AUTRES PROBLÈMES AVEC DES NOMBRES ÉCRITS DANS LE SYSTÈME DÉCIMAL
Nous mentionnerons encore ici deux ou trois autres questions dépendant du système de numération le plus répandu, c'est-à-dire du système décimal, et qui, autant que nous avons pu le vérifier, sont inconnues de la plupart des auteurs de livres de récréations.
Premier problème. — Prenez un nombre quelconque de trois chiffres, écrivez-le de nouveau en renversant l'ordre des chiffres, puis faîtes effectuer la différence entre ces deux nombres. Si alors, on nous donne le dernier chiffre de la différence, il est facile de déterminer les autres chiffres.
Soient, en effet, c le chiffre des centaines du nombre choisi, d le chiffre des dizaines et u celui des unités.
Le nombre en question s'écrit dans le système décimal
loo.c 4- io,d -h «;
le nombre forme en renversant les chiffres est
loo.ii -h lo.d -H c,
et la différence est égale à loo (c — u) 4- (a — c) ou à 99. (c — h). Mais, (c — «) ne surpasse pas 9, et, par suite, la différence ne peut être que l'un des neuf nombres :
099, 198, 297, 396, 495, 594. 693, 79a ou 891.
Dans chaque cas, le chiffre du milieu est un 9 et la somme des deux autres chiffres est également égale à 9 : dès lors, connaissant le dernier chiffre, on aura immédiatement le premier chiffre qui est son complément à 9.
83 RÉGRBATIONS MATHÉMil TIQUES
Second problème. — Voici une seconde question présentant quelque analogie avec la précédente.
1° Vous faites prendre un nombre quelconque;
2^ Faites-le écrire de nouveau mais en renversant Tordre des chiffres ;
3** Faites effectuer la différence entre ces deux nombres ; 4** Cette différence est multipliée par un nombre quelconque que, comme les autres, vous ne connaissez pas ;
5° Faites biffer dans le produit un chiffre quelconque (pourvu que ce ne soit pas un zéro).
6° Demandez le nombre restant (*).
Alors en retranchant la somme des chiffres du nombre restant du multiple de g immédiatement supérieur à cette somme, on a le chiffre biffé.
C'est une conséquence immédiate de ce fait que le résultat de l'opération (3°) et. par suite, celui de l'opération (4°) est un multiple de 9. Or, la somme des chiffres d'un multiple 4e 9 est ellemême divisible par g.
Troisième problème. — Deviner plusieurs nombres pensés. " ' // s* agit de déterminer le$ nombres qui ont été pensés pç^r un certain
nombre d* élèves après s* être fait donnerie produit de chacun des nombres
pensés par la somme de tous les autres.
Nous allons exposer la théorie de cette récréation qui ne peut ôtr<3
faite que par unp personne exercée aux calculs de décomposition ea
facteurs premiers.
(<) Il serait pr<^fér&blO| à notre avis, de faire e(^ect^or la soipme des chiffres du nombre restant et de demander connaissance de cette somme, au lieu de demander le nombre restant. On retranche la somme des chiffres du multiple de 9 immédiatement supérieur. La récréation présentée ainsi surprend davantage les élèvesi
AIJTHBS PROBLÎMBS 83
Considérons le cas de cinq nombres a, h, e, d et e» supposons que Ton ait trouvé
a{b -\- c -h d-i- e) = ï8o, b(a-i- c -h d -h e) = 294, c(a4-6H-(i + e) == 4i8, d{a -h b -h C -^ e) = 444, e(a-f-6-hc-t-d) = 5io,
il s'agit de trouver les nombres a, 6, c, d, i.
On voit d'abord que les premiers facteurs a, 6, c, d^ c, doivent être croissants comme les nombres 180, 294» 4i8, etc. ; car, les les deux premiers produits, par exemple, revenant à
a6 -h a (c H- d -H e), a6 -f- 6 (c -H rf 4- e),
puisque le second est plus grand que le premier, il faut que 6 soit plus grand que a.
On remarque ensuite que si Ton décompose les nombres trouvés 180, 294, etc. en deux facteurs, de toutes les manières possibles, parmi ces décompositions, chacun en fournira une qui donnera les deux facteurs du premier membre de l'égalité où il se trouve.
On peut remarquer aussi que si l'un des nombres a, b, c, d, e est plus grand que la somme des quatre autres, cela ne peut avoir lieu que pour le plus grand, c'est-à-dire pour celui qui correspond au plus grand produit. Si donc Tun des nombres donnés, le plus grand excepté, fournit un produit jo.^jf, qui fasse connaître les facteurs du premier membre de l'égalité où il se trouve, le plus petit des facteurs/} et q sera le premier facteur a ou b, etc. , et Pautrc sera le second facteur (6 -i- c h- d -+- 0) ou (a -h c -h d -+- e), etc.
Remarquons enfin que la somme des deux facteurs de chacun des premiers membres étant la même dans toutes les égalités, les produits p-î, p'.q'» P-'V» etc. qui les feront connaître seront tels qu'on aura
84 rêgr£ations mathématiques
et c'est ce qui les fera distinguer parmi tous les produits de deux facteurs que fourniront les nombres donnés.
Ces remarques faites, cherchons les diviseurs des nombres donnés» le plus grand excepté, et écrivons les pour chacun deux, la moitié sur une première ligne, dans l'ordre croissant à partir de i, puis l'autre moitié sur une seconde ligne, dans l'ordre décroissant à partir du nombre lui-même ; en sorte que le produit de deux diviseurs placés l'un sous l'autre sera toujours égal au nombre qui commence la seconde ligne. Nous aurons :
Pour i8o,
Pour 294,
Pour 4i8,
Pour 444.
