a:=ia
ix = 247i, a?+ 1=4943,
« Pour chaque cas, le nombre qui multiplie 2471 dans le produit -a: (a? -f i)*
« est le facteur par lequel il faut multiplier tous les nombres de la solution « principale.
« Ainsi dans la cinquième by^>othèse le multiplicateur sera toi.
« Maintenant, il faut, en revenant à la première condition supplément a taire, que le multiplicateur adopte puisse conduire à la mesure de la c Sicile, ce qui déterminerait complètement le problème. Deux nombres se présentent en premier lieu de manière à satisfaire approximativement à cette condîtioD. Ce sont les nombres i2 35495o et i2 355o5o. En
l38 RBQRBAflOnfl MATHÉMATIQUBS
on satisfait à la huitième coildition et l'on trouve :
!•' troupeau 6 = 46200808287018 è=« 32 116937723640
2« troupeau N ^ 33 249 638 3o8 986
3® troupeau T = 32 793 026 546 940 i= 15669127269180
4* troupeau R= 18492776362863 r = 24 24t 207 098 537
total 224571490814418
Comprenant : Taureaux. . . . ♦ . 130736249506807 Vaches 9383524i 3o8ôii
Il iie reste plus que la ilëuvlètttë cônditiotl à îrempliif j iJâVoif que
(( effet, d'abord chacun d'eux fournit un nombre triangulaire quand on u le mulliplie par 2471» puisque le premier donne pour produit
« et le second
247 loi • ^47 100
« Ensuite, si on les multiplie respectivement par 3828» ils donnent pour « produit
47294748600 et 4739^151400»
« dont lés racines carr(^es sont (à Une unité près)
217473 et 217474»
« et les quadruples de ces racines
869892 et 869896.
Vincent calcule alors, d'après des données puisées dans Strabom que la surface de la Sicile est de 857 000 stades carrées. Et il ajoute ;
(( On conçoit d'ailleurs que cette évaluation est nécessairement au-dessous
QUELQUES PAOâtitItEi ïlftfiê Di t*AllTIiÔLOGIE GRECQUE iSg
fl + T égale lift feombrô Ift&ftgulnire ; hiaîà fi 4- N dëVftht toujours rester un carre, il faut multiplier tous les nombres
« de la vraie Valeur du territoire de Tile, à cause des 8iiiuosit(Ss du contour, « dont la formule Appliquée pour calculer la ëurfaôe fait abstraction.
u On peut dono considérer les deux nombres ci-dessus trouvés, 869 892 et « 869896 comme répréèenlailt ap[)roxim<itivement Taire totale de la Sicile, « conformément à Pcnoncé. En conséquence, on a pour solution de la « première et dé la troisième partiel de la question , les formulM
Ë = aaa6A,
!f ss: 1602^,
T=.ii58oi!r, 11= Sgifc,
« dans lesquelles k=z i2 355ooo=t:5o.
« On peut d'ailleurs arriver à un résultat plus f approché dé 867000 en « multipliant 2471 par 99, ce qui donne 24462^» et posant
« Alors, faisant
« on a pour la racine carrée 215&98 qui, mulliplié par 4» donne 86 f 182, « ce qui est bien près du résultat cherché.
« Enfin, on aurait un résultai trop faibU en multipliant 2 47^ P*^' 9^« ^^ « qui donne 2421681 et posant
(( Il faut alors faire
« la racine carrée est a i3 124 et le quadi-uple de celte racine donne 852 496. » Nous arrêtons ici les commentaires de Vincbht en renvoyant le lecteur qui serait désireux d*êlre instruit d'une façon plus complète sur cette question aux articles du Bulletin bibliographique visés plus haut et auxquels nous ftvoQs emprunté les renseignements ^ui précddenù
l4o REGREA.T10NS MATHEMATIQUES
trouvés par la quantité indéterminée a^ et nous devrons satisfaire à
(R + T) a2 == 5i 285802 909808. u^ = îi^dlj).
La quantité qui multiplie 4 est paire sans être divisible par 4 « donc le coefficient de a^ n'est pas un carré parfait ; par conséquent il existe une infinité de valeurs rationnelles et entières de u qui donnent pour radical un nombre entier nécessairement impair (^), et X sera entier et positif; il s'ensuit, en définitive, que la question a un nombre infini de solutions.
Si Ton n'avait égard qu'aux taureaux, on aurait pour satisfaire aux trois premières conditions.
R== 891, B + N=3828, ï-hR = 247i.
Plusieurs savants se sont occupés de ce problème.
Le recteur Christian Leist a montré non seulement l'exactitude des nombres donnés par le scoiiaste, mais a trouvé les nombres les plus simples donnés ci-dessus. Son travail est inséré dans l'ouvrage de Lessing.
En 182 1, à l'occasion d'une solennité académique, l'opuscule suivant fut publié : Allés griechisches Epigramm, mathematischen inhalls von Lessing erst einmal zum Dracke befordert jetzt neu abge— druckt und mathematisch und krisiisch behandelt ; Ancienne épigramme
(') Legbndre. — Théorie des nombres.
QUELQUES PROBLÈMES TIRÉS DE l' ANTHOLOGIE GRECQUE I^I
grecque d'une teneur mathématique, publiée pour la première foi» par Lessing ; éditée de nouveau et traitée sous le point de vue mathématique et critique par leD' J. Struve, directeur du gymnase royal à Âltona et le D"^ K.-L. Struve, directeur du gymnase communal de Konigsberg père et fils. Altona : in-8 de ^7 pages.
Les calculs donnés dans cette brochure sont de Struve père qui émet cette opinion que le nom d'Archimède est une pure invention. En effet, cette épigramme est complètement étrangère à Tesprit des travaux qui appartiennent incontestablement au géomètre sicilien ; Struve père pense même que les deux dernières conditions ont été ajoutées depuis (^). C'est encore probable, car les solutions du scoliaste pour les sept premières conditions sont justes et on lui fait dire une chose fausse pour les deux dernières conditions. D'ailleurs» la neuvième et dernière condition consiste à résoudre en nombres entiers Féquation indéterminée
a n'étant pas un carré ; solutions que Ton ne connaît que depuis Pell (1666).
L'opuscule en question est terminé à partir de la page 38 par les observations critiques qui sont de Struve ûls, lequel déclare enfin ne rien comprendre aux vers 35 et 36.
Une autre solennité académique donna lieu à la brochure suivante de 12 pages in-4.
Ad memoriam Kregelio-Sternbachianam in auditoris Jureconsulto^ mm die XVII juli MDGGCXXVIII celebrandam invitant ordinam academix Lips. Decani Seniores celeriqae adsessores. De archimedis problemate bovino.
Un homme généreux, Charles de Sternbach, avait institué un prix d'encouragement pour l'étude à l'Université de Leipzig, et pour célébrer l'anniversaire du donateur, la production dont nous
(') C'est égalemeat ropinion de Vuceiit.
l4& RiQR#\TlONS MATHéMÀTiQUES
venons de donner le tftre, fut lue par son auteur Herjnann (Godefroy).
Cet auteur critique vivement Tœuvre des Slruve en blâmant certaines jovialités qui sont d'un goàt un peu hasardé, et il propose une exégèse qui amène des nombres complètement différents de ceux de Stvuve.
D'après lui, la sixième condition serait eellercl : Les vaches tachetées formaient les quatre cinquièmes plus les quatre sixièmes de toute la partie rousse. Alors les nombres suivants satisfont aux sept conditions s
i^f troupeau B = 48068018
6 = 47p8îC)4o = ^de^o
2« troupeau N = 34591 986
M = 47673o54 = ^de3»
3e troupeau T = 34116940
« = 7i8a3i8os=î^de4^
4® troupeau R== 19289363
r = 29730987 = ^ de I»
Le nombre des vaches est plus grand que celui des taureaux, tandis que c'est le contraire dans le calcul précédent.
Le changement le plus important est dans les vers 35 et 36 que Hermann lit et ponctue d'une façon différente et auxquels il donne ce sens : Quant à ce qui concerne les côtés qui circonscrivent de toutes parts, les plaines de la Sicile étaient remplies de briques ; c'est-àdire que chaque côté du carré B -h N doit être un nombre brique ;
QUELQUES PROBLÈMES TIRÉS DE L* ANTHOLOGIE GRECQUE l43
de sorte qu*on doit satisfaire, dit l'auteur do la brochure, à ces équ^tient i
(B -+- ri) ^ =5n 3 ^28. 3? == le carré d'un nombre brique == j^ (^y — ?)« (T i+» B)x =sa 2 471 » = un nombre triangulaire =^u (a -i- i),
(B-f-N-f-TH-R)aî== 6229 çc = un nombre triangulaire == -t;(t; H- i).
Pour satisfeire à la première équation 11 faut qvie Ton ait :
a;= igiijo* et, par conséquent»
Il est impossible de satisfaire simultanément à ces deux équations mais la troisième équation n^est pas exigée.
La seconde équation donne un nombre indéfini de solutions ; la première équation devient
Il suffit de prendre
j=p qt p>3828;
il y a donc une infinité de solutions.
Hermann croit que Tépigramme est d'Arcbimède, parce qu'elle est citée sous ce nom dans une scolie sur le Charmide de Platon et dans Touvrage de Héron d'Alexandrie sur la nomenclature des ▼ocables géométriques. Enfin cet auteur avance que Gauss se serait occupé de la question.
lîpS^elrp^an, dans son célèbre ouvrage sqr rbistoire 4e l'Algèbre fiben les Grec^ (0. coniacre les cinq dern lèves pages k notre pro-
(«) Die al§ebpa der Grekheny Berlin, 1842 ; in-8^
l44 RÉCnÉATIONS MATHÉMATIQUES
blême. Adoptant ropinion de Klûgel et de Struve, îl fait ressortir rimpossibilîté d'attribuer une telle production à Archimède, et, d'après le mauvais goût que Ion remarque dans le style et la facture poétique, Nesselmann pense qu'on peut l'attribuer à un écrivain du XIV® siècle et même plus récent. Car Planude et Krephalas, auteurs du XIV* siècle, qui recherchaient avec ardeur de semblables bagatelles, n'ont pas admis ce problème dans leurs collections.
La huitième et la neuvième conditions sont, selon l'opinion d'Hermann et de Nesselmann, une superfétation postérieure à la solution donnée par le scoliaste.
