DE LA BASE DU SYSTÈME DE NUMÉRATION

Plusieurs des problèmes permettant de trouver deux ou plusieurs nombres reposent sur ce fait qu'un nombre entier quelconque peut s'écrire sous forme d'une somme de termes dont chacun est égal au produit d'un chiffre par la puissance de la base qui correspond à l'ordre des unités représentées par le chiffre considéré*

Par exemple dans le système décimal

Trois applications numériques suffiront pour fairo comprendre rapidement le principe de la méthode.

Premier exemple (^). — Un tour assez commun consiste k demander à un enfant de jeter deux dés sur la table ou de choîsÂr au hasard, dans un jeu, un domino marqué sur chaque moitié. On prie alors l'enfant de bien se souvenir des deux nombres sortis, puis de multiplier Tun d'eux par 5, d'ajouter 7 au produit, de doubler ce résultat et fmalement d^ajouter le second nombre. Si du nombre ainsi formé, la personne qui fait le tour retranche mentalement i4» elle obtient un nouveau nombre de deux chiffres qui sont précisément les deux chiffres sur lesquels l'enfant a opéré.

Supposons, par exemple, que les deux nombres sortis ou choisis soient a et b, ces deux nombres sont nécessairement plus petits

(}) Quelques questions semblables ont été données par Bachet dans le problème XII, p. 117; par Oughtred dans ses Mathematica Récréations (traduites ou tirées de l'ouvrage de Yan Ëtten portant la date de i633, Londres i653, problème XXXIV; et par Ozanam, part, i, chap. x.

PROBLÈMES JElEPOSiANY SUR 14^ pécOMPOSITIOlf DES NOMBRES 79

que 10 (puisqu'ils ont été obtenus 'avee des dés ou un jeu de dominos). Les opérations successiTement faites nous donnent :

5a ; 5a -4- 7 ; (5a -h 7) X 2 = lo.a -h i4 ; loa -f- i4 -f- 6 ;

et en retranchant i4 on a bien un nombre écrit dans le système décimal dans lequel 6 est le chiflre des unités et a le chiffre des dizaines.

Le tour peut se reprendre dans un autre système de numération si on juge utile de cacher le procédé.

Deuxième exeirple (0* — ^® même, si on fait choisir trois nombres a, 6, c, plus petits que lo, on peut les trouver en opérant comme il suit :

I® Faites prendre un de ces nombres, le premier par exemple a, et faites-le multiplier par 9 ;

a® Faites ajouter 3 au produit ; le résultat est a. a H- 3 ;

3° Ce résultat est multiplié par 5 et on fait ajouter 7, on obtient lo.a -h 22 ;

4** A cette somme faites ajouter le second nombre ;

5® Faites doubler le résultat obtenu ;

6® Puis dites d'ajouter 3 au nouveau produit ;

7* Enfin, faites multiplier par 5 et ajouter le troisième nombre.

Le résultat finalement obtenu est de la forme

Connaissant le résultat il suffit d^en retrancher mentalement a35 pour avoir le nombre écrit dans le système décimal avec les trois chiffres a, 6, c choisis à l'origine.

On peut appliquer une règle semblable pour déterminer le jour de la naissance et l'âge d'une personne. Le résultat obtenu est un nombre de six chiffres dont les deux premiers à gauche donnent le

(') Bachot donne quelques questions semblables dans le problème XII, p. 117.

80 RÉGRéA.TtONS MATHÉMATIQUES

jour du mois de la naissance, les deux chiffres du milieu le rang de ce mois et les deux derniers à droite, l'âge actuel (supposé bien entendu moindre que loo.)

Troisième exemple (*). — La règle suivante pour trouver l'âge d'une personne est analogue.

Prenez le chiffre des dizaines de Tannée de la naissance ;

I** Faites-le multiplier par 6 ;

2® Dites d'ajouter a au produit ;

3^ Faites multiplier le résultat par a ;

4° A ce nouveau produit faites ajouter le chiffre des unités de Tannée de la naissance ;

5^ Enfin, faites retrancher la somme de iio et le résultat obtenu représente V^gQ de la personne en 1906 (•).

La démonstration algébrique de la rè^le est intuitive.

Soient a et 6 le chiffre des dizaines et celui des unités de Tannée de la naissance. Les opérations successivement effectuées nous donnent :

(i°)5a; (2°) 5a -4- 3; (3°)io.a-h4; (4") lo.a H- 4 4- 6 : (5°) iio — (lo.a -I- 4 H- 6) = 106 — (lo.a -+• 6),

et, cette dernière expression représente bien Vhge de la personne en 1906.

Il est facile de modifier la règle pour obtenir Tâgc à une époque déterminée.

(') Une question de même genre est traitée par Laisant et Perrin dans leur AlghàrCf Paris, 1892; et dans V Illustration du i3 juillet 1895.

(^) L'âge de la personne en 1907 s'obtiendrait en retranchant la somme de III, en 1908 il faudrait retrancher de 112 etc.

AUTRES PROBLÈMES 8l