II II

6. Un père voulant encourager son fils dans la pratique du calcul, jait avec lui cet accord : pour chaque problème parfaitement résolu, le Jils recevra 8 sou^ de son père; mais il lui remettra, au contraire, 5 sous pour chaque problème non résolu. Apres 26 problèmes proposés, ils font leur compte, et il se trouve que le fils ne reçoit rien et ne doit rien. Combien de problèmes a^t^il résolus ?

(imité de Clavius).

Pour 5 problèmes résolus le fils reçoit 5 X 8 ou 4o sous. » 8 )) non résolus, le fils donne 8 X 5 = 4o sous.

Ainsi, sur i3 problèmes, si le fils en résout 5 et échoue dans la solution de 8 autres, il se trouve dans la même situation qu'au début.

Donc sur a6 problèmes, si le fils ne gagne ni ne perd, il aura résolu 5 X a = 10 problèmes.

7. Si je donnais 7 deniers à chacun des pauvres qui sont devant ma porte, il me resterait a4 deniers : si je voulais leur donner à chacun 9 deniers j il me manquerait Sa deniers. Quel est le nombre de ces pauvres j et combien de deniers ai- je ?

(Clavius)»

Les a4 deniers qui restent ne me permettent pas de donner

l5o AliClliÀTiOird MiTQiHATIQUSS

a deniers do plui à chaque pauvre, il me manque en plus il denieri.

Ainsi, une fpis 7 deniers distrib\}és à chaque pauvre, si j'avais en plus a 4 H- 3a = 66 deniers, je pourrais en donner encore a à

chaque pauvre.

Le nombre des pauvres est donc — = a8 et j'ai a8 X 7 + 24

=K aao deniers.

8. Un maître promet 4 sôn serviteur de lui donner à la fin de Tannée 10 pièces d^or et un manteau. Au terme du septième mois^ il le congédie en lui donnant fe manfequ et a pièces d*Qr, Quelle était la valeur de ce manteau? (Clayivs),

Au bout de 7 mois il n*est dû que les -^ de 10 pièces et les -^ de la valeur du manteau.

Le serviteur recevant le manteau et a pièces d'or, il en résulte que les — de la valeur du manteau valent la différence entre les -^ de TO pièces d*or et a pièces d*or.

La valeur du manteau est donc de ^ pièces d'or l.

9. Deux marchands de vins entrent dans Paris, Vun avec 64 barriques et Vautre avec ao barriques, du même prix. Mais, comme il n'ont pas assez d^ argent pour acquitter les droits d'entrée, le premier paie avec 5 barriques et ajoute [xo francs. U autre acquitte avec a barriques et on lui rend iio francs. Quels sont les prix de la barrique et du droit d* entrée de chacune d'elles ? (*)

(*) Lb Verrier donnait à ce problômo le nom de problème pihge, car il faut remarquer que les barriques laissées à Toctroi ne paient pas d*en(rée. Ce problème se trouve déjà, à la forme près, dans les Jauet^oions de ncanbre$ de Chuquet : a Deux marchans viennent de ioyre dont lung diceuU si a. 20. sacz de layne pour lesquelz il a paye a la gabelle ung sac de layne el on lui retorne a 1. de monnoye. Et laultre si a. 60. sacz pour lesquelz il a paye deux saczs de layne et 6 l. auec. Assauoir mol't a combien est extime ohascun sao de lavne. » La répon$Q eiacte est ii i/a livi«|.

QUELQUES PROBLilinSS TIHég DBS AlfGlKNS AUTEURS l5f

X prix de la barrique, y droit d'entrée

4'où

09 =9 i|o franei et jr c^ 10 franoi.

io> i7(i homme pénétra dans an verger qui avait 3 gardiens et y fit une provision de pommes; ayant rencontré le premier gardien, il lui donna la moitié de sa provision, plus 2 pommes, rencontrant le second, il lai donna la moitié de ce qui lai restait, plus deux pommes; enfin, rencontrant le troisième, il dat lui donner la moitié de ce qui lai restait encore, plus deux pommes, et il sortit alors n^ayant plus qu*une seule pommé. Combien de pommes avait-il recueillies (^).

X pombrc de pommes recueillies.

JiO premier gardien reçoit - h- 3, le premier reste est donc a,

Le deuxième gardien reçoit -. — i +2 = y-f-i,le deuxième

Le troisième gardien reçoit g-' 1-35= -q 4--; le troisième

reste est y •— 3 ^- =0 — -

donc

^ — 2«=i, d'oùar = 36.

(^) Extrait du Liber augmenti et diminutionis, qui est la traduction d^une Algèbre composée au xn^ siècle soit par le rabbin Aben Ezra (logS-iiGS), soit par un ftrab« InauuM. Le Liber, augmenti a 6\é publié en Y 838 par LiBRi (Hist, des AfaM, en Italie, t. Il),

|53 BÉGRÉATIONS MATHÉMATIQUES

1 1 . Une personne a un anneau d'or du poids de 5 milsquâl aveo un chaton en rubis. La valeur de Vor est de 4 ashya (ou deniers d'argent) pour i mîisquâl, et la valeur du rubis est de lo ashya pour I mitsquàl.

L* anneau, avec son rubis, coûte 24 ashya. Déterminer le poids de Vor dans Vanneau et le poids du ra6w, par Al-jebr wel muqàbala (par rAlgèbre) (»).

Réponse : Tor pèse 4 ? milsquâl et le rubis | mitsquàl.

12. Problème de THéritage. — // est ung père de famille qui a denffans on nescet le nombre. Et si a en son arche (arca, coffre) une somme de deniers dont on nescet le compte Et dit cellai père au pmier

de ses enffans va en larche etprens i.d, et — du remenant (du restant). Au second il dit va après ton frère et après ce quil aura pris prens 2. ds, en larche et la —partie du résidu Au tiers il dit va après tes frères et après ce quilz auront pris chascun leur porcion prens 3. ds. et la — partie de la reste Et ainsi dit aux aultres en augmentant tousiours

jusques au derrenier auquel il dit va en larche et prens tous les deniers que tes frères y ont laysse. Et ce fait les enffans se treuuent quilz ont autant de deniers lung que laultre, Assauoir moult quantz enffans cestui homme a, Quantz deniers auoit en larche et quantz chascun deulx en a eu,

(Chuquet).

Généralisons la question en supposant que chaque enfant prenne a, 2 a, 3a, ... deniers et la /i* partie du reste.

Première méthode de solution (Euler). — Soient x la somme totale partagée, y la part de chaque enfant et z leur nombre.

(*) Ce problème, extrait d'un très ancien manuscrit persan, a été publier

en 1884, par L. Rodet.