au cas des trois nombres, 3, 4 et 5).

n étant un nombre quelconque plus petit que p, représentons par a, 6, c..., les restes obtenus en divisant respectivement n par d, 6', c'... Déterminons un nombre A, de la forme, multiple de a' -H T, qui soit en même temps multiple du produit 6'.c'.c?'...

De même, déterminons un nombre B de la forme mult. 6' -h i , qui soit divisible par le produit a'.c' .d',,, soient également C, D..., des nombres de la forme mult. c' -h i, mult. à! -h i..., déterminés

(*) Bachet. — Problème VI, p. 84- Bachet ajoute à la page 87 une note historique sur cette question.

66 RiGR^ATIOUfl MATHillATIQimS

de la même manière. Nous nous proposons de démoniFer que n est égal au reste de la division par p, de l'expression A.a -|- B.6 -h C.c ■+• D.d -h ...

Posons N = A.a H- B.6 -i- Ce -+• D.d ♦.., et convenons de représenter par M (x) un multiple de x.

A = M (a') ~h I. par conséquent A.a = M (af) -+- a.

Dès lors, si le premier terme de N, c'est-à-dire A.a, est divisé par a', le reste de Topéralion est a.

Par hypothèse, B est un multiple de a'.c'.d'-.. par sqite B.6 est divisible par a'; il en est de même des termes Ce, D.d... etc. D'où cette conclusion que tous les termes deN, à l'exception du premier, sont des multiples de a!.

Donc, en divisant N par a', le reste de l'opération est a.

Or, le nombre n divisé par a' donne pour reste a;

On a, dès lors, l'égalité :

on trouve de même :

Mais les nombres a', 6', e' ..., étant premiers entre eux deux à deux, on a, d'après un théorème connu

N — n = M (a'.ô'.e'...) = M (p), ou encore

et comme n est plus petit que /), le reste obtenu en divisant N par/> est bien fi, c'est-à-dire le nombre pensé.

La théorie des nombres nous fournit des règles permettant de calculer A, B, G ...; mais si les diviseurs a', b\ c' sont choisis

DBYI9EII UN NOMBRE PBNS£ 67

assez petits, les nombres correspondants A, B, C, .«*, se déterminent sans difQcuité après quelques tâtonnements.

La règle donnée par Bachet correspond au cas où

a' = 3, 6' = 4, c' = 5* p == 6o» A = Au, B = 45 et c = 36.

Si le nombre pensé est plus petit que 4ao, on peut prendre

a = 3, 6î^4, c = 5» d=57; A = a8o, B=io5, C =5 336 et D=i20

8i2tiéme méthode. — Deviner un nombre pensé entre o el î5 in-* clasivementf sans poser aacune question.

On commence par prier la personne d'ajouter i -au nombre pensé, puis de tripler la somme ; la suite des opérations à eflectuer se dÎTlse alors en 4 périodes qu'il importe de bien noter :

Première période. — On fait prendre la moitié du résultat obtenu et multiplier par 3, cette moitié ;

Deuxième période. — On fait prendre la moitié du dernier résultat et multiplier par 3 le résultat obtenu ;

Troisième période. — On fait encore prendre la moitié du dernier produit.

Quatrième période, — De nouveau et une dernière fois on divise par 3.

Ainsi qu'on le voit, on fait prendre 4 fois les moitiés des derniers résultats, mais si ces résultats sont impairs, on doit, avant de faire la division par 2, les augmenter de i.

Cela posé eiaminons ce qui se produit avec les i5 premiers nombres.

Représentons par N le nombre pensé.

On se prdpose dans la première période, de faire prendre la moitié de l'expression 3 (N + i).

La division par a ne pouyant se faire que si N est impair, il en

68 BÉCRÉATIOriS MATHEMATIQUES

résulte qu'on est Gxé, dès la première période, sur la parité du nombre pensé.

Montrons maintenant comment les opérations effectuées dans les trois autres périodes permettent de déterminer N,

Supposons d'abord N impair

N = I, 3, 5, 7, 9, I r, i3 ou i5.

Deuxième période. — On fait diviser par 2 le nombre - (N 4- 1) 3^

et le résultat obtenu est multiplié par 3.

Si la division peut se faire N + i est de la forme mult. 4 c'està-dire que l'on a :

N = 3,7, II ou i5

Si la division ne peut pas se faire, N = i,5, 9 ou i3. Donc après la deuxième période, le cboix est limité entre 4 nombres*

Troisième période. — 1° Supposons que la division par a de

1 (N + 1) 32 ait pu se faire, 4 (N 4- i) 3^ est entier et N = 3,7, ii

ou l5.

On a encore à diviser par 2 l'expression ^ (N H- i) 3'.

(a) Si la division peut se faire N -f- i est de la forme mult. 8 et N = 7 ou i5.

(6) Si la division n'est pas possible, on divise par 2 l'expression

^L:±-i X 3«-+. I et N = 3ouii, 2^

2° Supposons que l'expression X 3' ne soit pas divisible

par 2, on a à choisir entre i, 5, 9 ou 1 3, et on fait diviser par 2

DEVINER UN NOMBRE PENSÉ 6g

Le résultat est de la forme ^ , on le fait multiplier

par 3, ce qui donne

et c'est cette nouvelle expression que l'on se propose de diviser par a. Or, elle peut s'écrire

(c) Si la division est possible, 27 N 4- i est de la forme mult. 8 alors N = 5 ou i3.

(d) Si la division n'est pas possible, on fait diviser par a

^^ ^ — j h I et N = I ou 9.

Donc, après la troisième période^ le choix est limité entre deux

nombres.

. fN 4- 3' Quatrième période. — 1° L'expression 3-^ — est entière.

On divise par a.

Si la division peut se faire N 4- i est de la forme mult. de 16, etN = i5.

Si la division ne peut se faire, on divise par a,

et 9N 4- I est de la forme mult. de 16, d'où N = 7. a^ L'expression ^^ ^^ — n'était pas divisible par a.

C'est alors l'expression i [<^^ + i] ou (N 4^ i) 3» 4- a« <juHl a'agit de diviser par a.

^o rAgréatioks mathématiques

Si la division est possible ^ — ^H^-l représente un nombre

entier et 27 N — i est de la forme mult. 16, d'où N =3. Si la division n'est pas possible, l'expression

est entière, et 37 N 4- 7 = mult. 16, d*où N = n.

3" L'expression ^ ^ ■ 3 ^ représente un nombre entier.

On fait diviser ce nombre par a.

Si la division est possible 27 N 4- i = mult. de 16 et N = i3.

Si la division n'est pas possible - 1 ^ 1-^ h i 1