X -^ y = mult. de
Mais xtly sont tous les deux moindres que 10. Donc :
x-|-j'=ii et y -=, \\ — X, Par suite ;
100 X -f- y = 100 x-hii — x=ii(9.x-f- i) et N =11*. (9 . X -i- i).
Le nombre 9 . x + i étant alors carré parfait, ne peut être ter-
mine que par Tundes chiffres i, 4, 5, 6 ou g, d'où il résulte que le chiffre des unités du produit 9 • a? ne peut être que o, 3, 4» 5 ou 8.
Les seules valeurs admissibles pour x sont dès lors, s, 5, 6 ou 7.
Pour a; = a, gxH-ï = 19 ce nombre n'est pas carré parfait, a; = 5, 90? 4- I = 46 »
a; = 6, gx -h I = 55 »
a? = 7, gx 4- I == 64 = 8*.
On a donc x = 7 , y = 4 et N = 7744.
9. Trouver un nombre de 4 chiffres ^ carré ^parfait, sachant que les deux premiers chiffres ainsi que les deux derniers forment deux nombres carrés parfaits.
Le carré parfait cherché N^ est de la forme
N a deux chiffres.
Le premier chiffre à gauche de N est évidemment x et comme x* est plus grand que 10, ce chiffre est au moins égal à 4. Ce chiffre ne peut pas, d'ailleurs, surpasser 4 ; autrement, dans l'extraction de la racine carrée de N', le premier chiffre à gauche du reste y* ne contiendrait pas le produit ax.
Donc X = 4 et le premier chiffre de y^ est au moins égal à 8, on en déduit y« = 8i et N« = 1681 , N = 4i.
Nous avons supposé, comme cela arrive généralement, que le premier chiffre de y* était au moins égal à ax. Dans le cas contraire, le second chiffre de N est zéro, de sotte que l'on peut considérer comme répondant à la question, les carrés des nombres.
4o, 5o, 60, 70, 80 et 90.
fj^ RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
10. Trouver 3 nombres entiers sachant qae leur produit est égal à la somme de leurs produits deux à deux.
Soient a, a -h x et a -{- y, les 3 nombres cherchés rangés par ordre de grandeur croissante.
a (a -h or) (a 4- y) = a (a 4- a;) H- a (a H- y) -h (a -f- x) (a -h y);
Cette relation peut sjécrire
Si Ton fait a >> 3» le premiermembre est plus grand que zéro* Si Ton fait a = 3, le premier membre devient 3 (ce 4- y) 4- axy et cette somme ne peut être nulle que si çû = y = o. Dans ce cas les nombres répondant à la question sont
Si a = I, le premier membre est plus petit qUe Eéro. Donc nécessairement a = 3.
L'équation se réduit alors à x/ =£ 4* Relation qui entraîne, soit x = i avec y = 4, Soit X = 2 avec y = 2.
On a donc les 3 systèmes de solutions 3,3,3
a, 3, 6 et a, 4, 4.
1 1 . Trouver les nombres dont les carrés s'écrivent toujours de la même façon dans tout système de numération analogue au système décimait dont la base est plus grande que 4*
(Nouvelles Annales 1871. p. 43 1), Soit
ax"' 4- 6ir"»~* 4- cx'''"- 4- ... -h k . x -h l un nombre écrit dans le système dont la base est a; ^ 4*
QtElQUBS QtTeàTtOïTS DITER8ES îjb
Pour que son carré s'écrire de la même manière, quel que soit x, il faut et il suiBt que dans le développement de
(or»» -I- 6a;"»-» -^ cx"'-^ + ... -+- fca? -^ /)*
chaque coefficient soit inférieur à la plus petite base, c'est-à-dire à 5, ce qui aura lieu si ces trois conditions sont remplies :
i® Qu'aucun chiffre ne soit supérieur à a ;
a® Que la somme des produits de deux chiffres consécutifs et des chiffres qui en sont équidistants ne soit pas I> 2 ;
3® Que le carré d'un chiffre plus la somme des doubles produits des chiffres qui en sont équidistants ne soit pas supérieur à 4*
Voici les nombres de i, a, 3« 4» chiffres qui satisfont à ces con* ditions
1, a; 10, II, la, ao, ai ; 100^ loi, loa, iio, m, lao, aoo, aoi, aie; 1000, looi, looa, ioiO| loiti loia, loao, loai, iioo, I ICI, I loa, I iiOf I III, I aoo, i aoi, aooo, aooi, aooa, aoio, aoii, SOIS, aïoo, a loa.
la. Trouver an nonlbre entier tet quCen écrivant à sa droite le nombre iuivanty on obtienne un nombre de 6 chiffres carré parfait.
Soient x le nombre entier cherché» N' le nombre de 6 chiffres Carré parfait
looi a; -^ I =N' d'où 7XiiXi3.a; = N* — 1 =
N* étant un carré de 6 cniffres, N aura 3 chiffres et il en éera de même de x,
N est compris entre 3i6 et 1000,
N — I est au moins égal à 3i6 et N + i au plus égal à 1 000.
Aucun des deux nombres N -|- i et N — i ne peut contenir à la fois les trois facteurs premiers 7, 11 et i3 dont le produit est égal à 1 001 ; mais chacun d'eux peut contenir deux de ces trois facteurs, le second nombre étant alors divisible psir le troisième facteur.
176 RéClléATlOHS MATHJBIATIQUES
Il suffit donc de considérer tous les maltiples de l'un des produits
7X11 , 7 X i3 et II X i3,
qui sont compris entre 3 16 et 1000, puis de ne prendre dans chacune de ces 3 séries de multiples que ceux qui sont respectivement de Tune des formes
mult. i3 =h a , mult. 11 ih a et mult. 7 dba.
Les seuls nombres répondant à cette condition sont :
7.11.11 = 847 = mult. i3 -h 2 , 7.13.8 = 728 = mult. 114-2 , ii.i3.3 = 429 = mult. 74-2 et ii.i3.4 = 672= mult. 7 — a.
On a, par suite, les 4 solutions
a; = II. ' 7" — = 7i5, x = 8. 2 — H— = 528 10 ' II
x=3x*-^9^=^=i83 et X = 4. ^^Zî-^tJ = 328.
i3. Trouver un nombre de 4 chiffres égal au carré de la somme du nombre formé par ses deux premiers chiffres et du nombre formé par ses deux derniers chiffres.
Ce nombre est un carré parfait, désignons-le par N' et représentons par X ety les nombres formés par les deux premiers chififres et les deux derniers. On a ;
N* = loca? 4-y = (a; -f. y)« dôiic
m = x -hy et
Le produit des deux nombres consécutifs N — i et N étant divisible par 99 = II X 9 * i'un de ces deux nombres au moins est divisible par 9 ou par 1 1 •
D'ailleurs N* étant compris entre 1000 et 10 000, N ou N — 1 est compris entre 3o et 100.
Il suffit donc d*associer à un multiple de 9 compris entre 3o et loOy un multiple de 11 qui lui soit consécutif et soit compris entre les mêmes limites (sauf pour 99).
La série des multiples de 9 est 36, 45, 54f 63, 72, 81, 99 et celle des multiples de 11 33, 44» 55, 66, 77, 88, 99.
L'examen de ces deux suites nous montre que les nombres à associer sont 44 et 45, 54 et 55,
On ne peut donc prendre pour N que les valeurs •
45, 55 ou 99
dont les carrés sont aoa5, 3o25 et 9801.
Ce sont les 3 seuls nombres répondant à la question.
i4. Trouver un nombre de a chiffres tel qu'en V écrivant deux fois de suite et en écrivant ensuite le chiffre i, on forme un nombre de 5 chiffres carré parfait.
Soient u et d les chiffres des unités et des dizaines du nombre cherché.
Par hypothèse
dudui =y^ ou du X 1 000 -h d« X 10 -M = y*
On déduit de là
du X lOlO -h I =y>
d'où
du X ICI X îo = y" — I = (y -4- i) — 1).
Ré0»éatîon8 Mathématiques n
RÉGHÉATIONS MATHÉUATIQtJlB
Le facteur premier loi doit diviser Pun des faeteurs du second membre. Soit
j -H I = loi.a, doù ;^ = iQi a — i
y^ ayant cinq chiffres, on a
ioo<y<3i7,
et les seules hypothèses à faire pour a sont
D'ailleurs y' se termine par le chiffre i , y doit dono se terminer par I ou 9 et les hypothèses a sz3 i ou 3 sont à rejeter. Il reste a = a qui donne y= 201 dont le carré est 4o4oi.
du = 4o, u = G
et
En supposant y --~ i 11=1 ici «, on voit facilement qu'il n'existe pas de valeur de a convenant à la question.
ib. Dans un système quelconque de numération les nombres ï3ï, I a 3a 1 , 1 a34 3a 1 , i a3 454 3a i , sont des carrés parfaits.
On peut remarquer de suite que, dans le système décimal, ces nombres représentent les carrés de if, m, i m.
Si, dans un système quelconque, à base b par exemple, on effectue le produit de 1 1 1 par 1 1 1 , le produit de chaque chiffre du multiplicande par chacun des chiffres du multiplicateur sera toujours i, il n'y aura pas de retenue à faire et le produit sera
II 100 -i- I no 4- III = ia3ai.
D'une façon générale ia3 n 3a i représente le carré du
nombre m ... m composé de n chiffres i , n étant, cela va sans dire, un chiffre plus petit que la base du système employé.
Il résulte de là que les nombres isS ri 3ai et ii ... i
(n fois le chiffre i) étant écrits dans le système 6, donneront, en les écrivant dans le système décimal, l'identité
5Jn-2 ^ 2 i2n-i ^ 36*«-* -f. ... -I- 36* H- a 6 -f- I =
(6n~l ^ bn-2 4. ^.. 4, 5 ^ i)».
Corollaire, --- Le nombre ia3/i5 6543ai est divisible par I233i dan9 tQut sy9tème de mméraiion dont la base est plus grande qv^e 6,
i6. Deux horloges H et U! sonnent C heure en même temps ; H avance de 3 secondes sur H'. Les coups de V horloge H se succèdent de 5 secondes en 5 secondes ; ceux de H' de 4 secondes en 4 secondes, et lorsque Vintervalle qui sépare deux coups ne surpasse pas une seconde, r oreille ne perçoit qu'un son. On a entendu i4 coups; quelle heure est-il ?
(Laisant)
Lorsqu'il y a coïncidence absolue entre un coup de l'horloge H et un coup de Phorloge H', l'oreille confond également le coup précédent de H avec le coup précédent de H', puisque rintervalle de ces coups est de 5* — 4' =^ i'. La même remarque s'applique au coup suivant des deux horloges.
Inversement, deux coups séparés par uii intervalle d'une seconde, sont évidemment précédés ou suivis de deux coups en coïncidence parfaite.
Il résulte de là que chaque fois qu'un coup de l'horloge H tintera en même temps qu'un coup de Thorloge H\ l'oreille ne percevra qu'un son pour les coups précédents et suivants des doux horloges, ce qui revient à dire que Ton n'entendra que 3 ooups au lieu de
3 X a ou 6. coups Chefchons donc le rang des coups en coïncidence parfaite et aup-
l8o RÉCaÉATlONS MATHÉMATIQUES
posons que le n"® coup de riiorloge H coïncide avec le p"* coup de H'. Le temps employé par H pour sonner n coups sera évidemment égal au temps nécessaire à l'horloge H' pour sonner p coups, augmenté des 3 secondes d'avance de H sur H'. On peut donc poser l'égalité
5(n — i) = 3 -^ 4(p - I) doù p = ^ -, I,
5n Il résulte de là que la fraction -j- représente un nombre entier,
c'est-à-dire que n est un multiple de 4* D'un autre côté on doit avoir
5/1 p ou -j I < i4. d'où n < la
Les seules valeurs admissibles de n sont dès lors 4 ou 8. Pour
/i = 4. p = 4, et pour
Les 4°** et 8"* coups de Thorloge H coïncident avec les 4"* et g"^^ coups de H', ce qui montre que sur les i4 coups entendus il y avait 6 coups doubles.
Le nombre réel des coups est donc i4 + 6 ou ao, et il est 10 heures.
Remarque, — Nous avons dit que deux coups séparés par Tintervalle d'une seconde étaient précédés ou suivis de a coups en coïncidence parfaite« Ceci n'est pas absolument exact, car il peut se faire que l'une des horloges cesse de sonner à ce moment ; mais on vérifie facilement que ce n'est pas le cas dans le problème qui nous occupe.
17. Quelks sont les heures auxquelles on peut faire . permuter les
QtELQUES QUESTIONS DIVERSES l8l
deux aiguilles d'ane horloge de façon que la nouvelle position puisse se produire par le mouvement même de F horloge (*) ?
Soit X Tune des heures cherchées. Prenons pour origine sur le cadran la position des aiguilles à midi, et pour unité Theure ellemême, si bien que le tour du cadran tout entier est mesuré par la.
La position de la petite aiguille est indiquée par rr ; si le nombre^ indique la position de la grande aiguille, nous avons
(i) la X =y -h fc.ia.
Pour que la position résultant de la permutation soit la conséquence même du mouvement de Thorloge, c'est-à-dire réponde à une heure possible, il faut donc qu'on ait :
(a) î2 y = x -\- fc.ia.
Eliminant y entre ces deux relations, il vient
i44.a; == X -h fc.12 ou
(3) i43.x = m.i3, d'où X-
Pour obtenir toutes les heures cherchées, il faut donner à k les valeurs successives o, i. a, 3, ..., i4a, après quoi l'on retombera sur les solutions déjà obtenues.
(') Celte question a été proposée par Laisa^vt dans le Journal de Mathéma"tiques élémentaires. (T. VI, 1882, p. 168).
M. d'Ogàgue Ta également proposée sous une forme un peu différente dans les Nouvelles Annales (3« série, t. II, p. 384). Moret-Blaïic en a donné une solution qui est incomplète (p. 523).
Celle que nous présentons est de Laisaut {Nouvelles Annales 3^ série t. m, p. 383). ' '
l82 AÉGa£A.TlO!f8 MATHéllÂtlQUBS
Cette solution comprend, en particulier, lenheuteèdeêaperposition des aiguilles, obtenues en donnant à k les onze valeurs
o, i3, a6, 39, 52, 65, 78, gt, io4, 117 et i3o,
Quant aux i3a autres résultats, ils se correspondent deux à deux, et les valeurs associées de h, que nous appellerons //et/c'sont telles que Ton a
fc' = la fc* (mod. i43).
d'où réciproquement
fc'sia//(mod. i43),
Par exemple à fc^ = 34, répondra k" = 12a. Ces deux valeurs donnent respectivement pour x, en faisant la conversion en heures et minutes
2**5i" -X et ioM4" —rn'
Si donc une horloge marque a^5i" -js et si à ce moment on fait permuter les deux aiguilles, elle marquera exactement
Si Tun des nombres fc', fc* s'écrit ap dans le système de numération duodécimal, Pautre s'écrira ^a. Il s'ensuit nécessairement que les nombres associés à eux-mêmes sont ceux qui s'écrivent tt, aa, ... c'est-à-dire i3, 26, .,., comme nous venons de le faire observer tout à rheure.
La solution du problème est donnécr en somme^ parla relation (3). Or cette relation est évidemment celle qui donnerait les heures de rencontre, sur un cadran, entre la petite aiguille et une autre marchant i44 fois aussi vite, c'est-à*dire ta fois aussi vite que Faiguillc des minutes.
QtnSLQUSS QUESTIONS mVBASËS l83
La question de réciprocité que nous nous sommes proposée se ramène donc à un simple problème de rencontre.
i8. Trouver tous les nombres carrés parfaits formés de fi chiffres pairs.
Tout carré parfait de 4 chiffres pairs est compris dans l'un des 4 intervalles
2 ooo à 3 ooo ; 4 ooo à 5 ooo ; 6 ooo h 7 000 ; 8 000 à 9 000
La racine qui est un nombre pair ne peut se trouver que dans l'un des intervalles correspondants
Remarquons maintenant qu'en multipliant un nombre pair par lui-môme, les chiffres à droite de chaque produit partiel sont pairs. Pour que le carré soit terminé par deux chiffres pairs, il faut donc que le chiffre des dizaines du premier produit partiel soit pair et cette condition n'est remplie qu'autant que la retenue précédente, fournie par le chiffre des dizaines du carré des unités, est un nombre pair. Il résulte de cette remarque que tous les nombres terminés par 4 ou par 6 sont à écarter.
Les nombres cherchés sont dès lors né-cessairement compris parmi les carrés des 10 nombres suivants
48, 5o, 52, 68, 70, 78, 80, 82, 90 et 92.
L'essai direct donne les 4 solutions 68» = 4624, 78» = 6084. 8o*£=64oo et 92» = 8464
Remarque. — On peut établir par un raisonnement analogue» qu'il n^exisle aucun carré parfait de 4 chiffres impairs.
19. Deux vases A et B, contiennent respecUvemeni a litres devin et b litres d'eau. On enlève c litres du vase A et on les remplace par de Veau;
i84 regr£ations mathématiques
on enlève également du vase B, c litres, qui sont remplacés par les e litres pris dans A, On recommence cette opération une seconde fois, puis une troisième, et ainsi de suite jusqu'à n fois. On demande la quantité de vin que contient le second vase B au bout de ces n opéra-tions.
Représentons par q^, q^, g,,..., 9» les quantités de vin contenues dans le vase B, après i, a, 3,..., n opérations, si on pose
on trouve facilement
et d'une façon générale
pn,« 40 -a)" -('-y]
a si a= 6
20. Trouver un nombre de quatre chiffres, carré parfait et telquele nombre formé par les deux premiers chiffres à gauche surpasse de i le nombre formé par les deux derniers chiffres.
En représentant par a le nombre formé par les deux derniers chiffres à gauche, le carré parfait en question peut s'écrire,
QUELQUES QUESTIONS DIVERSES l85
soit p la racine carrée de ce nombre.
100 (a -h i) + a = loi a -f- loo = P' d'où
loi. a = p* ~ ïoo = (p + lo) (P — lo).
L'un des facteurs p-h lO, p — lo est divisible par le nombre premier loi. Mais p a deux chiffres au plus.
La seule hypothèse admissible est donc p-f-io=ioi
d'où P = 9i.
Le carré cherché est 8 281 .
2 1 * Trouver un nombre de trois chiffres qui soit égala la somme des six nombres de deux chiffres qu'on peut former en combinant de toutes les manières possibles deux des chiffres du nombre inconnu.
Soient c, d et n les chiffres des centaines, des dizaines et des unités du nombre cherché N.
N = c X îo -hd-hcX 10 -hVL'\-dx lO-l-a-H d X 10 -l-c + ux 10 -+-dH-uX 104-C
ou N = 22 (c -h d -ha). (i)
Le nombre N est donc divisible par 1 1 , c'est-à-dire que Ton doit avoir
a H- c — d = multiple de 1 1 .
Ou encore, puisque ces 3 chiffres sont moindres que 10,
*a + c — c/ = o ou II
L'hypothèse a H- c — d = 1 1 est à rejeter, car, en remplaçant dans la relation (i), N par 100. c -h io,d -h u
et d par a -f- c. 1 1 ,
il vient, tous calculs faits, a — 4 = 2c, d'où c = 2.
lS6 RiOniATlOTTS M4TaéllATIQ0BS
Mais, d'après Tégalité (i), le nombre N eit pair ; par suite, les seules -valeurs de u donnant pour c des valeurs entières, sont :
u = 8 , 6 ou 4
on en déduit c = a, i ou o, et pour la somme a + c, les valeurs lo , 7 ou 4.
On ne pourrait donc, dam ce cas, retrancher 1 1 de a + c pour déterminer d.
Dès lors tt -t- c — d = o d*où u -{- c = d et, en opérant sur (i) comme nous venons de le faire
u ne peut être que Tun des chiffres o,a,4*6 ou 8 il en résulte pour c le» valeurs o,i,a,3 ou 4
et enfin pour d 0,3,6,9 ou la
En résumé, les trois nombres suivants répondent à la question
aa. Trouver un nombre entier de troU chiffres qui, divisé par le produit de ses chiffres ^ donne pour quotient le chiffre des centaines.
Soient c, d et u les chiffres des centaines, des dizaines et des unités du nombre cherché N.
d*où Ton tire
10 (c. ïo 4- d)
u étant en lier et plus petit que 10, on a nécessairement
lo- c + d
= io, ou 5 ou a*
QtîfitOtBS QUË8TIOÎÏ6 DIVERSES 187
Nous allons examiner ces trois hypothèses.
I* Pour --^ = 10^ on a : d =s — 5 •
La plus petite valeur possible de c est 4.
100. c -+- I étant un nombre impair, il en est de même de c' — 10.
Les seules valeurs admissibles pour c sont donc 6,7 ou g.
Pour c = 5, d =? ~x^
pour czss'j^ d = 4— } ces trois valeurs ne eonviennent donc pas*
et pour c — 9, d = ^
2* Pour 3 = 5, on a : a = — s f— •
La plus petite valeur de c est 3.
Le dénominateur c* — 5 représente un nombre impair, comme 5o. e ^- 1 .
c est donc pair, et on ne peut faire que les 3 suppositions
c = 4 , 6 ou 8.
Ces valeurs de c nous donnent respectivement pour d les valeurs 201 3oi 4oi
— » -H — et -r- — qui sont inadmissibles, M 01 09 ^
3«Pour*AA=U 3, d = ='0•''■^-'
c est plus grand que i et doit être impair, les seules valeurs admissibles sont donc 3, 6, 7 ou 9.
Les valeurs S, 5 et 9 nous donnent pour d des valeurs fractionnaires.
Pour c = 7, on a d = , = 3 et alors u = — = 5.
Le nombre cherché est donc 735.
l88 ilEGRÉATIORS MATHEMATIQUES
a3. Trouver un nombre de 4 chiffres qui soit égal au cube de la somme de ses chiffres.
Soient m, c, d et a les quatre chiffres du nombre cherché N'
N' = I ooo. m -+■ loo. c -h lo. d -h B, et N =m + cH-d-ha.
N» — N = (N — I) N (N + i) = 9 (m. m H- II. c -h d).
L'un des trois nombres consécutifs N — i,NetN-f-i, dont un seul est divisible par 3, doit être un multiple de 9.
D'ailleurs N' étant compris entre 1000 et 10 000
N est compris entre 10 et a 3.
Parmi les nombres compris entre 10 et a a les nombres 17, 18 et 19 sont les seuls qui soient multiples de 9, ou multiples de 9 zb i.
On a 17' = 4 193, 18» == 583a, 19» = 6859.
Les nombres 4 91 3 et 583a conviennent seuls.
Remarque. — Si Ton se proposait la détermination de tous les nombres égaux au cube de la somme de leurs chiffres, on trouverait d'une manière analogue, les quatre autres solutions.
I» = I, 8' = 5ia, a6' = 17576, 37' = 19683.
On démontre qu'il n'y a pas de solution comprenant plus de 5 chiffres.
a4. Trouver un nombre qui soit égal à la somme des chiffres de son cube. (Laisant)
Le nombre et son cube divisés par 9 doivent donner le même reste ; un cube étant nécessairement de Tune des formes 9 m, 9 m — i , 9 m "h I, il en est de môme des nombres satisfaisant à la condition imposée.
Le cube d'un nombre de trois chiffres ayant au plus neuf chiffres, la somme des chiffres de son cube est inférieure à 9 X 9 ou 81 < 100.
Donc lc9 nombres demandés ne peuvent se trouver que dans les nombres d*un ou deux chiffres.
Le cube d'un nombre de deux chiffres ayant au plus six chiffres, la somme des chiffres de son cube est inférieure à*6 X 9 = 54.
Le nombre 53 dont le cube est terminé par un 7 étant à exclure, la somme ne peut excéder 5a ; de même les nombres 44t 45. 46 dont les cubes, composés de cinq chiffres, et terminés respectivement par 4, 5 ou 6, sont à exclure ; la somme des chiffres ne peut excéder 43.
En formant les cubes des nombres de Tune des formes 9 m — i , 9 m et 9 m + i, de i à 87, on trouve les solutions suivantes :
Nombres. . . i, 8, 17, 18, a6, 27.
Cubes. ... I, 5ia^ 4^93, 5832, 17576, 19683
Il n'y a pas d'autre solution.
Remarque, — U y a lieu de remarquer que la somme des 6 nombres qui précèdent augmentée de l'exposant 3, est égale à 100, carré de lo.
a5. Trouver un nombre entier qui surpasse de i le triple de la partie entière de sa racine carrée.
Désignons par x la partie entière de la racine carrée.
et par x* + y le nombre entier cherché.
Par hypothèse x^ -i- y = 3x -{- i.
Cette équation peut s'écrire successivement
Dou a: = -±^/-^— jr.
y est positif, et pour que x soit réel, il faut que l'on ait 7 < ~
iga RÉGRÉATIOIIS M4THiMikTIQUIS
De plus X étant un nombre entier, i/-^ j est un nombre de
la forme - (a m h- i).
m est un entier tel que l'on ait a m 4- i < 3«
Le3 leules valeurs admissibles pour m sont donc o et it
Par suite W y^^^Qu
X = db-oa-±-»ic = a. i.oouo.
3 X H- I = 7, 4 ou 10.
Les seules valeurs admissibles sont donc 7 et 10.
a6. Trouver iroU nombres entier$ consêcuiifi tels que lem* produit soit de Informe fe. x', /c étant un nombre premier.
Représentons par a le plus petit des trois nombres, on doit avoir
a (a -t- i) (a 4- a) = fc. x*.
1° Si a est impair, le premier membre se compose de trois facteurs premiers entre eux, et comme de trois nombres consécutifs un seul peut être un cube, il restera deux facteurs dont le produit donnera pour k un nombre non premier, sauf si a = i ; mais alors ni a 4- 1 ni a + a ne forment un cube.
a^ Si a est pair, il vient en posant a=i 2 a\
a', a' H- I et a a' 4- i sont premiers entre eux. Or x doit contenir a en facteur, car k noitibre premier, ne peut égaler 4*
Si a' = a a\ 8a" (a a' 4- i) (4 a" 4- i) = k. x» ;
a'', (a a" 4- i) et (4a'' 4- i) sont premiers entre eux ; donc, comme dans le premier cas, il ne peut y avoir de solution que si o" = i, et cela n'en donne point.
QUELQUES QUESTIOIfS DIYBIISBS IQI
Si a' = 2 a' H- I
le même raisonnement exige : a'' -H i = i, ce qui fournit la seule solution du problème
3 X 8 = /i-. ar5 = a. 3. 4.
[Voir Intermédiaire des Mathématiciens, Tome II, 1895, p. p, Soât 369 et Tome III. p. 327].
27. Déterminer trois nombres entiers dont le produit surpasse la somme d'une unité»
Représentons par a, b, c les trois nombres cherchés, on a par hypothèse
Ces trois nombres ne peuvent être tous les trois Impairs ou tous les trois pairs, car dans les deux cas les deux membres deTégalité (i) seraient de parités différentes.
Pour une raison semblable, deux des trois nombres a, b, c ne peuvent être impairs.
Donc en résumé, on peut poser
a=3p-hi, 6 = a/cetc:=: ak'.
Mettons alors l'égalité (i) sous la forme
on en tire
oc — I
a étant un nombre entier, on doit avoir
ou 6 + 0+ i>»6c'— i,ott6-Hc4-isï=6c — i.
La première hypothèse est à rejeter, car on en déduit, en remplaçant 6 et c par ta k et 2 fc',
3/c-ha/c'+i>4^. ^ — i»oua/f. /f'<fc + fe'4- 1; mais on a aussi k. k! '^ k, k, k!^^ k'
d où a /c. /f', > & -h A".
et ces deux nombres 2 k k!, {k -hk') étant entiers, leur différence est au moins i, c'est-à-dire que l'on a :
On ne peut d'ailleurs avoir à la fois
k.k = k,â:ouk!=i, et/c.fc' = /c'. d'oùfc=i,
car il en résulterait pour a la valeur fractionnaire s '
Ainsi 6-f-c-t- 1 =6c — i.etle nombre impair a est égal à i . De l'égalité précédente on déduit
c — I doit donc diviser 3, c'est-à-dire que l'on a :
ou c — 1 = 1, d'où c = 2 et 6 = 4.
ou c — 1=3, d'où c = 4 et 6 = 2.
Les nombres cherchés sont donc, en définitive
I, 2 et 4*
28. Trouver un nombre de 6 chiffres, carré parfait, et tet qa*en le retournant on ait encore un carré parfait.
Soient N le nombre cherché et N^ le nombre renversé.
QUELQUES QUESTIONS DIVERSES ig3
N^ étant carré parfait, le premier chiffre à gauche de N ne peut être que i, 4» 5, 6 ou 9,
La somme de deux nombres renversés composés d'un nombre pair de chiffres est divisible par 1 1 , donc
N -t- Nj = mult. de 11.
La somme de deux carrés n'est divisible par 1 1 que si ces carrés sont eux-mêmes divisibles par \ i , donc
N = mult. de 11.
et si p est la racine carrée de N, on aura aussi
p = mult. de 1 1 .
D'ailleurs 10° < N < 10® et comme le i" chiffre à gauche de N est i, 4. 5, ou 6, on a :
looooo < N < 200000 \ / 3i6 <; p <C 448,
400000 < N < 5ooooo f I 632 < p < 708,
5ooooo <; N < 600000 > d'où / 707 <1jP < 77^, 600000 < N << 700000 I I 774 <C p < 837.
Il faut prendre entre ces limites le nombre p divisible par 11 et dont le carré jouisse de la propriété énoncée.
Le premier chiffre à gauche de N ne peut être 5 car le chiffre des dizaines de N^ serait 2, et les deux premiers chiffres à gauche de N étant alors 62, on aurait 620000 < «^ < 53oooo d'où 721 <p<729.
Entre ces limites, le seul nombre divisible par 1 1 est 726 dont le carré ne répond pas à la question.
Remarquons que lorsque le dernier chiffre d'un carré est i,4ou 9, le chiffre des dizaines est pair, et que lorsque le dernier chiffre est 6, le chiffre des dizaines est impair. Si donc le 1®' chiffre de N est 1,4 ou 9 le second doit être pair, et si le premier chiffre de N est
Récréations mathématiques, i3
194 RÉGRiATIONS MATHEMATIQUES
6, le second doit être impair. Cette remarque limite les recherches : on n'a à considérer que les nombres suivants :
3ig,33o,35a,4o7,439,638, 649,68a, 6Q3,836,g90
parmi lesquels 3 satisfont au problèo^e ; ce sont 33o, 836 et 990 dont les carrés sont 108900, 698896 et 980 loo.
29. Trouver la loi defonaation des ncmbrêi dont lês ooritÀ cqaI teiv minés par deux chiffres égaux.
(Brocard. — Nouvelles Annales 187 1, p. 44-)
Il est d*abord évident qu'il suffit de chercher kl nombres pro« posés parmi les nombres inférieurs à 100. En efTet, prenons un nombre supérieur à 100 ; appelons a le nombre formé par les centaines et p le nombre formé par les unités, de telle sorte que Ton ait :
On aura t
A2 = (a X 100 + p;« = a'.ioo» 4- a«.p,ioo -f-?'
Si donc p^ est terminé par 2 chiffres égaux, il en sera de même de A^ puisque la valeur de a ne peut influer que sur les centaines.
Si maintenant p est un nombre inférieur à a5 qui jouisse de cette propriété, nous aurons, jouissant de la même propriété les nombres
5o — p, 5o -4- p et 100 — p.
En effet, on a :
{5o =h p») = 2 5oo dz 100 p d= p»
Donc les deux derniers chiffres de (5o db P^' sont les mêmes que ceux de p. Il suiïït, en conséquence, de chercher parmi les nombres inférieurs à 25 ceux qui jouissent de la propriété demandée* Nous pouvons exclure immédiatement les nombres terminés par 5 dont le carré est terminé par 25, et les nombres terminés par un zéro, qui ont toujours leurs carrés terminés par 2 zéros. Il nous reste donc à essayer les nombres i, 2, 3, 4> 6, 7, 8, 9, 11» 12, i3^
i4, 16, 17, 18, tg, ai, :23, 23 et a4* Les trois premiers, n'ayant qu'un chiffre au carré, doivent être exclus.
Parmi les dix-sept nombres qui nous restent, nous n'avons que le nombre 12 dont le carré i44 soit terminé par deux chiffres égaux. Nous trouverons donc les nombres 12, 38, 62 et 88, dont le carré soit terminé par deux chiffres égaux et nous remarquerons que ces chiffres sont deux 4*
Donc
Tout nombre terminé par 12, 38, 62, ou 88 aura son carré terminé par 44 ; ces novfibres seuls ont leurs carrés terminés par deux chiffres égaux,
(Solution de M. Morel).
3o. Tout nombre entier est une somme de puissances de 2, chacune d^elles étant prise au plus une fois.
Considérons un nombre entier pair quelconque, 62 par exemple et proposon9«nous de l'exprimer au moyen de la numération biliaire qui n'admet que les deux caractères i et o. La base étant 2, on obtiendra, comme l'on sait, le chiffre des unités du premier ordre en divisant 62 par 2 ; le reste représente ces unités, et le quotient 3l nous donne le nombre des unités du second ordre. On aura le nombre des unités du 3™* ordre en divisant encore 3i par 2 ; le reste i représente le chiffre des unités du 2' ordre et le quotient i5 est le nombre des unités du 3^ ordre. Une nouvelle division de i5 par 2 nous fournit le chiffre des unités du 3" ordre et le nombre des unités du 4"* ordre, etc. Le tableau suivant résume ces diverses opérations.
Dividendes
Diviseur
Restes
Dividendes
Diviseur
Restes
ig6 aécHÉATiONs mathématiques
de sorte que le nombre 6 a s'écrit dans le système binaire
III IIO
Si l'on revient maintenant du système binaire au système décimal, on aura, en exprimant Tordre des unités de chaque chiffre
(m iio), = 0+ I X 2 -+- I X 2* H- I X a' + I X 2* H- 1 X 2* = 2 4- 2* -h a» -+- 2* -+- 2* = (62)1,^
Ce qui démontre bien le théorème pour le cas d*un nombre pair.
Considérons en second lieu, un nombre impair quelconque, 53 par exemple, sur lequel nous opérerons de la même manière.
Ce nombre 53, traduit dans le système binaire^ s'exprime par 1 10 ICI, et en revenant du système binaire au système décimal, on a
(iioioi), = I H- X 2 -h I X 2* -h qx 2' -h I X 2* -h I X 2*
= ao 4- 2« H- a* + 2*^ = (53)4,.
Remarque, — Cette propriété des nombres nous fournit l'explication d'une récréation donnée par Bachet dans ses Problèmes pkdsanis et délectables (Prob. X de l'édition Labosne) et exposée par Lucas dans son arithmétique amusante sous le nom de V éventail mystérieux.
Il s'agit d'inscrire des nombres sur différents cartons de manière que, connaissant les cartons où se trouve un nombre pensé, on puisse deviner ce nombre immédiatement.
Supposons, par exemple, que l'on veuille deviner tous les nombres jusqu'à 2^ ou 64.
On commence par écrire sur 6 cartons séparés et en tête de chacun d'eux les nombres 1, 2, 4* 8, 16 et 32. Cela fait on inscrit les autres nombres dans chacun des cartons qui contiennent les puissances de 2 dont il est la somme, par exemple 3 dans les cartons qui contiennent I et a, 5 dans ceux qui contiennent i et 4> 6 dans ceux qui contiennent a et 4, 7 dans ceux qui contiennent i, a et 4» et ainsi de suite comme le représente le tableau ci-contre.
Pour deviner un nombre qu'une personne a pensé il suffit de lui présenter les cartons en lui demandant de désigner ceux qui con-
igS
tiennent le nombre pensé. On détermine alors ce nombre en faisant la somme des puissances de 2 inscrites en tête des cartons désignés.
Pour varier le jeu, on pourra deviner des noms au lieu dedevinet des nombres; il suffira d'affecter un nom à chacun des nombres précédemment écrits, comme Paul, Emile, Louise, Emma, etc., et d'écrire le nom dans chaque carton à côté du nombre qui lui est assigné. La connaissance des cartons où se trouve le nom fera connaître le nombre qui lui est assigné (comme on vient de l'expliquer), et, par suite, il suffira de regarder dans l'un de ces carions quel est le nom qui se trouve à côté de ce nombre.
On peut aussi opérer sur des mots, des noms de choses, au lieu de noms de personnes.
Bachet ajoute « On pourrait faire un jeu senîblable avec les puissances de 3, mais il serait un peu moins simple. ».
Delannoy a donné dans ï Intermédiaires des Mathématiciens (T. XII, igoS, p. 119, 120), Ja solution pour les 3' — i = 26 premiers nombres (^),
On écrit ces nombres dans le système de numération ternaire :
lOO
lor
IIO
Il2
Un nombre quelconque est égal à une somme dont les termes sont des puissances de 3 ou le double de ces puissances, par exemple
(*) Voir aussi t. XII, 1906, p. i44-
qvMhqmn qubstio^is diverses
Inscrivons sur un premier carton les nombres dont le dernier chiffre dans le système ternaire est i ; sur un deuxième, les nombres dont le dernier chiffre est a ; sur un troisième ceux dont le deuxième chiffre à partir de la droite est i ; sur un quatrième ceux dont ce deuxième chiffre est 2 ; sur un cinquième ceux dont le troisième chiilrè a partir dé là droite est 1 ; enfin sur un sixième ceux dont le troisième chiffre est a. L'ensemble de ces six cartons est représenté dans le tableau ci-après.
Supposons que le nombre pensé soit 17, on le trouve dans le cinquième, le quatrième et le deuxième carton ; d'après la manière dont ces cartons ont été formés, le nombre pensé s'écrira donc laa dans le système ternaire ; par suite il sera égal à
Pour plus de simplicité, on inscrit les nombres i, 2, 3, 6^ 9, 18 au bas de chaque carton et Ton n'a alors qu'à additionner les nombres portés sur les cartons indiqués.
Si, au liéU de â6 nombres, on en prenait 3** — i, il faudrait a n cartons»
aOO RÉGRÉATIOIfS MATHÉMATIQUES
Si. Un nombre de trois chiffres écrit dans un certain système de numération est doublé quand on renverse l'ordre de ses chiffres. Montrer que le nombre formé avec le premier et le dernier chiffres jouit de la même propriété et déterminer la base du système.
c, d et u sont les trois chiffres du nombre en commençant par les plus hautes unités.
Soit a la base du système deux fois le nombre c.a* -+- ef.at -|- a
donne u.at' -4- d.a 4- c.
Donc le chiffre a est plus grand que c.
Par suite
ad-f-i=(i-^-a ou d = a — i (2)
enfin
De (i) et (3) on déduit :
2 a.c -I- a = o.a, 2 a.c = n.a — a 2 ot.c -h 2 u = «.a — a -h a -t- C = a.a -h c, ou enfin
On a aussi
4e + a = 2a = a + c ou 3c = a — 2.
c étant entier, « est nécessairement de la forme mult. 3 + 2. Ou ne peut donc prendre pour a que les valeurs
5, 8, II, i4» 17. ao, etc.
3a. Hnix hicycUsles A et B parlant au même instant, Vun de Paris H Vanln* iVOrlMns^ parcourent en marchant d'une façon wdformf^ le prcmitr ^w a heures et U second en b heures, la distance d
qaî sépare ces deux villes. Us se remontrent sur la route m heures avant V arrivée de k à Orléans et n heures avant l'arrivée deBà Paris. Montrer que Von a :
;- est la vitesse de A, r est la vitesse de B. a b
Au moment de la rencontre A a marché pendant (a — m) heures et a parcouru
De même B a marché pendant (b — n) heures et a parcouru une distance
On a d'ailleurs
a — m = 6 •— n et
ou
(6 — n) (a -h 6) = a 6, h*z=zn{a-^ h)
d'où enfin
33. Expliquer pourquoi les produits du nombre i4a 867 par i, a^ 3, 4f 5 e/ 6 son^ composés des mêmes chiffres
UÈCÊdLATUmS MATIiilUTIQUES
$e saivant dans le même ordre drealaire et pourquoi le proiaU par y eti eompoêê d^une saUe de 9.
Il suffit de remarquer que i4a857 constitue la partie périodique de la fraction décimale périodique simple à laquelle donne lieu la
conversion de la fraction ordinaire z
Dès lors
d'où
Îx3 = ^ = i5 7=:l?i = I.42857142857I... - 1 =
d'où
De même
' X 4 = 4= 'OOQO 9996^ 10000 j.jg 7 7 7 7 7
5 ^ 100000 99995 ^ 1^00000 gg ^ o,7i4a857i4285... 7 7 7 ,•♦.//
QUELQUES QUESTIONS DITBASBS do3
Enfin
7 "*" 999999* 7 ^ "^ "" 999999 ~ ^ d'oâ
34. Un épicier possède une balance fausse dont il se sert pour V achat et la vente de ses marchandises de façon à réaliser un bénéfice surpassant de li ^/o le gain légitime qu'il réaliserait si la balance était juste. Si on intervertissait Vordre des plateaux dans lesquels les marchandises achetées et vendues sont pesées, le bénéfice serait nul. Déterminer^ d'après cela, le gain légitime pour 100 francs.
Soient p, p^ les poids apparents d'une certaine quantité de marchandises d'abord achetée, puis vendue, p est plus petit et p^ plus grand que le poids réel.
Soient q le prix d'achat de l'unité de poids, X le gain légitime par 100 francs.
Une marchandise achetée jo.ç est vendue pi lq-\ ^- V
On a donc
/ qx\ (rc H- II) ^
ou
En intervertistant l'ordre des plateaux, la même quantité de
marchandise qui coûte />,5, est vendue p. g ( i -+- )•
D'où
2o4 r£gb<atiohs iiath£iiatique8
De (i) et (a) on déduit
a; -+- II / , X Y j» »
I H = ( I ^ ) , d ou X = lo.
ICO \ 100/ '
Nous allons donner une deuxième solution du même problème, et calculer le rapport des bras du fléau dont se sert le commerçant.
Désignons par p le prix que le marchand payerait une certaine quantité de marchandises, s'il se servait d'une balance juste, et q le prix qu'il revendrait la même quantité de marchandise dans les mêmes conditions, enfin / le rapport du plus petit bras de levier de la balance qu'il emploie au plus grand.
Le bénéfice légitime pour cent du marchand est :
P mais en se servant de sa balance, ce bénéfice devient
j-pf
on a donc
pf p 100
ou en désignant ^ par z
— zf
f ^ I — 2 . II
zf z 100
ou
mais quand il se sert de sa balance dans Tordre inverse, son bénéfice devient
on a donc :
qP = p ou p = z = S
remplaçant dans (i)/' par z on a Téquation :
d'où on lire :
Si on a
on en déduit
HZ*
lOOZ
lOO
IO
IO
Quant à la valeur de / elle est égale à
environ
o,q5 ou — ^.
Ainsi en se servant d'une balance dont les bras du fléau sont entre eux comme les nombres 19 et 3o le commerçant augmente son bénéfice de 11 ^/q.
35. A deux de ses clients un marchand pèse avec une balance fausse, c est-à-dire dont les bras du fléau sont inégaux, un même poids de marchandise. Pour le premier, il met les poids marqués dans le plateau A et la marchandise dans le plateau B. Pour le second^ il fait Vinverse. On demande s*il gagne ou s*il perd.
Représentons par a et 6 les longueurs des deux bras du fléau, longueurs inégales par hypothèse.
ao6
aécaéATIONS MATHéMATIQUES
Soit p le poids de la marchandise demandé par les deux dienU.
Le marchand sert le premier en plaçant dans le plateau  le poids p et dans le plateau B le poids q de marchandise déterminé par la relation
ou q^jT.p.
Le marchand sert le second client en mettant dans le plateau B le poids marqué/) et dans l'autre plateau un poids q' de marchandise déterminé par la relation
^- = -- , d ou fl' = p . - • p a ^ ^ a
Le poids total de marchandise donné aux deux clients est donc
iî - 1}
Or la somme d'une fraction et de son inverse ne peut être moindre que 3, donc
et le marchand perd puisqu'il sert un poids de marchandise plus grand que a p.
36. Trouver le plus petit nombre entier qui soit égal à quatre fois le produit de ses chiffres.
Le nombre cherché contient au moins 2 chiffres ; en les repré^ sentant par d et a, on a :
lo. d -h U == l\. d. «, d'où d =
La plus petite valeur de â est 3.
QUELQUES QUESTIONS DIYEHSES 207
De plus on à : u > 4 « — 10, dVù 8 a -< 10, c'est-à-dire que la plus grande valeur de a est 3.
Donc nécessairement u =3= 3 et on en déduit pour d, la Valeur
fractionnaire - qui ne convient pas.
Le nombre cherché a dès lors plus de 2 chiflres. Considérons un nombre de trois chiffres c^ d et a.
