i •' ^ représente un nombre entier

ou

3N-h I =mull. de i6 et N 1= 5.

,oT. • I r(N -4-i)3»-h2.3 . ^"1 (27N + 5)+3a 4 L expression - 1 ^^ ^ h i 1 ou ^— ^ -^ ■

est divisée par 2. Si la division peut se faire

27 N -+- 5 = mult. 16 et N = I

Si la division n'est pas possible N = 9.

On ferait une analyse identique en partant de la supposition N pair.

Les opérations précédentes sont rappelées à la mémoire par l'un des huits mots ci-après. Chacun d'eux est composé de 3 syllabes et celles où se trouve la voyelle î indiquent les périodes où pour prendre la moitié on a été obligé de faire ajouter i .

La quatrième période fait connaître celui des deux nombres attribués à chacun des 8 mots qui a été choisi. Si on peut prendre la moitié sans faire ajouter i, c'est le Qombre coi^tQiiu dltn4 la premier^

DETINER UN NOMBRE PBNS<

colonne, dans le cas contraire, c'est le nombre de la deuxième colonne.

pi lo ri , 8

bou li mie g i

in di go 10 2

me lo die 1 1 3

fi ga ro 13 4

do mi no 5 i3

mis tl gri * . . . . i4 6

ma te lot , 716

Exemple* — Supposons qu'on ait pensé le nombre 6.

Première période, — La division ne pouvant se faire sans ajouter I, le nombre pensé est Tun de ceux qui correspondent aux mots

pi lo ri o 8

in di go 10 3

fi ga ro 13 4

mis ti gri i4 6

Deuxième période, — La'division par 2 ne pouvant encore se faire, le nombre pensé est l'un des 4 qui correspondent aux deux mots.

in di go i4 6

mis li gri . . . , 10 3

Troisième période. — La division par 2 n'étant pas possible, le nombre cherché est Tun des deux nombres i4. 6, qui correspondent au mot mistigri.

Quatrième période . — La dernière division par 2 ne pouvant se faire, le nombre cherché est celui de la deuxième colonne, c'est-àdire le nombre 6,

72 RÂCRÉATIOTTS MA.THÉUAT1QI ES

TROUVER LE RÉSULTAT D'UNE SÉRIE D'OPÉRATIOiNS EFFECTUÉES SUR UN NOMBRE QUELCONQUE (QUE L'ON NE CONNAIT PAS) SANS POSER AUCUNE QUESTION

Tous les probièmes de cette nature dépendent de la façon de combiner les opérations que Ton fait effectuer ; il s'agît, en définitive de conduire les calculs de telle sorte que le nombre pensé disparaisse et ne figure pas dans le résultat. Quatre exemples suffiront :

Premier exemple (*). — Une personne ayant pensé un nombre que nous désignerons par n, dites-lui :

1° De le multiplier par un nombre arbitraire, a ;

2° D'ajouter au produit un second nombre arbitraire, mais connu, b;

3° De diviser la somme obtenue par un troisième nombre, également quelconque, mais connu, c ;

4° Faites maintenant prendre la fraction - du nombre pensé et

5° Faites retrancher cette fraction du résultat de la troisième opération.

Ce résultat est et la fraction déterminée par l'opération

(4-) est ?3?-

La dîffiérence entre ces deux nombres est égale à

c ce

Elle nous est donc connue et nous pouvons l'annoncer.

(*) B4GHET. — Problème VIII, p. loa.

TROUVER LE RÉSULTAT d'uNE SÉRIE D'OPERATIONS 78

Par exemple, si a = 6, 6 = la, c = /|, on obtient comme résultat final -7- = 3.

Deuxième exemple (*). — Invitez une personne A à prendre un nombre quelconque de jetons, n par exemple, mais sans désigner ce nombre, puis :

I" Dites à une autre personne, B, de prendre/) fois autant de jetons, p étant un nombre quelconque que vous choisissez ;

2° Dites à la personne A de donner à B, g de ses jetons, q étant un second nombre quelconque que vous fixez.

3** La seconde personne B devra ensuite passer à A un nombre de jetons égal à p fois celui que A possède.

Il reste alors entre les mains de B, ^ (p H- i) jetons : ce nombre vous est connu et le tour peut se faire, soit en mentionnant directement le résultat, soit de façon à exciter davantage la curiosité des spectateurs.

Le raisonnement est des plus simples : à la fin de ropération(a^), A possède, n — q jetons ; et B en a pn -f- ç ; à la fin de l'opération (3®), B a passé à A, /) (/i — q) jetons et, par conséquent, il lui en reste : p.n + g — (n — q) p ou p.q -f- 7 = (p 4- 1) 9. nombre connu.

Par exemple, si à l'origine A prend un nombre quelconque de jetons et si nous supposons p = a, g = 3, B devra prendre deux fois plus de jetons que A, puis A lui en passera 3.

B donnera ensuite à A un nombre de jetons égal au double de celui que cette personne possède et il lui restera :

(2 -h i) X 3 = 9 jetons.

Ce tour (comme aussi quelques-uns des problèmes suivants) peut

(») Baghet. — Probl. XIII, p. laS. Bacheta présenté également cette récréation d'une façon un peu plus générale, mais moins réalisable pratic(uement.

7 4 RÉCRÉATIONS MATOillATIQUBS

également se faire avec une seule personne en convenant de repré* senter par A sa main droite et par B sa main gauche.

Troisième ôxemple. — Faites efTectuer la série d'opérations suivante :

1° Écrivez un nombre quelconque de trois chiffres ;

a<> Ëcrivez le nouveau nombre obtenu en renversant Tordre des chiffres du premier ;

3^ Effectuez la différence de ces deux nombres ;

4° Ëcrivez le nouveau nombre formé en renversant Tordre des chiffres de cette différence;

5° Ajoutez ce dernier nombre avec la différence obtenue plus haut (3°).

Le résultat de cette dernière opération est toujours 1089 quel que soit le nombre primitivement pensé.

Le tableau récapitulatif suivant explique avec un exemple notre règle.

(i®) 782 loo.a -h 10.6 -f- c On suppose e <C a.

(2**) 287 fooc H- 10.6 -4- a

(4'^) 594 ioo(io-hc— g) -4- 90 -h (g — c — i)

(S*») 1089 goo H- 180 -h 9

Remarque, — La question peut se généraliser et s'appliquer à un nombre écrit dans un système quelconque de numération.

Soit, en effet, 6 la base du système et représentons par m,nyp les unités du premier, du deuxième et du troisième ordres ; supposons d'ailleurs m < p.

On a successivement :

(1°) pXb^-^nx 6H-mou(p— i)62-h/i6 + (6— i)6-hm-+-6

(2«) mXb^-\-nXb-hp

TROUVER LE RÉSULTAT d'uNB SÉRIE d' OPÉRATIONS 76

Ce résultat ne dépend donc que de la base du système de numération. Si 6 = 10, on a bien :

Cette généralisation nous donne le moyen d'étendre la récréation à un nombre de plus de trois chiffres.

Quatrième exemple (*). — La récréation suivante est du même genre et repose sur un principe identique : elle s'exécute avec des nombres complexes et, dans notre exemple, nous opérons sur les monnaies anglaises.

(i*) Écrivez une somme d'argent quelconque plus petite que la livres sterling, le nombre des livres étant différent de celui des pence :

(a*) Renversez cette somme, c'est-à-dire, faites écrire au-dessous de la première, la somme obtenue en intervertissant Tordre des livres et des pence :

(3*) Faites la différence entre ces deux sommes et

(4**) Renversez cette différence

(5*) Additionnez enfin les résultats (3*) et (4") et vous obtenez pour somme le nombre :

Prenons, par exemple, la somme i, i o 1 7* 5**, nous résumons, ci-après, les opérations effectuées (*) :

(i**) lo 17 5

(') Edacathnal Timet Reprints, 1890, vol. LUI, p. 78. (*) Bachbt. — Problème IX, p. 107.

Le tableau suivant explique la façon d'opérer et montre que le résultat final est indépendant de la somme écrite à Torigine.

c — a -h 12 nous supposons c <^ a a — c — i £ s d

'II ou la 18 II

Addition. — Citons encore une dernière récréation du même genre peu remarquée jusqu'ici, croyons-nous.

Faites écrire un nombre quelconque de trois chiffres tel que ses chiffres aillent en diminuant d^une unité de gauche à droite ; oa forme un nouveau nombre en renversant Tordre des chiffres du premier.

La différence entre ces deux nombres est constante et égale à

C'est une application de cette proposition générale :

Dans tout système de numération, la différence entre un nombre de

n chiffres y dont les chiffres croissent d*une unité de droite à gauche^ et

ce nombre renversé est constante.