DEVINER UN NOMBRE PENSÉ
Un nombre pensé par une personne peut se déterminer de bien des façons différentes quand on connaît le résultat d'une suite d'opérations effectuées sur ce nombre. Nous nous bornerons à présenter ici quelques méthodes pouvant être considérées comme types. Les personnes familiarisées avec l'algèbre n'éprouveront aucune difficulté pour modifier les règles données ou pour en imaginer d'autres analogues.
Première méthode (^). — i° Dites & la personne qui a pensé un nombre de le tripler ;
a° Le produit obtenu est pair ou impair ; s'il est pair, faites-en prendre la moitié ; s'il est impair, commencez par faire ajouter i avant de prendre la moitié ;
3° Le résultat de l'opération doit être multiplié par 3 ;
4^ Du produit obtenu faites retrancher 9 autant de fois que posssible et demandez combien de fois la soustraction a pu se faire : supposons que ce soit n fois ; (cela revient à faire diviser par 9 et à demander le quotient).
5° Vous pouvez alors affirmer que le nombre pensé est an ou an + I suivant que le résultat de la première opération est pair ou impair.
La démonstration est évidente.
Tout nombre pair étant de la forme an, la suite des opérations effectuées sur un pareil nombre nous donne successivement les résultats suivants :
io6n; a'>-6n = 3n; 3o3nx3=9n; 4» 25 = „
(*) 6agi|et. — Problèmes plaisants^ Lyon, 1624. PrqbUme I, p. 53,
DEVUIER UN NOMBRE PENSË 6l
6° D'où le nombre pensé an.
Considérons, en second lieu, un nombre impair dont la forme générale est an + i| la suite des opérations nous donne encore : I® (an H- i) X 3 = 6n 4- 3 nombre impair;
ao i ( 6/n- 3 + i) = 3n -4- a ; 3« (3n 4- a) X 3 = gn -h 6 ;
4^ Ce nombre divisé par 9 donne pour quotient n et pour reste 6:
5® Le nombre cherché est donc bien an -h i .
Sôconde méthode (*)• — On invite la personne qui a pensé un nombre à effectuer la série des opérations suivantes :
I® Multipliez le nombre pensé par 5.
a^ Ajoutez 6 au produit ;
3® Multipliez la somme obtenue par 4 ;
4* Ajoutez 9 au nouveau produit ;
5^ Enfin multipliez par 5 la dernière somme obtenue.
On se fait alors donner le résultat de cette série d'opérations, on en retranche mentalement i65, et en divisant par 100 ce qui reste, on obtient le nombre pensé.
Soit, en effet, n ce nombre ; leropérations effectuées successivement nous donnent :
3» (5n -h 6) X 4 = aon -f- a4 ;
4" aon + a4 -H 9 = ao.n -+- 33 ;
5^ (ao.n -h 33) X 5 = loon -h i65.
Ce dernier résultat justifie la règle.
Troisième méthode (^)* — Comme précédemment, la personne qui a pensé un nombre est invitée à effectuer cette suite d'opé* rations :
(') Bachet donne uno règle semblable. Problhme IV, p. 74. (*) Bagiiet. — : Problème V, p. 8o,
62 RJGR^ilTrO^S MiTH^MATIQUEâ
1° Multipliez le nombre pensé par un nombre quelconque, mais connu, a;
2° Divisez le produit par un second nombre connu, b ;
3<* Multipliez le quotient par un troisième nombre, c ;
^^ Divisez 1^ noi^yeavi résultat par un quatrième nombre, d ;
5° Faites encore diviser ce dernier résultat par le nombre pensé ;
6^ Au quotient, faites ajouter le nombre pensé et demandez le résultat final ;
7° En en retranchant le nombre r^, le r^ste obtenu e^t le
nombre cherché.
Car, désignons par n ce nombre inconnu, le résultai ^ quatre
premières opérations est de la forme n X r^; l'opération (5**) nous donne jj-i • et l'opération (6**) '* + r-j '
Retranchant alors de ce résultat ,^, op obtient hieu }e nombre
pensé n.
On donne aux lettres a, 6, c, d, des valeurs numériques quelconques; par exemple pour a = 12, 6 = 4, c = 7, et d = 3, on a :
O - TxJ "^ ''•
et il suffit de retrancher 7 du résultat obtenu après la sÎKième opération.
Quatrième méthode (*). — On demande à une personne de penser un nombre plus petit que 90, puis :
(^) EdacMional limes, i^' mai 1896, vol» J^LVllI, p. 334*
MVnsB un voiibbe pbisI 6â
1° Faites-le multiplier par lo et faites ajouter au produit un nombre quelconque mais connu, a, choisi plus petit que lo ;
â^ La iomaie obtenue est divisée par 3 et ofi prend note du reste de Topération, soit b ce reste ;
3° Le quotient précédent est multiplié par lo et on fait ajouter au produit un nombre arbitraire mais connu, c, plus petit que lo ;
4** Faites diviser le résultat par 3 et prenez encore note du reste de l'opération ; soit d ce reste ;
Soit également e le troisième chiffre, à partir de la droite, du quotient de la division.
Connaissant a» b, c, d et e, le nombre pensé se détermine sans difficulté.
Ce nombre est, en effet, de la forme Qx -{- y et, par hypothèse, on a :
aï <s 9 avec y *< 8.
Si r est le reste obtenu en divisant par g l'expression
a — 6 -H 3 (c — d), on a : a? = c et y = 9 — ''.
La démonstration peut se présenter comme il suit : Le nombre pensé étant gx •+- y, la première opération nous donne :
(g. a; -f-y) X lo -h p, ou go,x -f- loy 4- «,
ou encore
go.a; -h g.y + y -+- a.
et ce dernier nombre est de la forme mult. g -+- ( J -h a).
Le reste de la division par 3 sera, par suite, le môme que celui de la division de y -{- a par 3 et noua pouvons poser
j4-a = 3p + 6, (6 étant plus petit que 3).
doù
{9-^ -H r) X lo -h a = 90.1; -+- g.y 4- 3/? -i- 6.
La division par 3 nous donne pour quotient 3o.x -^ Sy -\- p et, pour reste, b.
On fait ensuite multiplier ce quotient par loet ajouter au produit 0, plus petit que lo, ce qui nous fournit Fexpression :
3ooac 4- Soy 4- lo.p + c,
que nous pouvons mettre sous la forme Sooa; 4- 3oy -f- g.p 4- /) 4- c.
Le reste de la division par 3 de ce nouveau nombre sera encore le même que celui de la division de /> 4- c par 3 et, si nous posons p 4-c = 3.qf4-rf, on obtient pour quotient, en eflectuant Topération, iooaî4- ioy-4-3p4-9et pour reste d.
Gela posé, de y << 8 et a << g, on déduit y 4- a << 17, il en résulte p << 5 ; de/) -< 5, avec c < 9, on déduit : p 4- c < i4 et g < 4.
On a donc
loy 4- 3p 4- g < 80 4- i5 H- 4.
ou
loy 4-3p 4- g<99;
c'est-à-dire que le quotient 100 a? 4- loy 4- 3 p 4- 5 n'a que trois chiffres ; son troisième chiffre, à partir de la droite, est donc bien x
En second lieu, les relations y4-a = 3p4-6, p4-c==3g4-fc nous donnent
d'où
a — 64-3 (c — d)4-yr= mult. 9.
Or, y étant plus petit que 9, le reste r de la division par 9 de
