NUMÉROTÉS

Toute collection d'objets pouvant se distinguer facilement les uns des autres, en particulier et principalement une suite d'objets portant des numéros consécutifs, se prête à des récréations reposant sur les propriétés élémentaires des nombres. Comme exemples, nous décrirons quelques tours connus, dont les deux premiers s'effectuent avec une montre et dont les trois derniers se comprennent mieux quand on les exécute avec un jeu de caries ; c'est d'ailleurs ainsi que nous les présentons.

Premier exemple (*). — Dans celte récréation on utilise la subdivision en heures du cadran d'une pendule ou d'une montre.

(') Bachet. — Problème XX, p. i55 ; Oughtred. — Mathemalical Récréations f Londres, i653, p. a8*

PROBLEMES EFFECTUAS AtEG DBS S^Htfeâ d'oBJÈTS NUMÉROTAS 87

Voici comment on opère : on invite une personne à penser une heure, soit m par eiemple, et à en désigner ou en marquer une autre, n. Parlant alors de celte dernière heure la personne doit, en marchant en sens contraire des aiguilles, toucher successivement les heures en complant mentalement m, mH-i.m-f-a, ... jusqu'à' n 4- 12 : L'heure sur laquelle elle s'arrête est précisément Theure pensée.

Supposons^ par exemple, que cette personne ait pensé Y et qu'elle ait designé l'heure IX ; elle doit alors toucher successivement les heures IX, VIII, VU, VI, V, ... en marchant en sens contraire des aiguilles et en comptant 5, 6, 7» 8 ... jusqu'à IX -h 12 ou ai, à ce moment elle se trouve sur l'heure pensée V.

L'explication de la règle est évidente, car on arrive finalement en comptant mentalement à la (n -h 13 — m)* heure, mais puisqu'on marche en sens contraire des aiguilles, on doit passer sur (n — m) heures pour arriver à l'heure m, et augmenter celte différence (n — m) de 12, ti'a pour effet que de faire faire un tour entier du cadran.

L'expression n -\- 12 — m étant toujours positive puisque m est moindre que 12, en faisant pointer à la personne les heures jusqu'à la (n -h 12 — m)"% nous donnons à la règle une forme générale s'appliquant à tous les cas, que n soit plus petit ou plus grand que m,

Deu^iètliô exemple. — L'exercice suivant est une autre façon bien connue d'indiquer sur le cadran d'une montre ou d'une horloge l'heure pensée par quelqu'un. Nous ne connaissons pas l'inventeur du procédé.

Au moyen d'une baguette ou de tout autre objet léger on touche successivement les heures d'une pendule en partant d'une heure déterminée, VII, et en marchant dans le sens opposé à celui des aiguilles. La personne qui a pensé une heure compte mentalement en même temps jusqu'à 20, mais à partir de l'heure pensée (ainsi, ri elld à choisi ou pensé l'heure X, elle dira mentalement XI lorsque vous touchez VII, XII lorsque vous frappez sur VI, et ainsi de suite). Lorsqu'elle arrive à 20, la baguette est sur l'heure pensée.

88 RÉCRÉATIONS HATUÉMATIQUlSS

Supposons, en effet, qu'on ait pensé l'heure n, le 8* coup est donné sur l'heure XII et il est compté mentalement parla personne comme la (/i -+- 8)™' heure, le coup compté comme (n -f- g)*' heure est donné sur l'heure XI ; et d'une façon générale, le coup compté mentalement par la personne comme la {n -+- p)"* heure est donné sur l'heure 20 — p. Par suite, si l'on fait /> = 20 — /i, lorsque la personne en est à la 20^ heure, la baguette marque l'heure pensée, n. Il va sans dire que l'on peut changer l'heure de départ (et c'est ce qu'il faut faire lorsqu'on reprend la récréation), mais dans ce cas l'heure finale doit également être modifiée. Si Ton part de IX« par exemple, il faut compter jusqu'à la 22® heure (12 -+- IX -h 1).

Extension de la récréation précédente. — * Il est évident que le même tour peut s'exécuter avec une collection de m objets comme des cartes ou des dominos, en supposant m <^ 20*

Supposons en effet, que ces m objets soient disposés sur une table dans un certain ordre numérique et qu'un des spectateurs choisisse celui occupant le n® rang.

Il est bien certain que si, partant de Tobjet occupant le rang 19 — m, on remonte en sens inverse de celui primitivement adopté de 20 — m rangs, on tombe finalement sur le m* objet; de sorte que si, en même temps que vous touchez l'objet occupant le rang 19 — m, la personne qui a choisi une carte ou un domino compte /i -+• I, lorsque vous toucherez l'objet du rang m (en marchant en sens inverse) cette personne comptera mentalement (n + ao — m), lorsque vous aurez atteint le (m — i)™' objet, la personne en sera mentalement au nombre (/i -h 20 — m -H i) et en dernier lieu, l'objet de rang n, c'est-à-dire l'objet choisi, sera touché lorsque la personne aura compté jusqu'à (n -f- 20 — n) ou 20.

Troisième exemple. — L^exemple suivant peut être considéré comme une variante de l'extension précédente ; il est très simple et» à notre connaissance, ne figure dans aucun ouvrage.

On présente un paquet de n cartes à une personne en l'invitant à

PROBLEMES EFFECTUES AVEC DES SERIES d'ohJETS NUBIEROTÉS 89

en choisir une parmi les m premières et de bien se souvenir (sans toutefois le faire connaître) du rang qu'elle occupe à partir de la carte qui se trouve au-dessus du paquet. Pour fixer les idées, supposons que ce soit la x"*. En reprenant le paquet, on renverse Tordre des m premières cartes (ce qui peut se faire facilement en les battant) et on fait passer y cartes {y étant plus petit que n — m) du dessous du paquet au-dessus. Cette opération a pour effet d'amener la carte, primitivement choisie, au f j -t- m — x 4- i)"' rang à partir de la carte supérieure. Le paquet de cartes est alors remis à la personne qui a fait le choix d'une carte en la priant de les abattre une à une en comptant mentalement x + i sur la carte supérieure, x -h a sur la seconde carte et ainsi de suite jusqu'à (/ -h w -h i), la carte abattue alors est celle qui avait été choisie.

On peut modifier comme on le veut la fin de cette récréation et faire varier / et m chaque fois qu'on la reprend ; les personnes peu familiarisées avec l'arithmétique se rendront difficilement compte de la façon dont on opère.

Quatrième exemple (^). — Faites tirer une carte d^un jeu et faites la mettre sur une table (face couverte) en plaçant au-dessus autant de cartes qu'il en faut pour que leur nombre ajouté à celui des points de la carte donne m comme total. Par exemple, si la carte tirée est le cinq de trèfle, on devra mettre au-dessus sept caries additionnelles. Les figures peuvent avoir une valeur conventionnelle quelconque assignée à l'avance, mais, en général, on les considère cemme valant lo. On recommence l'opération avec Une autre carte et on forme ainsi un nouveau paquet. L'opération est reprise ainsi trois ou quatre fois seulement, ou, si on le désire, autant de fois que possible avec le jeu que l'on possède. Supposons qu'on ait pu former ainsi p paquets et soit t le nombre des cartes qui restent, il s'agit de déterminer la somme des points des cartes choisies qui se trouvent à la base des paquets.

(*) Un cas particulier de ce problème est traité par Bachet, problhme

XVII, p. isa.

go RécRÉATlOîfS lilATHÉMAtlQUES

Cette somme est égale à 1 3 (p — 4) 4- r.

Car si x représente le nombre des points de la carte à la partie inférieure d'un paquet quelconque, le nombre des cartes du paquet sera i3 — x.

Supposons que Ton opère avec un jeu de 63 cartes, ce nombre doit être égal à la somme des cartes contenues dans chaque paquet, augmentée des r cartes qui restent, c'est-à-dire que Ton a :

52 = (i3 — a'^)-f-(i3 — x^)-h{i3 — 0^3) + ... -+- (i3 — Xy)-hr. 52 = i3 X p — (a^i + a^a 4- 0^3 +... Xp) -h r,

d'où l'on déduit :

^1 ~+" ^2 "+" ^3 +••• -H ar^ = i3.p — 62 -f- r== i3 (p — 4) 4-r.

Plus généralement, si on considère un paquet de m cartes et si dans chaque paquet la somme des points de la carte inférieure et du nombre des cartes placées au-dessus est égale à m, la somme des points de toutes les cartes à la base des paquets aura pour expression (m H- i) p -h r — n.

Dans un jeu d'écarté, n = 32 et on fait généralement m =3 i5, l'expression précédente devient alors

i6p 4- r — 32 ou 16 (p — 2) 4- r.

Cinquième exemple. — Faisons d'abord remarquer qu'en coupant un jeu de cartes on ne modifie pas la position relative des cartes à la condition de regarder le jeu comme non interrompu, c'est-à-dire de considérer la carte supérieure comme faisant immédiatement suite à la carte inférieure. La récréation suivante s'appuie sur cette remarque (*).

Prenez un jeu de cartes que vous abattez successivement, une à une, faces apparentes, sur une table, en ayant soin de bien noter la carte abattue la première et en priant une personne de faire choix d'une carie dont elle retiendra le numéro d'ordre. Ramasses alors le jeu que vous faites couper (mais non battre) autant de fois

(») Bacuet. — Problème XIX, p. i52.

PROBLEMES EFFECTUÉS AVEC DES SÉIllES D*OBJETS WLMÉROTÉS Qt

qu'on le désire et demandez à la personne le rang de la carte pensée. Abattez alors de nouveau les cartes, comme la première fois, faces apparentes, et aussitôt que vous voyez passer la première carte abattue à Tongine, comptez mentalement i, 2, 3,... au fur et à mesure que les cartes tombent jusqu'à ce que vous arriviez au numéro indiquant le rang de la carte choisie. La carie qui correspond à ce numéro est précisément celle qui a été pensée.

11 va sans dire que si toutes les cartes sont abattues avant d'atteindre le numéro donné, on ramasse de nouveau les cartes, on retourne le jeu et on recommence l'opération en continuant le comptage.

Voici une autre récréation à peu près du même genre.

On commence comme plus haut par abattre les cartes, faces apparentes, en priant une personne d'en choisir une et de retenir son numéro d'ordre h partir de celle du dessus. Supposons que ce soit la n"*. On lui demande alors à quel rang elle désire la voir sortir dans le jeu ; supposons qu'elle choisisse le m"* rang. En ramassant les cartes faites passer adroitement m — n cartes de la partie inférieure du paquet à la partie supérieure (c'est l'inverse si n est plus grand que m, c'est-à-dire que, dans ce cas, on fera passer n — m cartes du dessus du jeu au-dessous) et la carte choisie se trouvera au rang assigné.

Siiciéine exemple- — Deviner les cartes pensées.

On dispose sur une table les neuf premières cartes de même couleur, dé Vas jusqu'au neuf, d'un jeu de 52 cartes , en invitant plusieurs personnes à penser chacune une carie. Il s* agit de deviner les cartes pensées.

On prie la première personne d'ajouter i au double du nombre des points de la carte pensée, et de multiplier le résultat par 5.

Ce produit étant écrit sur un morceau de papier, ou mieux sur une carte (sans que, bien entendu, il vous soit montré) on invite la première personne à passer la carte à la deuxième personne.

Cette deuxième personne est priée, à son tour, d'ajouter au résultat écrit sur le papier, le nombre des points de la carte qu'elle a

C)2 RÉGRÉATlO^iS MATHÉMATIQUES

pensée, et de doubler le total obtenu, d'ajouter ensuite i au produit, et enfin de multiplier par 5 le dernier résultat.

Elle passe alors le papier à la 3"** personne qui ajoute» au dernier résultat, le nombre des points de la carte qu'elle a pensée, double la somme obtenue, ajoute i au produit et multiplie par 5.

On continue ainsi jusqu'à la dernière personne.

On demande le résultat final obtenu, on en retranche (à part soi) un nombre formé d'autant de 5 qu'il y a de personnes ayant pensé une carte et le chifTre des plus hautes unités de la différence donne le nombre des points de la carte pensée par la première personne, le chiffre suivant représente le nombre des points de la carte pensée par la a"* personne, et ainsi de suite.

L'explication est trop simple pour que nous nous y arrêtions.

Lorsque l'un des chiffres dans la différence est zéro (à l'exception du dernier à droite, qui l'est toujours), c*est que la personne dont le rang correspond au rang occupé par le zéro, s'e^t mêlée au jeu sans penser de carte.

On remarquera que le nombre que l'on retranche, constitué par autant de 5 qu'il y a de personnes ayant pris part à la récréation, est précisément celui que l'on obtiendrait par le calcul précédent, si toutes les personnes n'avaient pensé aucune carte.

Considérons, en particulier, le cas de 5 personnes. Si toutes ces personnes pensent la carte i, le résultat trouvé serait i66.665 eton a bien i66.665 — 55.555 = iii.iio.

Si chacune de ces 5 personnes avait pensé la carte a, le résultat final serait 277.775.

Si chacune d'elles avait pensé la carte 3, le résultat final serait 388885, et ainsi de suite.

On peut varier la récréation en commençant par faire quintuplet puis multiplier par a.

Enfin la même récréation peut se faire, dans une classe avec les neuf premiers nombres, ou encore avec des petits morceaux de carton sur lesquels les neuf premiers nombres sont inscrits et que l'on donne à choisir aux élèves.

PROBLÈMES d'aBITHMÉTIQUE DATANT DU MOTEN-AGE gS