TOO

On remarquera que les troisièmes parties sont toujours constituées par la suite naturelle des nombres entiers en commençant par a.

3. Partager le nombre 10 en deux parties, de manière qu'en ajoutant leur produit à la somme de leurs carrés ^ le total donne 76.

Le double du produit des deux parties augmenté de la somme des carrés de ces parties donne, comme on sait, le carré de la somme de ces deux parties, c*est-à-dire 10 X 10 ou loo.

Donc le simple produit des deux parties est éçal à 100 — 76 ou à

REGREATIO:(S MATHEMATIQUES

Il suffit donc de décomposer a 4 en deux facteurs 4oiit la somme soit 10. On voit de suite que les deux facteurs en question sont 4 et 6. On a bien d'ailleurs

4* Trouver deux nombres entiers sachant que leur somme est un multiple de leur produit.

Soient a et a 4- ^ les deux nombres.

aaH-aî = <j.a(a-+-aî)

ce qui peut s'écrire

a (qa — a) -H rc (qa — i) = q.

Pour fd >• a, le i^' membre est plus grand que o.

Pour qa= i,\e i*' membre est plus petit que o.

Donc qa = a, par suite 9 = i ou a, et a = a ou i.

Dans CCS conditions, l'étfuation se réduit à or = o.

Les nombres demandés sont donc égaux entre eux et égaux à i ou

5. Trouver trois nombres entiers dont la somme soit igqle au produit. Soient a, a -i- x et a + j' les trois nombres

3a-+-x-f-j = a(a -{-x ) (a H- j) == a' -H à^x H- à^y -h axy.

d*où:

a (a* — 3) + (a? H- y) (a* — i) -+• axy = o,

Ppur ap> i le premier membre est plus grand q^e o, donc népp9sairement a = i .

L'équation se réduit alors kxy = a, d*ou a; = i et j = a, Lef 3 nombres cherchés sont donc i. a et 3.

6. Trouver un nombre de deux chiffres sachant quen Vécrivant 3 fois de suite et en écrivant ensuite le chiffre i, on Jorme un nombre de 7 chiffres qui est un cube parfait.

Soit X le nombre cherché (i) loooo X -\- i 000 a? -h 10 a; -{- I = loioio . a: -h i == N' (2) lo*' < N^ < 10^

D'après la double inégalité (a), N est compris entre loo et 100 ^/ïô ou 3l5.

N^ se termine par i, et il en est par suite de môme de N. L'égalité (i) peut s'écrire

loioioic = N» — I == (N — i) N (N + i) -h (N — i).

N — I est multiple de lo.

loioio et (N — i) N (N H- i) sont des multiples de 3o.

Donc : N — i = multiple de 3o.

Les seuls multiples de 3o compris entre 9g et ai 4, sont :

lao» i5o, 180 et a 10.

En prenant pour valeur de N, l'un de ces nombres augmenté de I , on constate que pour N = 2 1 1 seulement, la valeur de x est entière et égale à gS.

7. Trouver 4 nombres entiers tels que leur somme soit égale à la somme obtenue en ajoutant au produit du plus grand par le plus petit, le produit des deux autres.

Soient a, a -h a:, a -h y et a 4- ? les 4 nombres rangés par ordre de grandeur croissante.

Cette relation peut s'écrire

aa (a — a) + (a — i) (x -^ y -h z) -h xy =^ o.

En prenant a^ aie premier membre est plus grand que zéro.

Donc a = I et l'équation se réduit kxy = 2, ce qui entraine x= I et j = a.

L'équation étant indépendante de z, il en résulte que cette inconnue peut être choisie à volonté.

Les nombres cherchés sont donc i, a, 3 et i -f- un nombre indéterminé. Ce qui revient à dire que les trois plus petits des quatre nombres demandés sont i, a et 3, le plus grand pouvant être choisi à volonté.

8, Un nombre de ^ chiffres est un carré parfait, Trouverlces 4 chiffres sachant que les deux premiers sont égaux ainsi que les deux derniers,

X et j étant les deux chiffres différents du nombre cherché N, on a :

N = 1 000 X -h 100 X -^ loy -h y ou encore

N = II (100 . x + y).

N étant carré parfait, le facteur 100 . x -{- y doit être divisible par 1 1 , c'est à-dire que Ton doit avoir