LéC nombre un
Un I se trouvant à la tête De quelques numéros pos6; Autant que mille élait prisé Et de lui chacun faisait fête.
îl^ l\ÉGRÉATIO?ÎS MlTHÉMAtlQUËS
Le lendetnaih) ^Iratigis cas I Notre I se trouve un peu plus bu ; Et dix fois moins considérable Chacun le trouve aussitôt.
De ce revers qu'il trouve inconcevable A son voisin il demande le mol.
« Amî, dit-il au g, comment de grice, « En un seul jour, puis-je être ainsi changé ?. » — « Ce n*est point, lui répohd le ehlAVe interrogé, Vous qui l'êtes, c'est votre place !
<( Gardes arec soin votre rang, « Car c'est ce rang que Ton honore I « Demain, si vous baissez d'un cran^ (( Vous vaudrez dix fois moins encore 1 a Ceci vous montre, cher lecteur.
Quelle est au juste la valeur D'un, premier de tous les nombres^ Quand il est seul, sans autres nombres.
C'est l'unité ; mais c'est bien différent Lorsque devant plusieurs on lui fait prendre rang.
9. Le voyage d^une pièce (Tor. — Si un homme gagne à voyager, il n'en est pas de même pour une pièce d*or. — Alfred de Vigny a voulu se rendre un compte exact de la perte provenant d'un change continuel. Il partait pour ce voyage d'au-delà du Rhin que foat aujourd'hui tous les personnages politiques et tous les penseurs. En quittant la France, il se rendit en premier lieu à Francfort. Là, il s'adressa à un riche négociant, auquel il était recommandé, et il le pria de lui changer une pièce de vingt francs en diverses monnaies du pays. Le poète prit cette monnaie et il la plaça dans une bourse particulière. Arrivé à Munich, il changea la monnaie de Francfort contre une égale somme de monnaie bavaroise. A Berlin, il changea l'argent de Munich contre l'argent prussien. A Vienne, il fit le même jeu, puis à Milan, puis à Naples, puis à Rome. Après avoir parcouru l'Italie, il passa en Suisse, descendit le Rhin, traversa la HoUande e^* la Belgique, changeant
îjtfeSTlOîîS DltÊRSÈS Il5
toujours la monnaie du pays qU*il quittait pour la monnaie du pays dans lequel il arrivait s'adtessant partout à des personnes dignes de confiance, et s'assuraht qu'on ne le trompait pas et qu'on ne lui retenait rien pour Pescomple. Tout en cheminant, la bourse aux vingt francs perdait sensiblement de son poids. De pays en pays, la monnaie devenait plus légère et moins nombreuse. A la fin du voyage, c'est-à-dire le i5 mars 1847, l'auteur de Stello changea les débris Je sa pièce contre de la monnaie de France, et savez-vous ce qui restait de cette pièce d'or qui n'avait rien dépensé ? 11 restait soixante centimes. Alfred de Vigny en prit occasion pour écrire sur son carnet l'aphorisme que voici ; pour un artiste voyageur, un napoléon ne vaul que douze sous,
10. Démontrer que sur la terre deux hommes au moins ont le même nombre de cheveux^
Un Anglais, le docteur Erasmus Wilson, à la suite de patientes investigations, est arrivé à déterminer le nombre de cheveux qui ornent Une tête humaine. Il a estimé que chaque pouce carré de la tête contient i 066 cheveux. Or, la superficie de la tête étant à peu près de lao pouces carrés, la tête entière est couverte en moyenne de 127920 cheveux.
Fartant de là, on peut avancer que toute personne a au moins I cheveu et au plus iSoooo cheveux.
Cela posé, considérons 1000 000 d'hommes, chiffre inférieur à la seule population de la France. Si vous ne voulez pas admettre que quelques-uns d'entre eux aient le môme nombre de cheveux, c'est que chacun d'eux a un nombre différent de cheveux. Il faut donc pour cela que l'un d eux ait un cheveu, un autre 2 cheveux, un autre encore 3 cheveux, et ainsi de suite jusqu'à iSoooo. Mais le i3oooi et les suivants, qu'auront-ils puisqu'une tête humaine ne peut pas avoir plus de i3oooo cheveux et moins de un.
Il faut donc nécessairement que quelques hommes et, par suite» au moins deux, aient le même nombre de cheveux.
Il6 RÊGRÉATIO>S MATHEMATIQUES
Il paraîtrait que cette question, fut posée et expliquée par Nicole « un des auteurs de la Logique de Port Royal à la duchesse de Longueviile, qui n'y aurait d'ailleurs rien compris.
On établirait de même, qu'il est nécessaire que deux oiseaux aient autant de plumes, deux poissons autant d'écaillés, deux arbres autant de feuilles, de fleurs ou de fruits^ et peut-être autant de feuilles, fleurs et fruits tout ensemble.
On peut encore dire que dans un livre, dont le nombre des pages est plus grand que celui des mots contenus dans chaque page, on trouvera certainement deux pages contenant le même nombre de mots.
Deux hommes peuvent-ils être a la fois oncle et neveu Vun dé Vautre (*),
Sans entrer dans des détails prolixes auxquels le lecteur suppléera
facilement, nous donnons trois * solutions de cette question amusante. H et ttj sont deux veufs qui ont chacun une fille Y h et F^.
Hj épouse la fille F^ de H et de ce mariage naît un fils A.
H épouse la fille F; de H^ et de ce mariage est issu un fils B.
Examinons la parenté de A et deB.
Fig I.
B fils de II est frère de F/» qui est la mère de A, donc B est l'oncle de A.
B est le fils de FJ, qui est la sœur de A, donc Best le neveu de A.
Au lieu de prendre deux veufs, on peut examiner le cas de deux veuves V et V^ ayant chacune un fils F^, F(j,
(*) Magfarlane. — Problem in relationship, Edinb, Proc, XV, 1888, p. 116-117. W. Ahrens, Mathematische unterhalungen und spiele. Leipzig, 1901,
Fig. a.
V épouse le fils Fi de V^ et du mariage nf ît un fils A.
Vj épouse de son côté le fils F^, de V et du mariage est issu un filsB.
A et B sont encore oncle et neveu.
Considérons, en troisième lieu, le cas d'un veuf V et d'une veuve Y' ayant le premier un fils F», et la seconde une fille F'.
V épouse la fille F„' de V et de ce mariage naît un fils B. V
V épouse le fils F», de V et de ce mariage naît un fils A.
B fils de V est frère de F„ qui lui, est le père de A, donc B est Toncle de A.
B fils de Fi sœur de A, est également le neveu de A.
II est évident que la question peut être variée en considérant les cas de parentés suivants ; Tante et nièce ; — oncle et nièce ; tante et neveu.
Mais le dernier exemple donné prête, en jouant sur les mots, à une curieuse facétie.
F« fils du veuf V a épousé V, c'est-à-dire la mère de la femme Fi, de son père ; mais la mère de la femme de son père est sa grand'mère ; donc F^ est marié avec sa grand'mère ; de plus, le mari de sa grand'mère est son grand^père ; donc enfin F^ est son propre grand-père.
Nous rapprocherons de cette question la suivante empruntée à l'ouvrage de Legouvé, soixante ans de souvenirs (tomell, p. 194,195).
Esi'il possible que deux hommes aient une même sœur et ne soient pas parents ?
L'explication est simple : un homme A se marie, B est sa femme pt de cette union une lÛle G eat issue.
A et B divorcent.
Il8 RÉGRéilTIQ!^a MATHÉlfATIQUES
A se remarie et a un fils D de ce secopd mariage,
]] se remarie h son tour et a un fils E,
D est frère de G par le
père, P est également frère de G par sa mcre et cependant D et E ne sont pas parents.
Le cas que nous citons r.. 3 était celui d'Euffène Sue
Fig. 3. o
et d'Ernest Legouvé.
M. Sue (A) s'était marié avec M"" Sauvan (B). Ils eurent une fille (G) Flore Sue.
Apres divorce, M. Sue s'étant remarié, eut un fils (D), Eugène Sue, le romancier connu.
M'^" Sauvan de son côté se maria avec M, Legouvé et eut comme fils Ernest Legouvé (E).
Eugène Sue et Ernest Legouvé avaient donc tous les deux pour sœur, Flore Sue.
Le problème des poids de Bachet (*). — L'un des plus difficiles problèmes proposés par Bachet consiste à déterminer le plus petit nombre de poids à employer pour peser un nombre quelconque de livres de i à 4o livres inclusivement. Bachet donne deux solutions qui sont :
1° La série des poids de i, 2, 4, 8, i6 et Sa livres ;
2° La série des poids de i, 3, 9 et 27 livres.
Si les poids ne peuvent être placés que dans un seul 4es plateaux de la balance, la première série donne la solution de la question, comme Pavait déjà fait remarquer Tartaglia en i556 (^).
(1) Bachet. — Appendice. Problème V, p. 21 5. Dans le problème de Bachet il s'agit de la livre, ancienne mesure de poids, mais le lecteur peut substituer le mot kilo au mot livre.
(*) Trattato de numeri e mesure, Venise, i556, vol. II, livre I, chap. xvi, art. 3a,
QUESTIONS DIVERSES IIQ
lilaia, an admettant, œmme Bachot, que les poids peuvent être indifféremment placés dans les deux plateaux de la balance, la seconde série donne le plus petit nombre de poids pour résoudre la question.
Son raisonnement est le suivant : pour peser i livre, un poids de I livre est nécessaire. Pour peser a livres, il nous faut soit un poids de 2 livres, soit un poids de 3 livres ; mais si nous ne voulons prendre qu'un seul nouveau poids (en plus du poids de i livre déjà en notre possession) aucun poids supérieur à 3 ne pous donnera le moyen d'effectuer la pesée de 2 livres. 11 nous faut donc choisir entre les poids a et 3.
Or, si nous prenons le poids de a livres, nous pourrons peser I livre, 2 livres et 3 livres. Tandis que si nous prenons le poids de 3 livres, nous pourrons former les poids de i livre (3 — i) ou ra livres, 3 livres et (3 -f- i) ou 4 livres. Par conséquent, il est plus avantageux de prendre le poids de 3 livres.
De même, pour nous permettre de peser 5 livres, il nous faut un autre poids ne dépassant pas 9 livres, et avec un pareil poids il nous est possible d'effectuer toutes les pesées de i livre à i3 livres. C'est donc le poids de 9 livres qu'il faut choisir.
Le nouveau poids à prendre doit être a ( i -4- 3 4- 9) 4- 1 , c'està-dire a 7 livres, et nous pourrons alors faire toutes les pesées de 1 livre à 4o livres inclusivement.
En résumé, 4 poids seulement sont nécessaires, ce sont les poids de I livre, 3 livres, S* livres et 3^ livres.
On montrerait de la même manière que la série des poids l, 3| 8*1 3' ... 3""* livres nous permettrait de peser un nombre entier quelconque de livres depuis 1 livre jusqu'à (i 4- 3 4- 3* 4-
3' 4- ... 4- S"""*) livres, c'est-à-dire jusqu'à - (3"~*) livres et c'est
le plus petit nombre de poids avec lesquels ces pesées peuvent être effectuées.
Pour déterminer l'arrangement des poids nous permettant d'effectuer une pesée d'un nombre quelconque N de livres, il suffit
I20 RÉCHÉATIONS MATHÉMATIQUES
d^écrire ce nombre N dans le système de numération à base 3, en ayant soin, au fur et à mesure que l*on obtient le» chiffres successifs, d'opérer de façon à n'avoir pour restes que o, i ou — i : ainsi, le reste 2 devra être pris sous la forme 3 — i , c'est-à-dire que Ton augmentera, dans ce cas, le quotient obtenu d'une unité en prenant pour reste — i. Cette règle est expliquée dans tous les traités élémentaires d*algèbre.
Bachet, dans son raisonnement, ne montre pas que son résultat soit unique ou qu'il conduise au plus petit nombre possible de poids demandés. Cette lacune a été comblée récemment par le Major Macmahon qui a discuté le problème bien plus difficile (dont celui de Bachet n'est, d'ailleurs, qu'un cas particulier) consistant à déterminer toutes les séries possibles de poids (qui ne sont pas nécessairement inégaux), permettant d'effectuer une pesée d'un nombre entier quelconque de livres (ou de kilos) de i à n inclusivement : 1° quand les poids ne peuvent être mis que sur un seul plateau; 2® quand les poids peuvent être placés indifféremment dans les deux plateaux. Il a aussi étudié les modifications qu'il est nécessaire de faire subir aux résultats quand on impose l'une ou les deux conditions suivantes :
a) Il n'est pas possible d'effectuer d'autres pesées avec les poids entrant dans chaque série ;
h) Chaque pesée ne peut s'effectuer que d'une seule manière, c'est-à-dire est unique (*) ;
Pour le premier cas, la méthode revient à décomposer en facteurs l'expression i -h a; 4- a;^ -f- ... -H a;", chaque facteur étant de la forme i -+■ x*^ -h x^ -h ... -\- a?*"^ ; le nombre des solutions dépend de la composition de n -f- 1 .
Pour le second cas, la méthode consiste à décomposer l'expression x-n 4- a;-"+^ -h ... 4- x-^ H- I -+- a; -f- ... -f- x'^-^ -h a?" en fac-
(1) Voir son article dans le Quarterly Journal of Mathematics^ 1886. Vol. XXI, pp. 367-873. Un aperçu de la méthode est donné dans le journal ffature, 4 décembre 1890. Vol. XLII, pp. ii3-ii4*
leurs de la forme x"^^ -+- ... -+- x"^ + i -H »« 4- ... + a'"'»; le nombre des solutions dépend de la composition de an + i .
Le problème de Bachet entre dans le second cas, n = 4o.
L'analyse de Macmahon montre qu'il y a buit manières de décomposer en facteurs l'expression
a;-*© ^ 3.-39 4. ... 4. I ^ .,. ^ a;39 + a-io^
tout d'abord, il y a l'expression elle-même dans laquelle a =;? i.
I ~— x^^ m = 4o; en second lieu l'expression est égale à -j-q. v et sous
cette forme, on voit qu'elle peut se transformer en un produit de
deux facteurs -^ v et —3^-; ^ par conséquent, elle peut
Xi I ~~~ Xj X (I """" X I
être décomposée en deux facteurs de la forme ci-dessus en supposant dans l'un a = i, m = i et dans l'autre a= 3, m = i3.
Comme troisième solution, on trouve une décomposition en deux facteurs dans l'un desquels a = i, m = 4» et dans l'autre = 9, m = 4.
Pour la quatrième solution, nous avons trois facteurs : dans le premier a = i , m -+- i ; dans le second a = 3, m = i , et dans le troisième = 9, m = 4.
Cinquième solution ; décomposition en deux facteurs ; dans l'un a = I, m = i3, et dans l'autre a = 27, m = i.
Sixième solution ; décomposition en trois facteurs ; dans le premier, a = i , m = I ; dans le second, a = 3, m = 4 et dans le second, a = 3, m = 4 et dans le troisième, a = 27, m = i.
Septième solution; nouvelle décomposition en trois facteurs : dans le premier, a = i, m = 4î dans le second, a = 9, m = i et dans le troisième, a = 27, m = i.
Enfin, huitième solution ; décomposition en quatre facteurs ; dans le premier, a = i, m = i ; dans le second, a = 3, m = i ; dans le troisième, a = 9, m = i et dans le dernier a = 27, m = i .
Ces résultats montrent qu'il existe huit séries de poids avec lesquels
I3S RÉCRÉATIÛKS MATHÉIf ANTIQUES
il est possible 4e peser un nombre entier quelconque de livres de i à 4o inclusivement en s'imposant les conditions 2^ (a) et (b) spécifiées plus baut.
Si nous convenons de représenter n poids égaux cbaoïin à p par la notation p^, ces huit solutions sont i
La dernière est celle de Bachet ; non seulement ^lle est celle qi)i utilise le plus petit nombre de poids ; mais elle est aussi la seule dont tous les poids sont inégaux (^).
Terminons ce chapitre en montrant sur trois exemples comment il arrive fréquemment que la solution d*un problème conduit à des résultats diflcrents de ceux qu'un examen trop superficiel avait laissé entrevoir.
I , — Deux commis sont payés à raison : le premier de 1 000 francs par an avec une augmentation annuelle de 20 francs, le second à raison de i 000 francs, comme le premier, avec une augmentation semi-annuelle de 5 francs. Sachant que les paiements se font tous les ans pour le premier et tous les six mois pour le second, on demande quel est celui qui gagne le plus.
G*est le dernier et en voici la raison :
A la fin de la première année le premier commis touche i 000 fr. tandis que le second a reçu 5oo fr, -f- 5o5 fr. ou i oo5 francs.
A la fin de la seconde année, le premier commis reçoit i 020 fr., et le second a touché 5io fr. h- 5i5 fr. ou ro25 francs.
A la fin de la troisième année, le premier commis touche i o4o fr. et le second a reçu 620 fr. -4- 626 fr. ou i o45 francs.
On voit donc, sans aller plus loin, que le second commis gagne tous les ans 5 francs de plus que le premier.
(*) C'est dans VArithmetica intégra de Stifel (Norimberge, i554) qu'on voit pour la première fois énoncer cette propriété des termes de la pro« {[ression i, 3, 9, 07, .,.
QUESTI07YS DIVERSES 123
