Problème des bœufs de Newton
Sachant que 75 bœafs ont brouté en 12 jours V herbe d*un pré de 60 ares y et que 81 bœufs ont brouté en ib jours V herbe d*un pré de 7a aresy on demandé combien il faudra dé bœufs pour brouter en 18 Jours Vherbe JCun pré de 96 ares. On suppose que dans les trois prés Vherbe est à la même hauteur au moment de Ventrée des bœafs, et quelle continue de croître uniformément depuis leur entrée.
Remarquons d'abord que Pherbe qui croît en i jour sur t are équivaut à la quantité d'herbe qui recouvre actuellement une certaine superficie que nous pouvons désigner momentanément par s.
D'après l'énoncé, 76 bœufs ont brouté en la jours l'herbe d'un pré de 60 ares, et, en plus, la X 60 fois l'herbe qui recouvre la superficie s.
De même, 81 bœufs ont brouté en 1 5 jours l'herbe d^un pré de 7a ares, et, en plus i5 X 7a fois l'herbe qui recouvre la même superficie s.
De la première condition, il résulte qu^un bœuf broute en i jour
l'herbe d'un pré de — — w ares, et, en plus, -r de l'herbe con-
^ la X 75 '^ 70
tenue dans la superficie s.
De la seconde condition nous concluons qu'un bœuf broute en
l6o RECREATIONS MATHÉMATIQUES
I jour rherbe d'un pré de -e-— 0— ares, et, en plus, ^- de Tlierbe
contenue dans la superficie s.
Mais ces deux quantités d'herbe sont évidemment égales ; d'ailleurs
60 na
^ est une quantité plus grande que —^ — 0- et la différence
13 X 70 ^ r D ^ 10 X oi
représente Therbe d'un pré de
are.
Au contraire, la quantité -^ est moindre que ^- , et la différence
81 75 9X5 représente l'herbe contenue dans une fraction de s égale à — -^«
Pour qu'il y ait compensation, il faut donc que les — -'-p des
valent — — — f d'arc, d'où cette conclusion que la superficie s est
égale à
En résumé, les quantités d'herbe qui poussent dans les trois prairies pendant le séjour des bœufs sont respectivement égales aux quantités d'herbe actuellement contenues dans les superficies de
= 00 ares,
^— i= 00 ares,
18 X 96 ,, '^ = i44 ares.
QUELQUES PAOfiLilfES TIh£s DES A^IGIENS AUTEURS l6i
La question proposée revient alors à la suivante :
Un troupeau de 76 bœufs broutent en 12 jours Vkerbe d*un pré de î 20 ares; un deuxième troupeau de 81 bœufs broutent en i5 jours Vherbe d'un pré de 162 ares; on demande, diaprés cela^ combien il faudra de bœufs pour brouter en iS jours Vherbe d*un pré de 2^0 ares, sachant di ailleurs que Vherbe est à la même hauteur dans les trois prés et qu'elle ne pousse pas pendant le séjour des bœufs.
D'après ce qui précède, les deux conditions énoncées rentrent l'une dans l'autre ; nous ne considérerons que la première et nous dirons :
Si 75 bœufs broutent en 13 jours l'herbe d'un pré de 120 ares, l'herbe d'un pré de même étendue sera broutée en i seul jour par un troupeau de 76 X i^ bœufs, et en 18 jours par un troupeau de
-^ = — bœufs! Si l'herbe d'un pré de 120 ares est broutée en
lo
'?& ^ 12 18 jours par un troupeau de ^ — « — bœufs, l'herbe d'un pré de
1 are sera broutée dans le même temps par un troupeau de
2 — g — X bœufs, et enfin, pour brouter, dans le même
18 lao ' ^
temps, l'herbe d'un pré de 2^0 ares il faudra un nombre de bœufs
représenté par
75 X 12 ,, 240 ^ — ^ — X -^ = îoo.
La réponse est donc 100 bœufs.
ao. Un moine entre dans une chapelle oà se trouvent les trois saints : saint Pierre f saint Paul et saint Jean.
S*adressant d'abord au premier il lui dit : « Bienheureux saint Pierre ! Je prie qu^il vous plaise de doubler Vargent que fai là dans mapockey et pour vous en marquer ma gratitude^ je ferai présent de 6 francs à cette église, » — Et ainsi fut fait,
Récréationi MAthématicpes. 1 1
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Se tournant alors vers saint Paal, il fit cette prière : « Grand saint Paul ! je prie quil vous plaise de doubler V argent que j'ai en poche, et je vous en marquerai nia gratitude, en faisant présent de 6 francs a cette église. » — Et ainsi fut fait comme la première fois.
Enfin le moine adressa la même prière à saint Jean qui lui accorda à son tour ce qui lui était demandé.
Le moine sortit de FEglise sans un sou. Combien avait-il en entrant ?
Le moînc vient de donner 6 francs à l'église après sa prière à saint Jean^ il avait donc en poche 3 francs après avoir donné 6 francs pour la seconde fois.
Donc aussitôt après sa prière à saint Paul il possédait 6 4- 3 = 9 f. et avant sa prière il avait 4fr' ^o.
Aussitôt après sa prière à saint Pierre, il se trouvait avoir 4*5o
+ 6 =: io»5o et en entrant dans l'église, il possédait - io,5o = 5f. a5
21. Un homme entre dans une église dvee une somme émargent entièrement composée de pièces de 3 francs; il donne aux pauvres autant de sous quil a de pièces de 2 francs; Dieu change les pièces qui lui restent en pièces de b francs. Le dévot dépense '] pièces de 5 francs et rentrh chez lui avec le double de ce qu*il possédait en entrant dans Véglise, Quelle somme d^ argent avait-il d'abord ?
Cette personne donne aux pauvres i sou par chaque pièce de â francs qu'elle possède, c'est-à-dire le ^ de ce qu'elle avait en
entrant dans l'église; il lui en reste donc les j^.
Ce reste est composé de pièces de a francs qui sont transformées en pièces do 5 francs, ou rendues 2 fois et - fois p!us grandes. Ce
qui lui restait devient, par suite, les 7^ X ^ ou les j| de la somme possédée primitivement.
QUELQUES PROBtÉMES TIRÉS DES AïîCIIÎÎîS AUTEURS l63
Le dévot dépense alors 35 francs, et il lui reste le double de son premier avoir ou les -| de ce premier avoir.
35 francs représentent donc les -^ de la première somme, d'où cette conclusion que la somme cherchée est égale à
35 X — = 5 X i6 = 8o francs.
aa. Partager un centime entre quatre personnes ^ en échangeant des pièces de monnaie, de manière que chaque personne reçoive le quart d*un centime.
Pour résoudre cette question, il suffit de se rappeler qu'un sou vaut 4 liards ou 5 centimes. Par suite, si Ton donne i liard à chaque personne, et si chacune d'elles rend t centime, on aura donné 4 liards ou i sou, et on aura reçu 4 centimes ou i sou moins i centime. On a donc laissé i centime entre les mains des 4 personnes et chacune en a reçu le quart.
a3. Problème du même genre
Un pauvre avec un soa, dans sa triste détresse Donne à vingt mendiants, dans un jour d'alîâtjresse : Il sut en partageant ce minime secours.
Offrir à chacun d'eux ane pih^e du cours; Comment donc s'y prit-il dans cette circonstance. Pour leur distribuer cette faible assistance ?
(Chavignaud).
Il suffit de supposer le pauvre en possession de 5 sous = 20 liards.
Il donne i liard à chaque mendiant et en reçoit i centime.
II a ainsi distribué ao liards ou 5 sous et reçu ao centimes ou 4 sous.
Il a donc laissé entre les mains des mendiants i sou et chacun d'eui en a le vingtième.
l6i AÉCaiATlOSrS MATHflCATIQITBS
Remarque. — Ce dernier problème est extrait de l'ouvrage suivant : Nouvelle Arithmétique appliquée au Commerce et à la Marine^ mise en vers par L. Chavignaod, ex-mattre de pension, ancien professeur de Mathématiques à l'Institut Rollin. 4* édit. Toulouse, imprimerie Delsol, in-8 de 9a pages; i843.
L'Epitre dédiée aux marins termine par ces trois vers :
Tradfùsant de Bourdon la docte ArilhméUque^
Je serai trop heureux^ si mes utiles vers.
En charmant vos instants, vous suivent sur tes mers.
L'auteur décrit toutes les opérations de l'arithmétique de Bourdon en vers techniques ; il débute ainsi :
Définitions.
Vutile Arithmétique*, en ses peintures sombres, Nous fait connaitre à fond ta scienee des nombres. Dans ses divers rapports les fait envisager.
Assembler, retrancher, composer, partager.
Donne des moyens sûrs à Vhomme qui s*exeree.
Et grave en son esprit les règles du commerce.
Les opérations sont généralement assez bien indiquées pour ceux qui les connaissent, et ces vers peuvent servir à certaines intelligences pour les retenir.
Voici encore le début de la règle d'escompte :
Lorsque le créancier veut faire une remise.
Le débiteur alors, et la loi Vautotièe, \
En retranche Vescompte au susdit commerçant.
Qui change son billet pour de Vargent comptant.
Cela suffit pour donner une idée de l'ouvrage. On a omis les extractions des racines.
Un Anglais nommé Guillaume Buckley a publié une Arithmetica memorativa en vers latins. Wallis a acheté cet ouvrage qui était joint à la Logique de Setoâ, publiée à Cambridge en i63i. Il ignore
QUELQUES PROBLEMES TIRÉS DES A;iGIEN8 AUTEURS l65
si ïArithméliqae est antérieure ou non à la Logique (Wallis, Opéra, t. II, p. 38). On y trouve le plus ancien exemple connu de l'extraction approchée de la racine carrée, au moyen des décimales, en ces quatre vers hexamètres :
Qaadrato numéro, senas prœfigito cyphras
Produeti quadri radix per mille secetar,
Integra dat qvotiens; et pars ita recta nuinebit
Radici ut verœ ne pars millesima desit (subintellige unius).
Pour la division, il indique cette disposition :
Au-dessus du diviseur, on tire deux traits laissant entre eux un certain intervalle, pour écrire les chiffres successifs du quotient ; on écrit le diviseur au-dessous du dernier trait et vers l'extrémité gauche ; on cherche le quotient qu'on met à la place indiquée ; on fait le produit et l'on écrit le résidu au-dessus du diviseur; on barre la partie du dividende employée ; ensuite on fait avancer le diviseur vers la droite^ et ainsi de suite. Ces diverses opérations sont résumées dans un seul vers :
Divide, multipUca, subduc^ transjerque seeantem. Voici la preuve :
Per divisorem, quotientem muliiplicabis; Prodacto reliquam, si qaodjuit, adde priorque Exhibet numerus, nisi te deceperit error,
Leslie, dans sa Philosophy ofarilhmetic (p. 387) donne des extraits de cette arithmétique.
Rappelons encore que Neper, dans sa Rabdologie, a inséré des vers numériques pour expliquer l'emploi de ses baguettes.
