QUELQUES PROBLÈMES TIAÉS DES ANG1£!IS AUTEURS
On égale les parts des deux premiers enfanls
n — ira, y z= a -\ ==(a— i)a z = ~ = n — i,
Seconde méthode, — On égale les parts du dernier et du premier. az= a -^ — (az^ — a), p(ir suite z = n ^ i ou z=i.
Troisième méthode (Catalan). — On égale y y et Yp^^. H vient : pa + ^ - y- - y» -- - yy-i -P^ = (p+i)a
^— y. — ^ii — — — Jy — (p+ l) « .
D'où
yp == (« — «•
Le second membre étant indépendant de l'indice /), qui désigne le rang de la part considérée, toutes les parts sont égales^ conformément à l'énoncé.
On obtient x en reprenant le premier nombre de l'équation qui représente yp et on fait p = i (*).
i3. ilz sont qaalre homes qui ont deniers en telle proporcion que si le pmier et le second auoient» loo. deniers des deux aullres Hz auroient le triple de ce qui leur demeure. Et le second auec le tiers dit que sil auoit, io6. ds, du quart et du pmier Hz auroient le quadruple de leur reste. Le tiers et le quart disent que silz auoient, i45. deniers des deux aullres Hz auroient le quintuple de leur reste. Et disent le quart et le pmier que silz auoient. 170. ds. des deux aullres ils auroient le
(') Pour d'autres solutions, avec discussion complète de la question. Voir le journal MafA^sû (11® apnée 1891, pp. 112, i36 et 187).
r£gr6aTIOHS lUTHÉHATIQUtS
sextuple de leur reste. Assaaoir moult quantz deniers a nng okaseun
diceulx (*).
Equations du problème
aî-l-j'-l-ioo = 3 (z+«— loo)
jf-f-2r-4- io6 = 4(o4-a;— -io6) y4-«4-i45=5(a:-f-j — 145) n-h«4-l70=6(y-{-î— 170)
(Ghuquet).
OU x-^y — 3z — 3a=rr — 4oo,(i) • yH-«'— 4a — 4»=— 53o,(a)
z-i-«-5x— 5y= — 870,(3) B-f-« — 67— 62= — îi9o.(4)
Le système est indéterminé ; niais cette indétermination n*est pais absolue, c'est-à-dire que le système permet de déterminer trois quelconques des inconnues en fonction de la quatrième. Multiplions en eflet (1) par 5 et ajoutons (3), il vient :
z H- u = ao5.
Multiplions les deux membres de (a) par 6 et ajoutons (4) i
a -h a;= 190 Multiplions les deux membres de (3) par 3 et ajoutons (1) s
« 4-y =3= 2i5, Enfin y -\- z = a3o.
Ajoutons membre à membre ces quatre dernières équations, il vient
x-hy-\-z + tt = 420.
y z:^ 2^0 — 2, « = 305— ;ç, çp ::= z — l5 et
(') Celte question appartient à un type de problèmes qui se rencontre fréquemment chez Diophante. Ces problèmes diophantins ont inspiré des énoncés nombreux et variés à Ghuquet, à son contemporain Lucas Paciolz (Summa, i&94)> ^t surtout à leur prédëceasaur L^okard ds Pisb : ce dernier a traité des problèmes de ce genre, souvent tr^g compliquée* daai son FIq9 super tolationibus qaarumdam qurnimum» dans son De Qvil>^9 &\ <l9n9 son Liber quadratorum.
Voyez les Nouvelles Annales de Math, t. XV, i856, pp. i-ii et 42 7îi ôt Tre scritti inediti di Leonardi Pisano^ publié par le princ* Bonoompagnl, Florence, i854.
(^) Gomme response à ce problème, qui est le LXXVIII^ problème de ses Inucncions de nombres, Ghuquet donne : « le pmier a. 100. ds. Le second a. ii5. ds. L^ tiers a. it5. ds. et le quart 90-di. ou bien Le premier a« 80-ds, Le second a, i36. di. Le tiers-^S ds. Le quart |io. di. ete. ». Put*
QUELQUES |>R0)ILèMB8 TUktS DBS ARCIBNS A.UTEUIIS t55
XiJ. Des singes s^ amusaient : de la troupe bruyante Un huitième au carré gambadait dans les bois ; Douze criaient tous à la fois Au haut de la colline verdoyante.
Combien d'êtres comptait la caste remuante ? (*)
Si X représente le nombre des «inges, on a Téqualion
d'où
— ^j = 12 ou X^ — '64^2^-4-768 =
X = l\S ou lu.
}5, Vois cette essaim de mouches à miel.
De la moitié prends la racine :
Dans un champ de jasmins cette troupe butine. Huit neuvièmes du tout voltigent dans le ciel.
Une abeille solitaire Bntend dans un lotus un frelon bourdonner :
Attiré par l'odeur pendant la mit dernière ^
Il t'était fait priêonmer.
Dis moi : quel chiffre atteint la troupe buissonnihe ?
il ajoute : « Et par ainsi appert que telles raisons ont responses necessre de deux en deux mais de vng a vng Hz ont telle response que l'on veult. » Il serait intéressant de connatlre la méthode employée par Ghuquet.
(^) Ce problème et le suivant sont empruntés à la Lilàvati ou traité d'arithmétique de Bhascara, auteur hindou du xu^ siècle. La traduction est de L. RoDBT (Journal Asiatiqucy janvier 1878).
Bhascara était aussi célèbre comme astrologue que comme mathomatieien. Celte science lui ayant fait connattre que le mariage de sa fille Lilavaii serait pour lui un événement fatal, il fit en sorte d'écarter tous les prétendants, et comme une sorte de consolation, non seulement il donna le nom de sa fille au premier livre de son ouvrage (Traité d'astronomie dont /( chapitres ont été traduits), mais il rédigea plusieurs problèmes qu'il pro> pose sous forme de questions qu'il est censé lui adresser. — Voir V Histoire des mathématiqaei de Rôuse Ballf édition française traduite sur la 3^ é^itio^ gnplaise par L. Freund, pp. 159-164. .
l56 ItÉCRÉATtOKS lUTHinATIQUES
Soit 2x' le nombre des abeilles :
X + 1-3 = 3 3;*, d'où x = 6.
Le nombre des abeilles est donc 73.
iG. Trouver un nombre carré (jat, augmenté et dimtuaé de 5, reile toujours un nombre carré (').
Celte question a son histoire :
La réputation de Léonard de Pise Était si grande que l'empereur Frédéric II s'arrêta à Pise en I335, pour présider une sorte de tournoi mathématique où on devait mettre à l'épreuve le talent de Léonard dont on lui avait dit merveille. Les compétiteurs avaient été informés à l'avance des questions dont quelques unes étaient dues à Jean de Palerme qui figurait dans la suite de Frédéric. C'est le premier exemple que nous ofTre l'histoire de ces défis si communs dans le xvi' et dans le xvii' siècles et dans lesquels on proposait à résoudre certains problèmes particuliers.
L'énoncé que nous avons reproduit est celui de la première question posée.
Léonard répondit à mailre Jean que le nombre carré est
") Voir lo Bulklin du prince Bohcohpjiom l. I, p. 173. (Tre scriUi intdili .eonarJo Pisano, publiés d'après un manuscrit de la Ubiiolbèque ambrone de MiUn. — In-S" do 12a pages et i planche,) e premier écrit est intitulé Floi (i-^i).
e deuïième De Aoibiu (44-54)e troisième Lifter quadratorum (5S 12a).
) Nous nous servons des signes actuellement en UMgt maliqui n'aient emplojiSs du temps de Léonard,
QUELQUES PROBLÈMES TIRÉS t»ES ANCIENS AUTEURS îb'J
17. Trois hommes ont en commun une somme inconnue i; la part du premier est - t; celle du second i, et par conséquent celle du troisième A t. Voulant déposer cette somme en lieu plus sûr, ils prennent au hasard, le premier x qui nen dépose que ~ x, le second y et nen dépose que ly, et le troisième z et nen dépose que l z; de sorte que la somme déposée se monte à~x-i->ly-\'lz,et lorsqu'ils retirent ce dépôt, chacun en prend le tiers; il s* agit de trouver les valeurs de x, y^ z ('),
Posons
Lo premier a gardé - xei reçoit u ; donc on a
de même pour le second
et pour le troisième
(<) C'est la troisième et dernière question posée par Zeil^ de Paleumb à LéoiîARD. (Voir la question précédente.) De tribus hominibus pecuniam communem habentibus. Léo^sABj} pose u = 7. Il en déduit :
U dit qu'il y a trois modes de solutions qu'il a donnés, in Ubro noslro quem de Numéro composui. C'est son traité de Abaco,
Les nombres sont écrits tantôt en chiffres romains, tantôt en chiffres arabes.
]58 RECREATIONS MATHÉHATIQVBS
On tire de là
X = t — au,
le problème est indéterminé.
i8. Une nnesse portait du vin cote à cote avec un mulet, et èerasé^ sous le poids j elle se plaignait fortement, A lors le mulet met fin à sesplcdnies en lui disant : a Quas-tu à te plaindre comme une petite fille, la mère? Si je prenais une de tes mesures, ma charge serait double de la tienne , et si tu en prenais une des miennes , fen aurais encore autant que toi. « Dis-moi, savant mathématicien, combien de mesures ils portent chacun?
Puisque le mulet» donnant une de ses mesures à l'ânesse^ se trouve également chargé que l'ânesse, il est évident que la différence des nombres de mesures que chacun porte wt égale à i.
Si le mulet reçoit une mesure de celles de l'ânesse, la différence entre les deux nouveaux nombres de mesures sera 4, mais alors le mulet aura le double du nombre des mesures de l'ânesse. 4 représente donc le nombre actuel de mesures portées par Tâncssé, et lorsque le mulet lui restituera la mesure enlevée, elle se trouvera en avoir 4 -H i, ou 5.
Le mulet de son côté, en avait 5 -I- a ou 7.
Traduction en vers latins.
Una cam muta vînam poHahat asella, Atque sua graviter sub pondère pressa gemebat, Talibiis at dictis mox increpat ipse gementem Mater f quid luges, tenerœ de more piiellœ ?
Dupla tais, si des mensuram, pondéra gesto; At si mensuram aceipias, sequalia porto.
Die mihi mensuras, sapiens geonieter, islas ?
QÙËtQUES ^BOBtillEa TIK^S DES AUCHNS AUTEURS ISq
La solution du problème a aussi été exprimée en assez mauvais vers latins que nous donnons ici pour la singularité.
Unam asina accipUns, amitUns malus et unam, Si fiant aeqaij eerte utrique ante duobus, Distahant a se, Accipial êi malus at unam, Amittatque asina unam, tune distantiafiet Inter eos quatuor, Muli at cum pondéra dupla Sint asinœ, huic simplcx, mulo est distantia dupla, Erg€ habet hœc quatuor tùntum, mulusque habet octo, Unam asinœ si addas, si reddat mulus et unam, Mensuras quinque hœc, et septem mulus habebant,
