f- 4 H- î i4 7 mx
volume en G = -^— •
QUELQUES QUESTIONS DIVERSES 20g
Après la seconde opération A contient {x — a) litres,
etC » -'- — 6.
Donc
X — aH-a(a; — a) h — ' 6 = 6 x
et a; = i4 litres.
38. Une équipe d* ouvriers s* est engagée à entreprendre un ouvrage dont Vexécution demanderait p heures si tous les ouvriers commençaient en même temps. Mais ils n'arrivent sur le chantier que Vun après Vautre et à des intervalles de temps égaux. Le travail est ainsi poursuivi jusqu^à complet achèvement. Sachant que le salaire de chaque ouvrier a été proportionnel au temps pendant lequel il a travaillé, et que celai qui a com^ mencé le premier a reçu m fois autant que le dernier, on demande le temps employé pour faire V ouvrage.
Représentons par x le nombre des ouvriers, par y le nombre d'heures pendant lesquelles le dernier a travaillé, et par z l'intervalle de temps (en heures) qui s'est écoulé entre l'arrivée du premier ouvrier sur le chantier et Tarrivée du second, entre l'arrivée du second et celle du troisième, et ainsi de suite.
D'après Ténoncé j -+• (oc — i) 2: = m. y (i)
Si T représente le travail fait dans une heure, le travail total aura pour expression
mais ce même travail est également égal à p. T. x. Donc
y -+- (y + z ) -f- (y-h az) + ...-+- [y 4- (x — i) z]=p. x,
Récr4ftkioiia mathématiques. i4
aïO RÂGHiATIONB ItATffilHATtQyiS
OU
[ay + (a; — i) z]-r= p* œ^ on encore 2y -h (x — i) 2: = 2/). Comparant à (i) on en déduit
et le temps total m, y a pour expression
39. Une certaine quantité de grain doit servir à la nourriture cTufi troupeau de n dindons. Cette quantité e$t eakalée dé façon à duret un temps déterminé si chaque dindon mange un boisseau chaque semaine. En faisant la distribution on constate que le troupeau diminue d*nn dindon chaque semaine et de ce fait le grain dure deux fois plus de tehipst On demande la quantité de grain en boisseaux et le temps qu'il a duré»
Désignons par x le nombre des boilseaux et par y le nombre des semaiaes quUls doivdbt durer; On a
- =E /i, OU X = fjjy,
Mais
n = le nombre des boisseaux donnés dans la i'^ semaine, n — I = )) a* »
Ainsi de suite jusqu'à la a/*"* semaine
QUBLQUBi QUBfiTIONg MYBHSBS 2.11
Par suite
n + (n — i)-+-(n--3) 4-... 4- (n— p+i) + ... 4- (n — 274-i)ï=ar
<l*où
y ïs=î *— «••
Alors
71 (n 4- i) X = — i ^ et 3 y = n 4- I .
4o. Trouver l'expression de la somme de toutes les fractions com* prises entre dëu^ nombres entiers donnés m et n et ayant 3 pour dénominateur.
Les fractions et les nombres entiers compris entre m et n sotit
La somme de tous ces nonlbfes êSt égale à / 3m4-i SU— i \ (3fi^i)*-^3m ( ffl4-y>)[3(ra-— m) — i]
Mais la tomme de tous les nombres entiers compris entra m et n est égale à
c, V / xi n — I — m (m 4- m) ^n — m — i) = \[m 4- i) -h (n — i)j ^ = ^ - ^^^ ^
Donc la somme des fractions a pour expression (m ^ n) [3 (yi -- m) -^ i] — (m 4- m) (y> ^ m — i) ^ ^^ ^^^
nÉCRÉATIONS BIATHÉMATIQUES
4i. Trois hommes, Pierre, Paul et André vont à la foire avec leurs femmes. Les noms de ces trois femmes sont Catherine j Marthe et Suzanne,
Chacune de ces 6 personnes achète un certain nombre d'objets qu'elle paye chacun un nombre de francs égal au nombre des objets quelle a achetés,
Pierre a acheté a 3 objets déplus que Marthe ^ et Paul 12 de plus que Catherine. Chaque mari a dépensé 63 francs de plus que sa femme.
On demande quelle est la femme de Pierre, celle de Paul et celle d^ André }
X nombre des objets achetés par Tun des hommes. y celui des objets achetés par sa femme
x' — y"^ = Çii=:[x'\-y){x — y) = 63.1 = 21.3 = 9.7.
On peut par conséquent, poser
a;-4-j = 63 ou x -{- y X — j=i » X — y
ai
ou
D'où l'on tire les solutions suivantes :
aï = 3a y ==3i
ou
flc = la y = 9
ou
Mais Pierre a acheté a3 objets de plus que Marthe et Paul 1 1 de plus que Catherine ; donc
Pierre a acheté 3a objets Marthe 9 »
Paul 12 »
Catherine i »
Il suit de là que la solution x = 3a, y = 3i concerne Pierre et Suzanne; que la solution x =: la, y = 9 concerne Paul et Marthe,
QUELQUES QUESTIONS DIVERSES 2l3
et enfin que la solution x = 8, y = ii intéresse André et Catherine.
Donc Pierre a pour femme Suzanne; Paul, Marthe et André, Catherine.
42. Trouver la somme de toas les nombres de la forme 121, isSai» ia343ai, etc., écrits dans le système de numération à base d.
121 = d« -j- ad -j- I = (d -h i)'
laSai =d* -j- ad' 4- 3d* -h ad -j- i
= d* (d -f- i)« -+- ad (d 4- i) -h I = (d» 4- d + i)«
i2343ai = d« 4- ad» + 3d* -h 4d» -f- 3d* -h ad 4- i
= d* (d' 4- ad -+- 1) 4- ad* (d'+ad-l-i) 4- d* 4- ad -f- i =
= (d* 4- ad* 4- i) (d 4- 0* = (d* 4- 0* (d 4- I)* — (ep4.d»4-d^i)»
et ainsi de suite.
La somme demandée a pour expression
jusqu'à d — I termes
ou
i^)' - (fer -H (fe)' ^ ... - (fe)'
ou encore
(d-1 ^)» {^*-^rf' + '»> + '<^ — ad»(l 4-d4-.,.4-d-«)4-d-l|
ou enfin
âl4 RiCRéATIOlfl MATHBMÀTXQUSB
hi. Montrer que le nombre ia3456543ai est divisible par iftSai dans tout système de numération dont la base est supérieure à 6.
Ecrivons ces deux nombres dans le système de numération h base d>6.
U34565432Ï = d*o 4. ad» -h 3cf» -h ^cT -h 5d« -h Gd^ + 5d*
