DU MOYEN-AGE

Avant d'abandonner ces quelques questions élémentaires, nous mentionnerons divers petits problèmes qui depuis quatre siècles déjà figurent dans presque toutes les collections de récréations mathématiques et qui, par conséquent, ont droit à une place dans un ouvrage de cette nature.

Premier exemple (*)• — La récréation suivante est un exemple d'une certaine catégorie de ces questions.

Trois hommes volent chez un marchand un petit fut contenant a4 litres de vin, ils n'ont en leur possession que trois mesures dont les contenances sont 5, ii et i3 litrcA. Comment s'y prendront-ils pour faire le partage en trois parts égales.

Les problèmes de cette nature se traitent par tâtonnements ; le cas présent offre plusieurs solutions. Nous en résumons une dans le tableau suivant :

Les contenances du fût et des trois mesures sont :

Les quantités de liquide contenues à Vorigine sont :••.••....•,.

I® On remplit a mesures et une partie de la trobième . . •

a® On reverse i6 litres dans le fût . , .

3® On opère un transvasement

4* On remplit la mesure de i3 litres. . .

la mesure de 5 litres

6* On obtient finalement

j3Iu

(*) Quelques problèmes semblables sont donnés par fiachet, appendice, prob, III. p. 206; prob. IX, p. a33, par Oughlred dans ses Récréations, p. aa, et par Ozanam^ édition de i8o3, vol. I, p. 74f édition de i84o, p. 79. Des exemples plus anciens figurent dans les écrits de Tartaglia, et dans la Tripartj^de Nicolas Ghuquet (écrit en i484).

néCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

La solution suivante est peut-être un fftn plus simple :

I* On remplit (]oux mesures

2® On opère un Iransvasemenl

S** On acliève de remplir la mesure de i3 litres avec les 5 litres et on verse lo surplus dans la mesure de 1 1 litres . .

4° On remplit de nouveau la mesure do 5 litres

On transvase

«lit

oiit

,,iit

5 lit

Deuxième exemple. — Cette récréation consiste en un jeu bien connu qui n'exige que la présence de deux personnes A et B. L'une d'elles, A si Ton veut, commence par cboisir un certain nombre ne dépassant pas une limite déterminée, six par exemple ; B à son tour désigne un nouveau nombre ne dépassant pas six que Ton ajoute à celui pris par A. A cette somme A peut faire ajouter un troisième nombre remplissant toujours cette condition de ne pas surpasser six, et ainsi de suite. Celle des deux personnes qui, U première, atteint un nombre fixé à l'avance, cinquante par e^çemple, gagne la partie.

Il est évident que si le joueur A arrive le premier à la somme 43, quel que soit le nombre choisi par le second joueur B, A peut gagner à la prochaine fois. De même, si A arrive le premier à 36, B ne peut l'empêcher d'arriver également le premier, à 43. Il résulte clairement de là que la clef du jeu consisté à s'arranger de façon à atteindre le premier l'un des termes de la progression arithmétique.

Dans ces conditions celui qui ouvre le jeu peut toqjours gagner.

On vérifie également, de la même manière et aussi facilement que si les joueurs s'Imposent la condition de ne pas choisir un nombre supérieur m et que si n e^|; le ^omhf e qu'îl ^'^gj^ d'Atlelp^té

PROBLEMES D'AniTHM^TIQUE DATAWT DU MOTEX-AGE qS

le premier pour gagner la partie, les nombres que nous pouvons appeler « les nombres clefs » du jeu, forment les termes d'une progression arithmétique dont la raison est m + i et dont le plus petit est le reste obtenu en divisant n par m + i .

Le môme jeu peut se jouer sous une autre forme en plaçant sur une .table n objets quelconques (pièces de monnaies, jetons, allumettes, etc.). Les deux joueurs enlèvent chacun à leur tour, un certain nombre de ces objets mais sans que ee nombre puisse surpasser m et, celui qui prend le dernier objet, gagne.

On voit sans peine, que « les nombres clefs » sont les multiples de m -h I et le premier joueur qui a la faculté dé laisser sur la table un multiple de m -|- i peut toujours gagner.

Le jeu peut également se présenter avec cette condition que le joueur perdant est celui qui prend le dernier objet. Dans ce dernier cas, chacun des « nombres clefs » surpasse de i un multiple de (m -h i).

M. Loyd a également fait connaître (*) une variante qui revient à disposer n jetons en cercle et à inviter les deux joueurs à en retirer, chacun à leur tour, un certain nombre ne surpassant pas un nombre fixé à l'avance m, lequel est plus petit que n et plus grand que I. Les jetons retirés doivent être pris h la suite et sans laisser de vides. Pans ces conditions le second des joueiirs peut toujours gagner.

Généralisation récente de cette question, — Les jeux que nous venons d'exposer sont très simpjes, mais si nous ajoutons à la condition imposée aux joueur^ dans la première question cette restriction que chacun d eux ne peut ajouter le même nombre plus de trois fois, l'analyse du problème n'est plus si aisée. Il est difficile dans ce cas, de dire s'il y a avantage ou non à commencer à jouer. Gomme nous n'avons vu cette généralisation traitée dans aucun

(*) Tit-BitSf Londres^ 17 juillet et 7 août 1897.

ouvrage, nous allons la présenter ici pour compléter notre récréation.

Supposons que chaque joueur ait en sa possession dix-huit cartes, trois portant le nombre six, trois portant le nombre cinq, trois marquées quatre, trois marquées trois, trois marquées deux et enfin trois portant le chiffre un. Ils jouent alternativement : A commençant par poser une de ses cartes, puis B, et ainsi de suite. Celui qui le premier pose une carte telle que la somme des points ou des nombres inscrits sur toutes les caries posées égale 5o gagne la partie ; mais la partie est perdue lorsqu'on posant une carte, la somme totale de tous les points surpasse le nombre limite 5o.

Le jeu peut se pratiquer en comptant mentalement ou en inscrivant les nombres, au fur et à mesure, sur un papier ; les cartes ne sont donc pas indispensables.

Supposons que A et B jouent comme il suit :

8 17 25 34 43 jeu de A — 4 — i — 3 — 4 — 4 — 5

jeu de B — 3 — 6^ — 4^ — 5 — j4l..

Le jeu est arrêté à quarante- trois, B peut maintenant gagner, car il a toute liberté pour placer un trois, tandis que A n'a pas un autre quatre à poser à la suite ; si A joue un nombre moindre que quatre, B gagne à la mise suivante.

Voici encore une autre partie :

10 19 25 3i 38 45 jeu de A — 6— T— 3 — "2" — T — 2 — 2 jeu de B — 3— 6— 4— 1^— 5— ^—3.

A est alors forcé de jouer un et B gagne en posant le même nombre i . Le jeu peut également se faire en donnant à chaque joueur deux cartes de chaque espèce (c'est-à-dire portant le même numéro) au lieu de trois.

PROBLEMES d' ARITHMÉTIQUE DATANT DU MOTEN-AGE 97

Troisième exemple. — La récréation suivante est un peu plus compliquée.

Trois personnes P, Q, R choisissent trois objets que pour simplifier nous représenterons par les trois lettres a, e, i et la question consiste à déterminer Tobjet choisi par chacune des personnes (*).

On prend 34 jetons dont on donne i à P, 2 à Q, et 3 à R, puis les 18 jetons qui restent étant posés sur la table, on se met à l'écart et on invite : 1° la personne ayant choisi Tobjet représenté par a, à prendre une fois autant de jetons qu'elle en a déjà ; la personne dont le choix s'est porté sur Tobjet désigné par e, à prendre deux fois autant de jetons qu'elle en possède ; enfin 3° la personne ayant choisi Fobjet i à prendre quatre fois autant de jetons qu'elle en a déjà.

On demande alors combien il y a de jetons sur la table. Les trois objets a, e, i peuvent être distribués de six manières différentes entre les trois personnes P, Q. R et le nombre des jetons qui restent sur la table n'est naturellement pas le même à chaque fois. Les six restes possibles sont :

I, 2, 3, 5, 6 ou 7.

Bachet résume ces résultats dans la phrase mnémonique suivante :

Par fer César jadis devint si grand prince

En correspondance avec chaque reste on a un mot ou deux mots contenant deux des trois syllabes a, e, i ; par exemple, au reste 5 correspond le mot devint : la voyelle e contenue dans la première syllabe spécifie l'objet pris par P, la voyelle i de la seconde syllabe indique l'objet choisi par Q et, par suite, la dernière personne R possède l'objet a.

Oughtred (^) a imaginé cette nouvelle phrase mnémonique :

Salve

certa

animx

semita

viia

quies

(*) Bachet. — Problème XXV, p. 187.

(*) Mathématicall Récréations, Londres, i653, p. ao. Récréations mathématiques.

g8 RÉGRéA.TI0N8 MATHÉMATIQUES

Ësitensioii* — M. Ëourlet dans une très obligeante notice (^) sur la seconde édition de cet ouvrage a donné une solution plus élégante de cette question en retendant au cas de n personnes P,,, Pj, Pj, ... P„..i dont chacune fait choix d*un objet dans une collectioa de n objets comme des dominos ou dés cartes. Le problème consiste à déterminer le domino ou la carte choisie par chaque personne.

Supposons que les objets soient marqués successivement o, i, a, S, li,,,,n — i,au lieu d'être représentés par des voyelles.

Donnons un jeton àP, ; deux jetohs à Pj, et, d*une façon générale, k jetons à Pfc ; liotons le nombre des jetons qui restent sur la table. Cela fait, dites à la personne ayant choisi l'objet numéroté o, de prendre autant de jetons qu'elle en a déjà, et d'une façon générale, à la personne ayant prisTobjet portant le numéro h de prendre n^ fois autant de jetons qu'elle en a déjà : ainsi, en admettant que la personne P^ ait choisi l'objet munéroté h, cette personne devrait prendre h!*k jetons.

On compte alors le nombre total des jetons pris, (on l'obtient par différence), il a pour expressîoti générale tn^ . k.

Divisons ce nombre par n, le îeste de! Topération sera le liuitiéro de Tobjet pris par Pq ; divisons le quotient par n, le nouveau reste sera le numéro d'ordre de Tûbjet choisi par P, ; divisoris encore le quotient par n et le reste de l'opération nous donne le numéro que porte l'objet pris par P^ ; et ainsi de suite.

En d'autres termes, en écrivant le nombre Jln^k qui est l'expression du nombre total des jetons pris, dans le système de numération à base n, le (h -j- i)™* chiffre, en partant de la droite du nombre, représente le numéro d'ordre de l'objet choisi par la personne ï*;^.

Ainsi en appliquant cette méthode au problème de Bachet avec trois personnes et trois dominos, on devrait donner un jeton à Q, deux Jetons à R fet P ne recevrait rien ; on dirait ensuite à la personne ayant pris le domino marqué o ou a, de prendre autâht de

(*) Bulletin des Sciences Mathématiques» Paris^ i^Q^j voh XVll, pp. 105-1074

PROBLEMES d'aRITHMÉTIQUE DATANT DU MOYEN-AGE 99

jèlôtiii (Jti*élle éti a déjà, Ji la personne ayant ctioisi le domino marqué t oti e, dé prendre 3*, c'est-à-dire trois fois autant de jetons qu'elle eh possède, et enfin, à la personne qui a le domino marqué 2 ou î, de prendre â^ bii nelif fois autant de jetons qu'elle en a déjà.

En éottiptanl lés jelons au début de ^opération et en remarquant qli4l efi a été dorihé trois aux personnes Q et R, on peut déterminer le riotriblre tôUl des jelons pris par les trois personnes. En divisant alors ce nombre par 3, le reste de Topération sera le numéro du dOiiiinb choisi par P ; eh divisant le quotient par 3, le nouveau i*estô sera le numéro du domino pris par Q, et erifin le derniet quotient reptésetttera le riùtnérô du domino que R a choisi.

Ajoutoris encore que Ëachet a discuté le cas où n = 4, qui avait été primitivement traité par Diego Palomino en 1699 ; mais comme la méthode de M. Bourlét est générale, nous ne jugeons pas utile d'exattliner d'autres cas particuliers.

fiéblniàiiôn- — té dernier de ces anciens probletnes auquel nous fêtons allusion ici, consiste à disposer circulai rement un certairt tibihbrè d'hommes de telle sorte que, si en les comptant à partir de rtiil deux, oh tue loiis ceux qui occupent successivement le neuvième râhg, ceiix qui restent soient designés à l'avance. Lorsque la dédiriatiort était pratiquée d'une façon courante pour châtier des rëbôllëà oU deis troupes révoltées, la connaissance du procédé à suivre polit ârrlVét à un pareil résultat n'aurait pas été sans oiïrir de l^intérét et aurait permis aux chefs de se débarrasser à coup sûr des mauvaises têtes.

Hegesippe(*) raconte que Joseph sauva sa vie par un tel stratagème. Suivant son récit, après la prise par les Romains de la ville de Jotopat, Joseph et quarante de ses coreligionnaires se réfugièrent dans une eavernes A fton gtand désappoihtemeht Joseph cohstàta que, malgré ses exhortations, tous ses ëompagrioris, à rexceptiotl d'un seuU étaieilt dans rititëtition de âe tuer pour tie pas tohlbet

{*) De Bèilô Judaico^ livre lit, cha^Jltre, xvt et xvîfi. \ ■ - "

100 néCRÉATIOllVS MATHÉMA^TIQUES

entre les mains de leurs vainqueurs. Craignant d'exciter leur colère en cherchant plus longtemps à les dissuader d'accomplir un pareil acte de désespoir, il feignit de partager leur idée, mais il les engagea à procéder sans confusion et d'une façon régulière.

Il fut donc décidé que toute la troupe se placerait en cercle et que chaque troisième homme serait tué jusqu'à ce qu'il n'en restât plus qu'un seul qui devait alors se suicider. D'après la légende, Joseph se plaça avec son compagnon respectivement au 3i' et au i6" rang, et on se rend facilement compte, sur une figure, du résultat obtenu.

La question est généralement présentée sous cette forme : Un vaisseau portant comme passagers quinze chrétiens et quinze turcs est assailli par une tempête d'une telle violence que le pilote déclare que pour sauver le navire et son équipage il est nécessaire de précipiter à la mer la moitié des passagers. Pour choisir les victimes on décide que les passagers seront disposés en rond et qu'en les comptant à partir d'un point déterminé, chaque homme occupant le neuvième rang serait précipité par dessus bord. Le problème consiste à placer les passagers de telle sorte que les quinze chrétiens soient sauvés (^).

Toutes les questions de cette nature peuvent être résolus facilement en comptant, et il est impossible de formuler une règle générale. Dans le cas qui nous occupe et, en partant du passager compté le premier, les chrétiens doivent occuper les places i, a, 3, 4. lo, II, i3, i4, i5. 17, 30, 21, 25, 28, 29. Cet arrangement peut se retrouver par la position des voyelles dans la phrase suivante donnée

parBachet (*).

Mort tu ne failliras pas

En me livrant le trépas!

(1) Baghet. — Problème XXIII, p. 174. Le même problème avait été primitivement énoncé par Tartaglia.

(^) M. Bail donne comme phrase mnémonique le vers suivant : l^roçi .; mmber*^ , aid and art, never will famé départ

PROBLEMES D ARITHMETIQUE DATANT DU MOTEK-AGE tOI

OÙ a compte pour i. e pour 3, i pour 3, o pour 4 et u pour 5. Par suite (en ne considérant que les voyelles) on obtient Tordre suivant.

4 chrétiens, 5 turcs, 2 chrétiens, i turc, 3 chrétiens, i turc, i chrétien,!! turcs,2 chrétiens, 3 turcs, i chrétien, 3 turcs,3 chrétiens et i turc.

Bachet et Ozanam donnent d'autres phrases mnémoniques en français et en latin.

Quelques paradoxes arithmétiques et algébriques. —

Nous allons maintenant donner quelques exemples de démonstrations arithmétiques et algébriques (*) conduisant à des résultats mani-

(') De tous les paradoxes donnés dans le texte, le premier, le troisième et le cinquième sont bien connus. Le deuxième et le 'quatrième sont empruntés aux premiers principes d'algèbre de Laisant et Perrin, le sixième n'est pas connu, et le plus ancien ouvrage dans lequel nous nous souvenons ravoir vu est notre « Algèbre », éditée à Cambridge en 1890, p. 43o. Le septième est donné par G. G. Ghrystal dans son « Algèbre » éditée à Edimbourg* 1889, Vol. II, p. 169. Le dixième est dû à M. G. T. Walker et, aussi loin que nos recherches ont été faites, n'a été publié jusqu'ici dans aucun ouvrage ; le onzième est de d'Alembert. M. Chartres a démontré au moyen delà mécanique la relation 1=3 dans le n® de juillet 1891 du journal Knowledge, M. Bertrand a fait voir qu'on pouvait démontrer Tégalité i = — i en s'appuyant sur cette proposition du calcul intégral que^ si les limites sont constantes, l'ordre d'intégration est indifférent (*) ; c'est-à-dire que Ton pouvait poser :

dx =z \ \ (ùdx \dy

o étant une fonction de x et de y, mais si

Cp = (a?2 - ^^2) (x2 -f f^y2,

on obtient r = "~ t •

(*) M. Bertrand dans son calcul intégral parle do ce cas remarquable d'exception et l'exemple qu'il donne, analogue à celui traité par M. Bail, vient à Tappui de sa remarque. Voici d'ailleurs comment il s'exprime :

<( II faut toujours excepter le cas où les diflérentiellcs qne l'on intègre passent « par rinfini dans l'étendue des intégrations. Les intégrales, dans ce cas, n'ont pas

ÎO!l UÉPRÉATTOÎÎS MATP^HATIQUflS

festement impossibles. Les artifices employés dans ces calculs sopt si évidents que, lors de la préparation des deux premières éditions de cet ouvrage, nous n'avions pas jugé utile d*y introduire cette série de questions, mais plusieurs de nos correspondants qui ne partageaient pas notre façon de voir ayant insisté et réclamé pQttr leur publication, nous les insérons dans cette nouvelle éditiop en les présentant pour ce qu'ils valent en réalité.

Premier paradoxe. — C'est un des plus vieux, maïs non des plus intéressants : le voici en quelques lignes : Soient deux nombres égaux a et 6.

a . b = a^ , d*où ab — b^ = a} — 6'

« toujours de signiEcatiofi déieiroinée, et les tyorèmes plai)9je9quelli9« ^lles figorei^t, « n'étant pas eulBsamipent démontrés, peuvent conduire à des contradictions. « On n'a pas, par exemple.

« parce que pour a = o l'intégrale

rfe!^l£')^ devient- f'^^

« L'application pure et simple des règles ordinaires aux deux membres de « l'équation (i) donne, en effet, un résultat a)>surde. On a :

/ (a2 ^ x^ )dx X r^ (a2 — x^)d x __ I

(a;2 4- a2)2' = a2 + a;» f (a;2 + aa)2^ — i — a2»

« et

n Ç^ a 2 — a;2 ^ C^ dx ic

X Vo (^^M^W'^-^Jon^""^

« On trouverait de même

, rfa — — ""

«■et lés deux membi'es de (i) sont par conséquent inégaux.

PROBLÈMES D^RITHMÉTIQUE DATAWT DU MOYE^Îf-AGE Io3 OU

6 (a — 6) == (a -f- 6) (a — b) ; il en résulte

6 = a -f- 6 ou 6 = a6, ou enfin

Deuxième paradoxe. — On a identiquement 4 — 10 = 9 — i5 ; A est le carré de 3 ; 10 est égal à 2 fois le produit de a pas

^; de même, 9 est le carré de 3 et i5 est égal à deux fois le produit de 3 par-; complétons les carrés en ajovjtant aux deux membres le carré de - ou ^ » et nous aurons ainsi :

Extrayant les racines carrées des deux membres

et, par conséquent 2 = 3.

L'absurdité viept de l'omission du double signe en extrayant la racine.

Tf Qi9l^pi0 pfip||4exe. — Un autre exemple a»3ei! puéril est le suivait : ^QÎent ^ et 6 4pux nombres inégaux dont nous représenterons par c la moyenne arithmétique.

On a :

a -h 6 = 2 c, et

ou

a* — 6' = 2ac — 26^, ou enppre a' — soc c= 6* — 2 be.

io4 rÉcreatio:«s mathématiques

On déduit de là :

«2 — 2ac + c^ == 62 — 6» — 36c -+- c*

ou

(a — c)2 = (6— c)»; d'où

donc tous les nombres sont égaux.

Quatrième paradoxe. — Soient a et 6 deux nombres quelconques ayante pour différence. Alors

Multiplions les deux membres de cette égalité par a — 6, il vient

a* — 2ab -f- 6* = ca — c6, ce qui peut s'écrire

Divisant les deux membres par a — b — ^ c, on a : a == 6. Donc encore tous les nombres sont égaux.

Cinquième paradoxe. — Un autre exemple dont Tidée première appartient à Jean Bernouilli peut s'établir comme il suit : Nous avons évidemment

d'où, en prenant les logarithmes

2 log (— l) = log I = 0,

ou

log(— i) = o, — I = e%

PROBLEMES d' ARITHMÉTIQUE DATANT DU MOYEN-AGE Io5

donc

On peut arriver d'une autre façon à la même conclusion. Représentons par x une quantité satisfaisant à l'équation

et élevons les deux membres au carré, il vient :

e^* = I, d'où 2X = 0, x = 0,

et

mais c* = — I et e* = i , donc — i = i .

Sixième paradoxe. — Voici encore un nouvel exemple ; Nous savons que :

log (i -\- x) = x X* "h « X» — ...

Si a; = i, la série résultante est convergente, nous avons alors :

log 2 = I — ~ H- 2 — - -h - — ^- H H

d'ot

ou

Groupons les termes ayant le même dénominateur et simplifions : .V 1 i I I 1 I I ,

Par suite 2 = 1.

lofi

RéCHGATXOSS BfATHÉlfATIQUES

Septième paradoxe. — Voici un nouvel exemple différant peii du précédent :

Log 2 = i

Dans les exemples qui précèdent, Terreur de raisonnement est manifeste, m^is elle se dépoiivre peut-être mpina facilef¥ieB|; d^ns les trois exemples suivants :

Huitième paradf^ze. — Nous pouvons mettre Tidentité ^ — I = V^ — I sous la forme

d'où :

c'est-à-dire — i = !•

et (v/- i)-^ = (v^T)^

Neuvième paradoxe. — Nous avons également

Dès lors :

^ROBlImES D*AUlTPMÉTIQUp DitÀ^r pV MOYEN-AGE ÎQ7 OU

c'est-à-dire :

Dixième paradoxe. — Dans la démonstration qui suit on s'appuie sur ce fait qu'une identité algébrique est vr^îe quels que soient les symboles qui y figurent.

Or, nous avons une identité.

(i) ^x — y = lYy — aï

dans laquelle î représente + y/ — 1 ou — ^ — i .

Mais une identité en a; et j est nécessairement vraie quels que soient )es pombres représentés par x et 7.

Posons tpnt d'jabord :

(2) x = a et y = b \fa — 6 =î y/ft — a .

Faisons ensuite :

(3) X = by y = a ^h — a=^l}Ja — 6 •

Or, puisque (i) est une identité, il s'ensuit que dans (2) et (3) le symbole i doit être le mênie, c'est-à-dire qu'il représente dans l^ft deux cas

H- ^— I ou — y/ I .

Par suite dp (3) et (3) nous déduisons :

OU

c'est-à-dire

108 RÉCiléATIOIlS MATBÉUATIQUE8

Onzième paradoxe- — L'arti&ce suivant est dû à d'Alembert (■). Lorsque quatre nombres sont tels que le produit de deui d'entre eux est égal au produit des deux autres, ces quatre nombres forment une proportion et si le premier terme de cette proportion est plus grand que le second, le troisième terme aéra également plus grand que le quatrième.

Ainsi, de a.d = b.c on déduit c^ j- et si on a : a > 6, on aura aussi c > d.

Posons maintenant a =^ d = i elb =^ c = — i, nous avons bien quatre nombres satisfaisant à la relation a.d ^ b.c et tels que a >■ (», on devrait donc avoir aussi c > d, c'est-à-dire — i >■ i , ce qui est absurde.

Dou2i6me paradoxe. — La théorie mathématique des probabilités conduit à de nombreux paradoxes dont il nous suffira de donner un spécimen (').

Supposons que l'on lance en l'air trois pièces de monnaie en observant et notant si chacune d'elles tombe « pile u ou h face ». La probabilité que les trois pièces tombent toutes c6té « face ii

est évidemment (-J , ou «; de même, la probabihté que les trois

tombent càté « pile n, est également!. Par suite, la probabilité

que les trois pièces tombent de la même manière (c'est-à-dire, soit

toutes cAté face, soit toutes c6té pile) est î ■ Mais, parmi les trois

pièces ainsi lancées, deux au moins tombent de la même manière ;

'enant la probabilité que la troisième pièce tombe, cAté face

et la probabilité qu'elle tombe, côté pile '- ; dès lors la proba-

de la voir tomber comme les deux autres est représentée

tpiacales ntalk^maiiqiia, Paris, 1761. vol. I, p. 30i.

'oir la journal anglais Nalare, i5 fâviier et 1" mars 1894, Tol. XLIX,

PROBLEMES D* ARITHMÉTIQUE DATAI9T DU MOYEN- AGE lOQ

par - . II semblerait donc résulter de là que la probabilité que les trois pièces tombent de la même manière est - et non > .

Nous laissons à nos lecteurs le soin de déterminer quelle est, de ces deux conclusions contradictoires, celle qui doit être rejetée. Nous pensons intéresser le lecteur en citant encore ce paradoxe. Effectuant la division de i par i + ^, on trouve la série :